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对数与对数函数专题复习对数与对数函数专题复习 知识点梳理知识点梳理 一 对数的概念一 对数的概念 1 对数的定义 对数的定义 如果 01 x aN aa 且 那么数x叫做以a为底 N的对数 记作 其中a叫做对数Nx a log 的底数 N叫做真数 2 几种常见对数 几种常见对数 对数形式对数形式特点特点记法记法 一般对数底数为a 0 1aa 且 N a log 常用对数底数为 10lg N 自然对数底数为 eln N 3 对数的性质与运算法则 对数的性质与运算法则 1 对数的性质 0 1aa 且 loga1 0 loga a 1 N logaN aNa N a log 2 对数的重要公式 换底公式 均为大于 0 且不等于 1 b N N a a b log log log ba 0 N 推广 a b b a log 1 log ddcb acba loglogloglog 3 对数的运算法则 如果0 1aa 且 0 0MN 那么 M a log NM a logN a log N M a logM a logN a log n aM logn M a log Rn M m M a am log 1 log b m n b a n am loglog 二 对数函数二 对数函数 1 对数函数的定义 对数函数的定义 一般地 我们把函数 0 且 1 叫做对数函数 其中是自变量 logayx aax 函数的定义域是 0 2 对数函数 对数函数 y logax a 0 且且 a 1 的图象与性质 的图象与性质 1a 01a 图象 定义域 定义域 0 值域 值域 R 过定点过定点 1 0 即当 x 1 时 y 0 当01x 时 0 y 当1x 时 0 y 当1x 时 0 y 当01x 时 0 y 性质 在 在 0 上为增函数 上为增函数 在 在 0 上为减函数 上为减函数 3 反函数 反函数 1 反函数 一般地 对于函数 设它的定义域为 值域为 如果对中任意一个值 xfy DAAy 在中总是唯一确定的值与它对应 且满足 这样得到的关于的函数叫做Dx xfy xy 的反函数 记作 xfy xfy 1 2 反函数的求法 反解 与对调 求定义域 xxy 3 反函数的性质 原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域 若函数 yf x 的图象经过点 a b 则其反函数的图象经过点 b a 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称 对称性 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致 单调性 4 同底的指数函数和对数函数互为反函数 典型例题典型例题 题型一 对数运算题型一 对数运算 例题例题 1 计算下列各式的值 1 245lg8lg 3 4 49 32 lg 2 1 2 22 2 lg20lg5lg8lg 3 2 5lg 解析 1 方法一 原式 2 1 2 2 3 25 57lg 2lg 3 4 7lg2 lg 2 1 5lg 2 1 7lg2lg27lg2lg 2 5 5lg 2 1 2lg 2 1 2 1 5lg2 lg 2 1 方法二 原式 57lg4lg 7 24 lg 47 5724 lg 2 1 52lg 2 原式 2lg5 2lg2 lg5 2lg2 lg5 lg2 2 2lg10 lg5 lg2 2 2 lg10 2 2 1 3 点评 这类问题一般有两种处理方法 一种是将式中真数的积 商 方根运用对数的运算法则将它们化 为对数的和 差 积 商 然后化简求值 另一种方法是将式中的对数的和 差 积 商运用对数的运算 法则将它们化为真数的积 商 幂 方根 然后化简求值 计算对数的值时常用到 lg2 lg5 lg10 1 变式变式 1 计算 2 3 lg5 lg8000lg2 11 lg600lg0 036lg0 1 22 解析 分子 2 2 3 lg5 lg8000lg2 lg5 3 3lg2 3 lg23lg53lg2 lg5lg2 3 分母 113616 lg600lg0 036lg0 1 2 lg6lg2 lg6lg4 22100010100 所以 原式 3 4 题型二 对数函数的性质题型二 对数函数的性质 例题例题 2 求函数 416 log 1 x x y 的定义域 解析 由 11 01 0416 x x