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文档简介
中国可控环境农业科技网: WWWCHINACEASTCOM可控环境农业实验室: WWWCEALCN 第10页虚拟植物生长的双尺度自动机模型赵 星1), 6) Philippe de Reffye 2), 6) 熊范纶3) 胡包钢4), 6) 展志岗5), 6) 1) (中国科技大学计算机科学系合肥 230027)2) (Laboratoire de Modelisation des Plants, CIRAD, BP5035, 34032 Monpellier, France)3)(中国科学院合肥智能机械研究所 合肥230031)4)(中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室 北京100080)5)(中国农业大学电子电力工程学院 北京100083)6) (中国科学院自动化研究所中法联合实验室 北京100080)摘 要:用来构造植物形态的计算机模型很多,但大部分模型用于自然景物的模拟,所研究的内容主要集中在计算机图形学方面。该文从植物学的角度出发,提出了微状态和宏状态的双尺度概念,建立了虚拟植物生长的双尺度自动机模型。该模型考虑了植物的生长机理,参数物理意义明确,结构简洁条理,形象直观,易于理解和编程实现,并且应用了符合植物顶芽和腋芽发育过程的概率模型,更适合模拟真实植物的生长过程。通过与“L系统”和“参考轴技术”这两种著名的植物生长模型的比较,以及给出了用该模型模拟植物学家提出的构造模型的例子,证明了该模型实用有效。关键词:虚拟植物,植物生长,模型,双尺度,自动机。DUAL-SCALE AUTOMATON MODEL FOR VIRTUAL PLANT DEVELOPMENTZHAO Xing1), 6), Ph. de REFFYE2), 6), XIONG Fan-Lun3), HU Bao-Gang4), 6), ZHAN Zhi-Gang5), 6)1) (Department of Computer Science, USTC, Hefei 230027)2) (Laboratoire de Modelisation des Plants, CIRAD, BP5035, 34032 Monpellier, France)3) (Hefei Institute of Intelligent Machines, CAS, Hefei 230031 )4) (National Laboratory of Pattern Recognition, Institute of Automation, CAS, Beijing 100080)5) (College of Electronic and Electric Power Engineering, CAU, Beijing 100083)6) (LIAMA, Institute of Automation, CAS, Beijing 100080)Abstract: A variety of plant growth models for plant morphogenesis have been reported, but most of them are based on computer graphics to represent natural scenery. In this paper, a dual-scale automaton model for virtual plant development is presented, in which the concepts of microstate and macrostate are proposed from the viewpoints of botany. The parameters of this model have explicitly physical meaning for relating to the plant growth mechanisms, and they can be structured for