方程求根的迭代法1.doc

方程求根的迭代法 -牛顿法和弦截法实验目的：实际问题中碰到的函数f(x)是各种各样的，有的表达是很复杂，这时求解函数方程f(x)=0的根就会变得很困难，而工程应用中，对计算的结果只要保证在某个误差范围之内就足够了，这就要求我们设计一种方法能够求解复杂函数方程的根，迭代法就是这样一种求解复杂函数方程的根的方法。又由于通常对某些函数方程的根要求比较精确，误差要控制在一定的范围之内，所以计算过程比较复杂，这就要求这种算法能够便于利用计算机编程实现，牛顿法和弦截法为我们提供了一种既能够利用迭代法求解复杂方程的根，又能够便于利用计算机实现，从而方便我们求解，节省我们时间的求解方法。本实验的目的就在于熟练掌握利用牛顿法和弦截法编程求解方程根，并且比较牛顿法和弦截法的收敛速度，比较两者的不同之处，进而加深对牛顿法和弦截法这两种方法的数学原理的理解。实验编程实现方程f=(x)x-exp(-x)及f=(x)x*exp(x)-1分别利用牛顿法和弦截法求解，并且比较牛顿法和弦截法各自迭代多少次才能达到要求的某一精度，并且理解二者的差别和各自的优缺点。本实验中要注意在牛顿法的迭代过程中，分母上会出现f(x)的导数项，所以在编程过程中，一定要在程序的一开始就先判断f(x)是否等于0，如果等于0，则直接跳出，只有在其不为0的情况下才继续执行程序。另外某些函数可能会发散或者是迭代过程收敛的非常慢，这时用牛顿法就是不合适的，所以这就要求我们另取其他方法。所以在用牛顿法求解方程根的过程中，要设置一个最大的迭代次数，以免造成电脑资源不足，系统崩溃。在弦截法的迭代过程中，除了与牛顿法相同的一些注意事项之外，还要注意在计算之前必须要先提供两个开始的值x0，x1。实验原理： 迭代法的设计思想：迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固定公式，即所谓的迭代公式，反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直到得出满足精度要求的结果。迭代法求根的过程分为两步，第一步先提供根的某个猜测值，即所谓的迭代初值，然后再将迭代初值逐步加工成满足精度要求的根。1、 牛顿法 对于方程f(x)=0，设已知它的近似根,则函数f（x）在点附近可用一阶泰勒多项式p(x)=f()+f()(x-)来近似，因此方程f(x)=0可近似的表示为p(x)=0。后者是一个线性方程，它的求解是容易的，我们取p(x)=0的根作为f(x)=0的新的近似根，记作，则有=-，这就是著名的牛顿公式，相应的迭代公式是(x)=x-。牛顿法是一种逐步线性化方法，这种方法的基本思想是将非线性方程f(x)=0的求根问题归结为一系列线性方程f()+f()(x-)=0的根。牛顿法有明显的几何解释。方程f(x)=0的根在几何上解释为曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。设是根的某个近似值，对曲线y=f(x)上横坐标为的点引切线，设该切线与x轴的横坐标记为，则这样获得的即为按牛顿法获得的近似根。由于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。如下图所示 图 牛顿法几何表示2、 弦截法牛顿法的突出优点是收敛的速度快，但它有个明显的缺点：需要提供导数值f(),如果函数f(x)比较复杂，致使导数的计算困难，那么使用牛顿公式是不方便的。为避开导数的计算，可以改用差商替换牛顿公式中的导数，得到下列离散化形式，这个公式是根据方程的等价形式建立的迭代公式。迭代公式也有明确的几何意义。曲线上坐标为的点记为，则差商表示弦线的斜率，易知是弦线与x轴的交点，因此这种方法称为弦截法。如下图所示 图 弦截法几何表示考察弦截法的收敛性。直接对迭代函数求导得，当充分接近时，由故知弦截法为线性收敛。为提高收敛速度，再改用差商代替牛顿公式中的，从而导出下列迭代公式：，这种迭代方法称为快速弦截法。实验中编程主要用的就是这种公式。快速弦截法的特点在于，它在计算时要用到前面的两步信息，即这种迭代法为两步法。使用这种方法，在计算前必须先提供两个开始值。实验内容：一、牛顿法1、 实验设备：电脑一台，matlab软件2、 实验数据准备：函数f，f的导数df，初值，迭代区间 （），误差精度，最大迭代次数N。 