x 得 0 1 2 x x x 所求函数定义域为 x 1 x 0 或 0 x 2 点评 求与对数函数有关的定义域问题 首先要考虑真数大于零 底数大于零且不等于 1 例题例题 3 判断函数 f x ln 2 1x x 的奇偶性 解析 1 2 x x 恒成立 故 x 的定义域为 又 f x ln 2 1x x ln xx 2 1 1 ln 222 2 1 1 xx xx ln 2 1x x f x f x 为奇函数 点评 在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候 首先应该根据函数的解析式确定函数的定义 域 当所给函数的定义域关于原点对称时 再判断 f x 和 f x 之间的关系 f x 为奇函数 f x f x f x f x 0 xf xf 1 f x 0 f x 为偶函数 f x f x f x f x 0 xf xf 1 f x 0 在解决具体问题时 可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断 例题例题 4 比较下列各组数的大小 1 log0 7 1 3 和 log0 71 8 2 log35 和 log64 3 lgn 1 7和 lgn 2 n 1 解析 1 对数函数 y log0 7x 在 0 内是减函数 因为 1 3 1 8 所以 log0 71 3 log0 71 8 2 log35 和 log64 的底数和真数都不相同 需找出中间量 搭桥 再利用对数函数的单调性即可求 解 因为 log35 log33 1 log66 log64 所以 log35 log64 3 把 lgn 看作指数函数的底 本题归为比较两个指数函数的函数值的大小 故需对底数 lgn 讨论 若 1 lgn 0 即 1 n 10 时 y lgn x在 R 上是减函数 所以 lgn 1 7 lgn 2 若 lgn 1 即 n 10 时 y lgn x在 R 上是增函数 所以 lgn 1 7 lgn 2 若 lgn 1 即 n 10 时 lgn 1 7 lgn 2 点评 两个值比较大小 如果是同一函数的函数值 则可以利用函数的单调性来比较 在比较时 一定 要注意底数所在范围对单调性的影响 即 a 1 时是增函数 0 a 1 时是减函数 如果不是同一个函数的 函数值 就可以对所涉及的值进行变换 尽量化为可比较的形式 必要时还可以 搭桥 找一个与二者 有关联的第三量 以二者与第三量 一般是 1 0 1 的关系 来判断二者的关系 另外 还可利用函数 图象直观判断 比较大小方法灵活多样 是对数学能力的极好训练 变式变式 2 2010 重庆四月模拟 函数的定义域是 1 1 lg 2 yx x A B C D 12 14 12 12 解析 由题意得 解得 选 A 10 20 lg 20 x x x 12x 变式变式 3 设 a log0 70 8 b log1 10 9 c 1 10 9 则 a b c 的大小顺序是 A a b c B b c a C b a c D c b a 解析 因为 0 a log0 70 8 log0 70 7 1 b log1 10 91 10 1 所以选 C 变式变式 4 求函数 y log4 7 6 x x2 的单调区间和值域 分析 考虑函数的定义域 依据单调性的定义确定函数的单调区间 同时利用二次函数的基本理论求得 函数的值域 解析 由 7 6 x x2 0 得 x 7 x 1 0 解得 1 x 7 函数的定义域为 x 1 x 7 设 g x 7 6x x2 x 3 2 16 可知 x 3 时 g x 为增函数 x 3 时 g x 为减函数 因此 若 1 x1 x2 3 则 g x1 g x2 即 7 6x1 x12 7 6x2 x22 而 y log4x 为增函数 log4 7 6 x1 x12 log4 7 6x2 x22 即 y1 y2 故函数 y log4 7 6x x2 的单调增区间为 1 3 同理可知函数 y log4 7 6x x2 的单调减区间为 3 7 又 g x x 3 2 16 在 1 7 上的值域为 0 16 所以函数 y log4 7 6x x2 的值域为 2 点评 函数的单调区间必须使函数有意义 因此求函数的单调区间时 必先求其定义域 然后在定义域 内划分单调区间 求函数最值与求函数的值域方法是相同的 应用函数的单调性是常用方法之一 例题例题 5 根据对数函数图象判断底数的大小关系 a b c d 解析 log1 aa 直线与各函数图象交点的横坐标为底数值 