input with diagram. All of these features make it easy to understand and implement in programming. And a probability process, which accords with the growth of plants apical bud and axillary bud, is also used in this model. The model is demonstrated a simpler but effective method by comparison with L-system and reference axis technique. While the model has been tested for generating almost all plant architectural models defined by botanists, only one example is given in the paper to confirm the advantages of the model.Key words: virtual plant, plant growth, modeling, dual-scale, automaton.1 引言虚拟植物生长是指用计算机形象直观地再现植物的生长过程。 1968年,美国的生物学家 A. Lindenmayer提出了L系统,作为植物形态建模的一般框架1。从此,植物生长模拟吸引了许多计算机科学家、植物学家以及数学家,提出了许多生成植物图形的方法和模型,如各种改进的L系统2、IFS(函数迭代系统)3、参考轴技术(Reference axis technique)4 11、分形方法5、分枝矩阵6、基于几何可观察量的模型7、基于图符的交互式模型8以及用来模拟森林环境的粒子系统9等。虚拟植物生长在建筑环境的整体规划,园林的景物布局设计,以及虚拟环境中的自然景物生成等方面都取得了很大的进展,目前开始转向应用于农业的研究。将虚拟植物(农作物)生长技术应用于农业研究具有重要意义,一方面可以在虚拟农田环境系统中进行虚拟试验,可部分地替代在现实世界中难以进行或费时、费力、昂贵的试验,如虚拟育种、虚拟施肥、虚拟剪枝等。另一方面在教学和农业科技推广领域,可以使学生和农民在计算机上学习作物生长过程和农田管理知识,观察虚拟作物生长状况和动态过程,通过改变环境条件和栽培措施,直观了解作物生长状况的改变和获得优化结果,这样可取得传统方式无法企及的效果10。但上述模型中,除了L系统和参考轴技术外,其它模型都侧重于计算机图形学,主要研究自然景物的模拟,即用尽量少的植物学知识,方便快捷地生成美丽的植物图形。由于研究的目的不同,所以模型的功能也不同,这些模型不适合模拟真实植物的整个生长过程。而L系统和参考轴技术虽然能描述植物的生长过程,但都存在不易理解和使用的缺点。在3.5节中,将把双尺度自动机模型与L系统及参考轴技术作一些比较。为了能有效客观地模拟真实植物的生长过程,将来应用于虚拟农业的研究,模型的选择是一个根本的重要的问题。针对其他模型在描述真实植物生长过程方面的缺点,本文基于植物的生长机理,建立了双尺度自动机模型。该模型形象直观,结构条理,能有效地模拟真实植物的生长过程。图1轴的形态特征2 植物的轴结构为了清楚地表述双尺度自动机模型,先简要介绍一下植物轴的结构。植物主体结构由轴(plant axis)组成,植物的主干称为主轴;分枝用不同级的轴命名,如主干上的枝条称为1级侧轴。1级侧轴的分枝称为2级侧轴,依次类推。如图1所示,轴上生叶的部位称为节,节与节之间的那段轴称为节间(internode)。轴顶端的芽称为顶芽,叶腋处的芽称为腋芽,侧枝由腋芽发育形成。节和节间,以及节上的侧生器官(叶、腋芽、花或果实)的集合植物学上称为植物分生单位(metamer或phytomer), 本文简称为叶元。长一个新叶元的时间的英文名为Syllepticshoot1112,本文称之为节周期。下面介绍几个本文所用到的植物学概念:生长周期(Growth cycle):植物生长是一个周期性的过程,每个周期称为一个生长周期,其长短视具体的植物而定。