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第二讲 二次函数在导数中的应用1(2011辽宁)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增,在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(,2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可变式：已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m()2，令g(x)()2，则当1时，函数g(x)取得最大值1，故m1.2函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上是_函数(填“增”或“减”)解析由函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，可得a的取值范围为a0，所以g(x)为增函数3若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析f(x)3ax2(x0)，若函数存在垂直于y轴的切线，即3ax20有解，a，x0，0，a0时，若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围解(1)f(x)ln xpx1，f(x)的定义域为(0，)，f(x)p，当p0时，f(x)0，f(x)在(0，)上无极值点；当p0时，令f(x)0，x(0，)，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减从上表可以看出，当p0时，f(x)有唯一的极大值点x.(2)当p0时，f(x)在x处取得极大值f()ln，此极大值也是最大值要使f(x)0恒成立，只需f()ln0，p1，p的取值范围是1，)变式训练1(2010全国)设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0，求a的取值范围解(1)a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减二、利用导数证明不等式例2(2010安徽)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)三、利用导数研究函数单调性例3已知函数f(x)xa(2ln x)，a0，讨论f(x)的单调性解(1)f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0即0a0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，仅对x时，有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值解(1)由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的图象关于y轴对称，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)；由f(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值例4(2011北京)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为k，当1k0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)知：f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1a(舍去)若ea1，令f(x)0，得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1a.综上可知，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)2，即g(x)g(x)，当f(x)3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r