1y 故 cdab 点评 利用 可以有效的解决对数函数底数大小的比较问题 由上述结果可知 对数函数底数log1 aa 越小 图象在第一象限越靠近 y 轴 题型三 反函数题型三 反函数 例题例题 6 2009 广东 若函数 yf x 是函数1 x yaaa 0 且 的反函数 且 2 1f 则 f x A x 2 log B x 2 1 C x 2 1 log D 2 2 x 解析 函数1 x yaaa 0 且 的反函数是 logaf xx 又 2 1f 即log 21 a 所以2a 故 2 logf xx 选 A 点评 利用同底的指数函数与对数函数互为反函数 c da b 1 logbx logax logdx logcx 1 o x y 题型四 对数方程与不等式题型四 对数方程与不等式 例题例题 7 的解为 22 log 1 2log 1 xx 解析 原方程变形为 2 1 log 1 log 1 log 2 222 xxx 即 得 41 2 x5 x 01 01 x x 1 xx 5 点评 考察对数运算 注意验根 使对数式有意义 变式变式 5 解关于 x 的不等式 1 0 2log 12 log 34 log 2 aaxxx aaa 解析 原不等式可化为 12 2log 34 log 2 xxx aa 当 a 1 时 有 2 2 1 23 41 2 1 12 234 034 012 2 2 x x x x xxx xx x 当 0 a1 时不等式的解集为 2 2 1 x 当 0 a 1 时不等式的解集为 42 x 点评 利用对数函数单调性解不等式 注意定义域和底数的讨论 题型五 对数函数图象和性质综合问题题型五 对数函数图象和性质综合问题 例题例题 8 已知函数 y loga 1 ax a 0 a 1 1 求函数的定义域与值域 2 求函数的单调区间 3 证明函数图象关于 y x 对称 解析 1 1 ax 0 即 ax 1 a 1 时 定义域为 0 0 a 1 时 定义域为 0 令 t 1 ax 则 0 t 1 而 y loga 1 ax logat a 1 时 值域为 0 0 a 1 时 值域为 0 2 a 1 时 t 1 ax在 0 上单调递减 y logat 关于 t 单调递增 y loga 1 ax 在 0 上单调递减 0 a 1 时 t 1 ax在 0 上单调递增 而 y logat 关于 t 单调递减 y loga 1 ax 在 0 上单调递减 3 y loga 1 ax ay 1 ax ax 1 ay x loga 1 ay 反函数为 y loga 1 ax 即原函数的反函数就是自身 函数图象关于 y x 对称 点评 有关于对数函数的定义域要注意真数大于 0 函数的值域取决于 1 ax的范围 可应用换元法 令 t 1 ax以减小思维难度 运用复合函数单调性的判定法求单调区间 函数图象关于 y x 对称等价于原函数的反函数就是自身 本题要注意对字母参数 a 的范围讨论 方法与技巧总结方法与技巧总结 1 对数运算法则的综合运用 应掌握变形技巧 1 各部分变形要化到最简形式 同时注意分子 分母 的联系 2 要避免错用对数运算性质 2 求对数函数的定义域 值域 单调区间 及奇偶性的判定都依赖于定义法 数形结合及函数本身的性 质 应熟练掌握对数函数的相关性质 3 对数式方程和不等式常用解法 1 形如 转化为 loglog 0 1 aa f xg xaa 0 0 f x g x f xg x 2 对于 则 loglog 0 1 aa f xg xaa 当时 得 当时 得 1a 0 0 f x g x f xg x 10 a 0 0 f x g x f xg x 3 形如或的方程或不等式 一般用换元法求解 log 0 a Fx log 0 log 0 aa FxFx 4 形如的方程化为求解 对于的形式可以考虑利用 logf xg xc c f xg x logf xg xc 对数函数的单调性来解决 题库题目仅供选择使用 巩固练习巩固练习 1 2012 肇庆高三上学期期末 函数的定义域是 1 ln 1 21 x f xx A B C D 0 1 0 1 0 1 1 2 已知yxmyx 22 loglog 10 则有 A 0 m B 10 m C 21 m D 2 m 3 2010 北京海淀区第二学期期中 在同一坐标系中画出函数的图像 可能log x a yx yayxa 正确的是 4 2010 辽宁 设25 ab m 且 11 2 ab 则m A 10 B 10 C 20 D 100 5 