3、算法流程图 4、 实验步骤 首先输入初值，精度及最大迭代次数，然后按照实验流程图编写实验程序，最后输出正确精度的实验结果。2、 弦截法 1、实验设备：电脑一台，matlab软件 2、实验数据准备：函数f，初值，误差精度，最大迭代次数N。 3、算法流程图 4、实验步骤 首先输入初值，精度，初值，及最大迭代次数，然后按照实验流程图编写实验程序，最后输出正确精度的实验结果。实验结果：1、实验题目求函数方程f=(x)x*exp(x)-1的解x。初值=0.5，=0.6最大迭代次数1000次，迭代区间（0,1），精度为10(-15)。2、 实验结果1 牛顿法 1中间过程 函数调用 format long; f=(x)x*exp(x)-1; df=(x)x*exp(x)+exp(x); k=newton1(f,df,0.5,0,1,10(-15),1000) 中间结果 newton2diaoyongx1 = 0.571020439808422i = 2x1 = 0.567155568744115i = 3x1 = 0.567143290533261i = 4x1 = 0.567143290409784k = 0.5671432904097842最终结果 函数调用 format long; f=(x)x*exp(x)-1; df=(x)x*exp(x)+exp(x); k=newton1(f,df,0.5,0,1,10(-15),1000) 最终结果 newton2diaoyongx1 = 0.571020439808422i = 2x1 = 0.567155568744115i = 3x1 = 0.567143290533261i = 4x1 = 0.567143290409784i = 5x1 = 0.567143290409784k = 0.5671432904097842 弦截法 1中间过程 函数调用 format long; f=(x)x*exp(x)-1; k=xianjie(f,0.5,0.6,10(-5),1000) 中间结果 xianjiediaoyongx2 = 0.565315140174367i = 2x2 = 0.567094633483845i = 3x2 = 0.567143363314904i = 4x2 = 0.567143290406878k = 0.5671432904068782最终结果 函数调用 format long; f=(x)x*exp(x)-1;k=xianjie(f,0.5,0.6,10(-15),1000) 最终结果 xianjiediaoyongx2 = 0.565315140174367i = 2x2 = 0.567094633483845i = 3x2 = 0.567143363314904i = 4x2 = 0.567143290406878i = 5x2 = 0.567143290409784i = 6x2 = 0.567143290409784k = 0.567143290409784实验结果分析从实验结果中可以看出，当精度要求不是很高时，如本实验中的10（-5），用牛顿法和弦截法分别求方程的根，二者的迭代次数相同，都是4次，但是当精度提高到10（-8）时，弦截法要迭代5次，牛顿只需要4次，当精度提高到10（-15）时，弦截法要6次，牛顿法只需要5次。由此可见，弦截法的收敛速度要比牛顿法慢，但是相对而言，比起二分法要快。牛顿法在这三种方法中收敛速度是最快的，但是其计算过程中要求导数，这样就造成了计算很复杂，计算量很大。弦截法则避免了牛顿法中要求导数的困难。所以，牛顿法和弦截法各有优点，也各有不足之处，在实际问题中要根据方程函数的复杂程度，计算量等，合理选择。附录：function k=newton(f,df,x0,xmin,xmax,e,N);i=1;while(iN) if df(x0)=0 i=N break; end; x1=x0-f(x0)/df(x0) if(x1xmin) if(abs(x1-x0)e) k=x1; break; end end x0=x1; i=i+1endformat long;f=(x)x*exp(x)-1;df=(x)x*exp(x)+exp(x);k=newton1(f,df,0.5,0,1,10(-15),1000) function k=x