例如,温带木本植物,随着季节变化,由生长至休眠,生长周期通常为一年,而草本植物一般是一个生长季。生长单元(Growth unit):在一个生长周期内,植物在轴上所长出的新的叶元的总和。生理年龄 (Physiological age):植物的生长过程是一个单向的不可逆的演变过程,其中经历了一些明显不同的生理阶段。用不同的生理年龄来表征不同的生理阶段。在同一生理阶段中,也就是在相同的生理年龄内,植物具有相似的生长特征。如果设最初长出的植物器官的生理年龄为1,以后长出的植物器官的生理年龄逐渐增大的话,则根据植物学,生理年龄较大的植物器官只能从生理年龄与其相同或较小的植物器官处长出4。这就象植物不可能先开花后发芽一样。因此,生理年龄数可以理解为生长次序。如生理年龄1理解为生长次序1,生理年龄2理解为生长次序2,依次类推。生长年龄(Chronological age):是植物经历的总生长周期数。植物同时具有生长年龄和生理年龄两种年龄,如树枝顶端新长出的器官(如带有花朵的小枝条),虽然其生长年龄很小,但其生理年龄已经比较老了。3 双尺度自动机模型在模拟植物的生长过程时,一般以一定的时间间隔和一定的单位尺度模拟。由于叶元是植物的分生单位,因此在双尺度自动机模型中,用微状态代表叶元,作为模拟的最小单位。植物的生长过程是一个周期性过程。植物在相同的生理阶段的各个生长周期内长出的生长单元,不仅具有相似的生长参数(如节间伸长速度,叶子的扩张规律等),而且植物的一些生长特性(如植物的生长节奏(Growth rhythm),各级轴之间的生长速度的比例等)与生长单元相关。因此在双尺度自动机模型中,用宏状态代表生长单元,并引入生理年龄的概念,相同生理阶段的宏状态对应相同的生理年龄,用相似的生长参数描述,这样大大节省了所需的生长参数,简化了描述的复杂性。由于生长单元由叶元组成,因此宏状态由微状态组合而成。并且在同一生长单元内的叶元处于相同的生理阶段,因此在同一宏状态内的微状态具有相同的生理年龄。由上所述,用两种尺度的状态是根据植物的生长特性决定的。双尺度自动机模型通过这两种状态的组合和循环模拟植物的生长过程,生成植物的拓扑结构。31 微状态(Microstate)图2微状态腋芽叶元微状态用如图2所示的图符表示,其中代表叶元, 代表叶元上可能具有的腋芽,用不同颜色(填充图案)代表不同的生理年龄,并用虚线圆圈围起来。因为在正常条件下,叶元上的腋芽将发育成侧枝或其他植物器官,所以腋芽的生理年龄大于或等于叶元本身的生理年龄。微状态的生理年龄是指叶元本身的生理年龄。这样对于具有m种生理年龄的植物,可能有f(m)种微状态:(1)例如具有三种生理年龄的植物,可能具有的微状态种类为3(3+3)/2=9种,如表1所示:表1 具有三种生理年龄的植物可能具有的微状态无腋芽有相同生理年龄的腋芽E12E13E10E11E30E33E23E22E20有不同生理年龄的腋芽在表1中,第一列指在叶元上没有腋芽的微状态;第二列指叶元上有相同生理年龄的腋芽的微状态,用来产生合轴分枝;第三列指叶元上有比自己生理年龄大的腋芽的微状态。32 宏状态(Macrostate)图3 包含三个微状态的宏状态如图3所示,宏状态由相同生理年龄的微状态组合而成,为区别于微状态,用实线圆圈围起来。在每个宏状态内部的微状态构成一个半马尔可夫链,对应着叶元在植物轴上的生长过程。之所以用半马尔可夫链而不用马尔可夫链表示微状态之间的关系,是因为每个微状态的循环次数应该用从实际植物测得的叶元数目变化概率曲线控制,而对于马尔可夫链,每个状态的循环次数依靠状态之间的转移概率,不容易控制。特别是当各状态只能单向跳转时,每个状态的循环次数实际只是一个几何分布。由于同一宏状态内的微状态的生理年龄相同,所以微状态之间可以互相跳转,微状态之间的状态转移用微状态概率转移矩阵控制。为了避免形成死循环,应给定每个宏状态包含的最大叶元数目,这个值可以是符合一定概率分布的变量。每个宏状态内微状态循环生成的叶元数目必须小于或等于这个值。宏状态自我循环一次,也就是组成宏状态的微状态循环一次。宏状态之间也构成一个半马尔可夫链。每个宏状态自我循环对应着生长单元在植物轴上的周期性生长,具体的循环次数也可用从实际植物测量得到的概率曲线控制。