函数 2 ln 45 yxx 的单调递减区间为 6 1 已知 lg2 0 3010 lg3 0 4771 求 lg45 2 设 logax m logay n 用 m n 表示 log 3 4 4 y x a a 3 已知 lgx 2lga 3lgb 5lgc 求 x 7 求函数 y log2 x 的定义域 并画出它的图象 8 比较下列各组数中两个值的大小 1 log23 4 log23 8 2 log0 51 8 log0 52 1 3 loga5 1 loga5 9 4 log75 log67 9 设 A B 是函数 y log2x 图象上两点 其横坐标分别为 a 和 a 4 直线 l x a 2 与函数 y log2x 图象交 于点 C 与直线 AB 交于点 D 1 求点 D 的坐标 2 当 ABC 的面积大于 1 时 求实数 a 的取值范围 10 已知函数 1 1 1lg 22 xaxaxf 1 若的定义域为 求实数的取值范围 xfRa 2 若的值域为 求实数的取值范围 xfRa 课后作业课后作业 1 已知函数 那么 的值为 0 log 0 3 2 xx x xf x 4 1 ff A 9 B C D 9 1 9 9 1 2 已知 0 x y a 1 则有 A loga xy 0 B 0 loga xy 1 C 1 loga xy 2 3 若定义在 1 0 内的函数 则 a 的取值范围是 0 1 log 2 xxf a A B C D 2 1 0 2 1 0 2 1 0 4 若函数在 R 上为增函数 则 a 的取值范围是 x ay log 2 1 A B C D 2 1 0 1 2 1 2 1 1 5 已知 则的大小关系是 0 11 3 2 log 0 3 2 0 2abc a b c A B C D abc cab acb bca 6 若 则 13 1 ln2lnlnxeaxbxcx A a b c B c a b C b a c D b c1 则 a 的取值范围是 2x A 或 B 或 2 1 0 a21 a1 2 1 a21 a C D 或21 a 2 1 0 a2 a 2 2010 山东 函数 2 log31 x f x 的值域为 A 0 B 0 C 1 D 1 3 已知且 下列四组函数中表示相等函数的是 0 a1 a A B 1 loglog ayxy xa 与xyay x a 与 log C D x aa yxy 2 log2 与xyxy aa log2log 2 与 4 2011 高州三中高三上期末 已知是 上的减函数 那么a的取 1 log 1 4 12 xx xaxa xf a 值范围是 A 1 0 B 1 0 2 C 1 1 6 2 D 1 1 6 5 函数的单调递增区间是 1log2log2 2 1 2 2 1 xxy A B C D 2 2 2 2 4 1 4 1 6 已知定义在 R 上的偶函数在上是增函数 且 则满足的的取值范围 00 3 1 f0log 8 1 xfx 是 A B C D 0 2 2 1 0 2 2 1 8 1 0 2 1 0 7 2012 重庆 设函数 2 43 32 x f xxxg x 集合 0 MxR f g x 2 NxR g x 则MN 为 A 1 B 0 1 C 1 1 D 1 8 2012 江苏 函数xxf 6 log21 的定义域为 9 2008 山东 已知 则的值等于 2 3 4 log 3233 x fx 8 2 4 8 2 ffff 10 已知 f logax 1 1 2 2 ax xa 其中 a 0 且 a 1 1 求 xf 2 求证 是奇函数 xf 3 求证 在 R 上为增函数 xf 11 已知函数 lg 10 xx f xabab 1 求的定义域 f x 2 在函数的图象上是否存在不同的两点 使过这两点的直线平行于轴 f xx 3 当满足什么条件时 在上恒取正值 a b f x 1 12 现有两个函数 3 log 1 axxf a 与 ax xf a 1 log 2 其中1 0 aa 1 求函数 1 xfxF 2 xf 的表达式与定义域 2 给出如下定义 对于在区间 nm 上有意义的两个函数 xf与 xg 如果对任意 nmx 有1 xgxf 则称 xf与 xg在区间 nm 上是接近的 否则称 xf与 xg在区间 nm 上是 非接近的 若10 a 试讨论 1 xf与 2 xf在给定区间 3 2 aa上是否是接近的 参考答案参考答案 1 巩固练习答案 巩固练习答案 1 选 B 由 101 1 0210 x xx x x 2 