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不等式证明的若干方法摘要不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。关键词 不等式 证明 定义 性质一、 不等式的定义及分类用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫做不等式，不等号包括“”“”“”“”“”.通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域为不等式的定义域.根据不等号的不同可以将不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地，用纯粹的大于号“”、小于号 “”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号“”）、不大于号（小于或等于号“”）连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式. 根据不等式成立于否，可以讲不等式分为绝对不等式、矛盾不等式和条件不等式.恒成立的不等式为绝对不等式，例如：23；恒不成立的不等式为矛盾不等式，例如333；在一定条件下成立的不等式为条件不等式，例如：如果X5，那么X10.不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题.二、不等式证明的若干方法：1、运用不等式的基本性质证明由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式.以下是其中比较常用的不等式的基本性质： （1）如果，那么；如果，那么；（对称性）（2）如果，；那么；（传递性） （3）如果，而为任意实数或整式，那么；（加法法则） （4） 如果，那么；如果，那么；（乘法法则） （5）如果，,那么；如果，,那么 （6）如果，那么(充分不必要条件) （7）如果，那么（8）如果，那么的次幂的次幂（为正数）, ,那么的次幂的次幂（为正数）2、应用基本不等式证明其他不等式基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式，它常被当做定理，用于证明其他的不等式.常用的基本不等式有：（1）、平均值不等式 概念： 、调和平均数：、几何平均数：、算术平均数： 、平方平均数： 这四种平均数满足： （2）、柯西不等式 一般形式 等号成立条件：，或、均为零. （3）、排序不等式 设有两组数 和 满足，则有 式中是 的任意一个排列， 当且仅当 或 时成立.以上排序不等式也可简记为： 反序和乱序和同序和. （4）、琴生不等式（幂平均） 设f(x)为凸函数，则（上凸）.（下凸）.加权形式为：（上凸） （下凸）其中，且.（5）、贝努利不等式 伯努利不等式的一般式为 当且仅当时等号成立. （6）、切比雪夫不等式切比雪夫不等式有两个 （1）设存在数列和满足和 那么， （2）设存在数列和满足和那么，常用的基本不等式还有加权幂平均不等式、赫尔德不等式等. 3、比较法： 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“”.其一般步骤为：作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.例：证明 ；证明： 当且仅当a=b=c时等号成立， （当且仅当a=b=c取等号）.(2)商值比较法的理论依据是：“若”.其一般步骤为：作商：将左右两端作商；变形：化简商式到最简形式；判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.例：证明 (均为正实数，且)4、综合法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：，即从已知逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论.例： 是不全相等的正数，求证： 证明： 由得，同理b(c2+a2)2abc，c(a2+b2)2abc不全相等，上述三个等号不同时成立，三式相加有：. 5、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法.其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.其逻辑关系为：，书写的模式是：为了证明命题成立，只需证明命题为真，从而有，这只需证明为真，从而又有，这只需证明为真，而已知为真，故必为真.例： 已知且 ，求证：证明：要证，只需证：即证：，即证，只需证已知上式成立，原不等式成立.6、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.放缩法的基本策略有：（1）、添加或舍弃一些正项（或负项）（2）、先放缩再求和（或先求和再放缩）（3）、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）（4）、放大或缩小“因式”；（5）、逐项放大或缩小（6）、固定一部分项，放缩另外的项；（7）、利用基本不等式放缩（8）、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩放缩法应用举例：例1、 已知求证：证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.例2、函数，求证：.证明：由 得 .此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。例3、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.7、数学归纳法数学归纳法是一种先得出首个例子的正确性,而后通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法， 常用来证明与自然数有关的相关命题. 数归法是以皮亚诺的归纳公理作为依据，把归纳法与演绎法结合起来的一种完全归纳法数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作,那么数学归纳法的步骤为:(1) 证明当取对命题适用的第一个自然数时, 正确.(2)假设(且)时,命题成立,即正确.证明当时命题成立. 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.(3)根据(1) 、(2) 当且 时 ,即正确.运用数学归纳法证题时, 以上三个步骤缺一不可, 步骤(1)是正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可.8、反证法 反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”这种证明的方法，叫做反证法反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易反证法中有归谬法和穷举法两种：原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法用反证法证题一般分为三个步骤：（1）、假设命题的结论不成立；（2）、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确即：提出假设推出矛盾肯定结论反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理用反证法证明不等式举例：例 ：已知、 、 、 ，且 .求证： 、 、 、 中至少有一个是负数.证明：假设 、 、 、 都是非负数， ， .又 .这与已知 矛盾. 、 、 、 中至少有一个是负数.9、换元法 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式：(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示，将复杂的代数问题转化为三角问题.根据具体问题，实施的三角代换方法有：若，可设；若，可设；对于含有的不等式，由于，可设；若，由知，可设其中.(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如，可以用或进行换元.10、构造法 根据欲证不等式的具体结构特证，通过构造函数、方程、图形等达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫做构造法. 构造法作为一种数学思维方法，在解题过程中通过观察分析给出式和欲证式，充分挖掘题目的隐含信息，并进行联想与思考，恰当地构造