(a)图4 (a)微状态,(b)只包含一种微状态的宏状态(b)宏状态之间的状态转移用宏状态概率转移矩阵控制。因为植物生长的单向性,宏状态之间只能单向跳转。当最后一个宏状态自我循环结束后,则自动机运行结束。微状态与只包含一个同种微状态的宏状态是不同的。如图4所示,它们虽然生成的叶元相同,具有的腋芽也相同,但微状态生成一个叶元只需一个节周期,而宏状态却需要一个生长周期。双尺度自动机模型共采用三种属性表描述其具体属性:微状态属性表描述每种微状态的属性,如这种微状态叶元上的各植物器官的数目,形状以及在生长中的变化规律等。限于篇幅,表2给出了微状态属性表的部分内容;宏状态内部属性表描述组成每个宏状态的微状态循环次数和转移矩阵,如3.3节表3所示;宏状态之间关系属性表描述每种宏状态的循环次数和宏状态之间的转移矩阵。该参数表类似于宏状态内部属性表,这里不再给出。这些属性表中的参数需根据具体所模拟的植物确定。通过这三个参数表,将植物的拓扑结构和几何结构以及生长参数等简洁条理地结合在一起。微状态侧芽数叶子数花朵数侧芽角度叶子角度花朵角度显示110601200表2:微状态参数表的部分内容33 双尺度自动机模型中的概率模型根据de Reffye 1988年提出的植物芽的生长和死亡的模拟方法11 ,双尺度自动机模型通过模拟顶芽和腋芽的生长过程产生植物的拓扑结构。芽的生长和死亡是一个随机过程。芽在每个生长周期都可能死亡,即使是生存期间,也有可能处于休眠状态,长不出新的叶元。设 c是芽在每个生长周期生存着的概率,b是生存着且能长出新的叶元的概率,则在N个生长周期内,长出k个新叶元的概率为:(2)公式(2)等式右边第一项表示从第k个周期到N-1个周期,长出k个新叶元的概率。其中表示在i个周期内芽生存着,但第i+1个周期时,芽死亡的概率。 表示在生存着的i个周期内,能长出k个新叶元的概率。因为小于k个周期时,即使每个生长周期都能长出新的叶元,新的叶元数也只等于周期数,而小于k,所以公式中不考虑周期小于k的情况。第二项表示直到第N个生长周期时,才能长出k个新叶元的概率。为了增强概率模型的功能,在实际应用中,再增加一个表示概率分布偏移的参数S。用(N,b,c,S)四个参数共同确定的概率分布能很好地拟合大多数植物生长所遵从的概率分布曲线。在本模型中,每种宏状态和微状态的自我循环次数由各自的(N,b,c,S)所确定的概率分布控制,在程序中用蒙特卡罗方法模拟(N,b,c,S)所确定的概率分布。宏状态或宏状态内的微状态自我循环结束后,分别根据各自的状态转移矩阵转移到下一个宏状态或微状态。表3 宏状态内部各微状态的属性表 ParametersMicrostatesNbcS MicrostatesMicrostates50.60.90020.820.820.80如表3所示为包含四个微状态的宏状态的内部属性表。左边是决定本宏状态内部各微状态自我循环次数的概率分布参数,右边是这些微状态之间的状态转移矩阵,由于每个微状态的自我循环次数已经确定,所以在状态转移矩阵中,对角线上的元素为0。34 用双尺度自动机模型生成植物拓扑结构双尺度自动机模型通过模拟顶芽和腋芽的生长而生成植物的拓扑结构。微状态的循环,相当于植物轴上的顶芽在轴上连续长出一节节叶元。宏状态的循环,相当于顶芽在轴上连续长出一个个生长单元。如图5a是一个不考虑随机性的双尺度自动机,也就是各状态的循环次数固定,状态转移矩阵中向下一个状态转移的概率为1。该自动机共包括三种宏状态,每种宏状态对应一种生理年龄,用 、 和 中的三种纹理分别代表三种生理年龄。第一个宏状态包含两个微状态,第二个和第三个宏状态各包含一个微状态。各状态的循环次数如图5a所示。如果用W1,W2,L,Wn来表示模型的第1到第n个宏状态,那么Wn单独循环生成植物拓扑结构的最低层的“子结构”n-1级子结构,Wn和Wn-1组合生成n-2级子结构,如此类推,所有的宏状态组合生成植物的整体结构。叶元上的具有一定生理年龄的腋芽能长出一个起始生理年龄相同的子结构,子结构轴上的腋芽能长出下一级子结构,这是双尺度自动机模型生成分枝结构的关键。如图5a中第一个宏状态中的第二个微状态具有两个生理年龄为2的腋芽,能长出两个一级子结构。第二个宏状态中的微状态只有一个生理年龄为3的腋芽,能长出一个二级子结构。