A 3 选 D 依题意 a 0 且 a 1 对于 A D 图 由对数及指数函数图像知 a 1 此时直线 y x a 在 y 轴上 的截距大于 1 因此 A 错 D 对 选择 D 4 选 A 2 11 log 2log 5log 102 10 mmm m ab 又0 10 mm 5 2 5 注意定义域 6 解析 1 1190 lg45lg45lg 222 1 lg9lg10lg2 2 1 2lg3 1 lg2 2 2lg 2 1 2 1 3lg0 4771 0 5 0 1505 0 8266 2 4 3 4 log a x a y 111 3412 logloglog aaa axy 12 1 3 1 4 1 log 12 1 log 3 1 4 1 mnyx aa 3 由已知得 5 32 532 lglglglglg c ba cbax 5 32 c ba x 7 解析 函数的定义域为 x x 0 x R 函数解析式可化为 y 0 log 0 log 2 2 xx xx 其图象如图所示 其特征是关于 y 轴对称 8 解析 1 对数函数 y log2x 在 0 上是增函数 且 3 4 3 8 于是 log23 4 log23 8 2 对数函数 y log0 5x 在 0 上是减函数 且 1 8 2 1 于是 log0 51 8 log0 52 1 3 当 a 1 时 对数函数 y logax 在 0 上是增函数 于是 loga5 1 loga5 9 当 0 a 1 时 对数函数 y logax 在 0 上是减函数 于是 loga5 1 loga5 9 4 因为函数 y log7x 和函数 y log6x 都是定义域上的增函数 所以 log75 log77 1 log66 log67 所以 log75 log67 9 解析 1 易知 D 为线段 AB 的中点 因 A a log2a B a 4 log2 a 4 所以由中点公式得 D a 2 log2 4 aa 2 S ABC S梯形 AA CC S 梯形 CC B B S 梯形 AA B B log2 4 2 2 aa a 其中 A B C 为 A B C 在 x 轴上的射影 由 S ABC log2 4 2 2 aa a 1 得 0 a 22 2 10 解析 1 或 2 1 a 3 5 a 3 5 1 a 依题意对一切恒成立01 1 1 22 xaxaRx 当时 必须有 即或01 2 a 0 1 4 1 01 22 2 aa a 1 a 3 5 a 当时 当时 满足题意 当时不合题意01 2 a1 a1 a0 xf1 a 故或 1 a 3 5 a 依题意 只要能取到的任何值 则的值域为 1 1 1 22 xaxat 0 xfR 故有 即 0 1 4 1 01 22 2 aa a 3 5 1 a 当时 当时 符合题意 当时 不合题意01 2 a1 a1 a12 xt1 a 0 1 2 x y 2 1 故 3 5 1 a 2 课后作业答案 课后作业答案 1 选 B 9 1 3 2 4 1 2 4 1 log 4 1 2 2 ffff 2 选 D 0 x y a1 2x 当 0 1 时 函数 y logax 在上总有 y1 即 1 a 2x212log a a 20 解析 由 可得 211 2 1 aa或 2 选 A 3 选 C 定义域均为 Rxa x a 2log 2 4 选 C 5 选 A 6 选 B 7 选 D 由 0f g x 得 2 4 30gxg x 则 1g x 或 3g x 即321 x 或323 x 所以1x 或 3 log 5x 由 2g x 得322 x 即34 x 所以 3 log 4x 故 1 MN 8 0 6 由1 266 00 0 6 1 12log0log 6 6 2 0 x x x xx x 9 2008 22 3 4 log 32334log 3233 xx fx 2 4log233 f xx 8 2 4 8 2 ffff 1864 144 2008 10 解析 利用换元法 可令 t logax 求出 f x 从而求出 f x 证明奇函数及增函数可运用定义 1 解 设 t logax 则 t R x at x 0 则 f t 1 1 2 2 aa aa t t 1 2 a a at a t 2 证明 f x 1 2 a a a x ax 1 2 a a ax a x f x f x 为奇函数 3 证明 设 x1 x2 R 且 x1 x2 则 f x2 f x1 1 2 a a a 2 x a 2 x a 1 x a 1 x