图5c是第二个宏状态和第三个宏状态组合生成的一级子结构,图5d是第三个宏状态单独循环生成的二级子结构。由于只根据模型的部分状态就可确定植物的子结构,因此在针对具体植物建模时,既可预测植物整体形状,又可方便地对植物的局部进行调整,能较快地确定模型参数。图5(a)双尺度自动机模型,(b)每个生长周期产生的拓扑结构,(c)一级子结构,(d)二级子结构1122121S1 S2S3S4S5(b)(a)(c)(d)在模型中,用一个时钟来控制植物的生长节奏。开始生长时,时钟的值为0。时钟的值每增加1,表示经过一个生长周期,则宏状态循环一次,在植物的各个轴上长出各自的一个新的生长单元。这样随着时钟的增长,各状态的循环,就生成了植物的拓扑结构。图5b为时钟从1到5,在每个生长周期内的产生的植物拓扑结构。当时钟为14时,植物还能生长,产生的植物拓扑结构S1S4称为“生长结构”。当时钟为5时,各状态的自我循环和状态之间的转移结束,也就是自动机运行结束,生成了“完整结构”S5。草本植物生长周期短,芽能发育完全,属于完整结构;乔木、灌木等植物属于生长结构。35 双尺度自动机模型同L系统和参考轴技术的比较L系统和各种功能扩展了的L系统应用广泛,功能强大,描述具有严格分形结构的物体非常精炼。但L系统在描述植物的生长过程方面,有一定缺陷。一方面虽然用“参数L系统”能描述植物的生长过程,但这种形式语言的表示方法却非常繁复。例如根据文献2中参数L系统的原理和表示格式,可用式(3)生成图5b中的拓扑结构,其中A、B、C、D分别表示图5a中的四种微状态,I表示长出一个节间。由式(3)可见,图5b中简单的植物拓扑结构却需要8条产生式。另一方面L系统具体编程实现时,在产生式中将植物的几何结构信息和拓扑结构信息同时描述,理解和使用都比较困难。: A0, 0 P1: Ai, k: (i 2)&(k IAi+1, kP2: Ai, k: (i = 2)&(k B0, kP3: Bj, k: (j 1)&(k IC0 C0 Bj+1, kP4: Bj, k: (j = 1)&(k A0, k+1 (3)P5: Bj, k: (j = 1)&(k = 1) C0P6: Cm: (m ID0Cm+1P7: Cm: (m = 2) D0P8: Dn: (n I在双尺度自动机模型中,用属性表描述各状态的具体属性,结构条理,并且与植物学概念结合紧密,生成植物拓扑结构的过程与实际植物生长的过程相同,所以容易与生理生态模型(Ecophysiological model)相结合。例如,与植物水动力模型(hydraulic model)结合,计算出植物在各个生长阶段组成植物的各个器官的尺寸,然后调用植物器官库中的归一化的植物器官(节间、叶、花、果实等),根据计算出的植物器官尺寸变换后,按照生成的拓扑结构装配成一个植物,就可知道植物的生长过程。参考轴技术由法国国际农业研究发展研究中心(CIRAD) de Reffye 等研究人员提出,是一种模拟植物生长的典型随机过程方法。该模型又称为“自动机模型”,相当于状态只能单向转移的有限自动机,能很好地模拟植物轴上分生组织的活动 4 11,已经成功地应用于著名的植物生长模拟系列软件AMAP中。在该模型中,状态代表植物的节间。而双尺度模型的微状态代表叶元。叶元不仅包含一个节间,而且还包含腋芽等其他一些侧生器官。这样不仅可定义属于这种叶元的其他侧生器官的生长变化规律,而且如3.4节所述,还能很容易确定组成植物拓扑结构的每一个子结构以及整体结构。这对于建模时确定植物的模型参数非常重要。另外在参考轴技术中由于没有宏状态的概念,不仅不容易描述与生长周期有关的一些植物生长特点(如生长节律、生长延迟(growth delay law)等),而且当描述同一棵植物时需要比双尺度自动机模型更多的状态参数。这是因为植物以生长周期为单位周期性生长,在一些相邻的生长单元中,对应叶元的参数可能非常相似。即使少数具有不同值的参数(如节间长度的变化),也可以通过给定概率分布曲线确定。因此双尺度自动机模型用同种微状态表示这些具有相似参数的叶元,用宏状态组合生长单元中各种叶元,用宏状态的自我循环表示生长单元的连续生长。而参考轴技术中用不同的状态描述这些相似的叶元,这样状态数大大增加。当描述同一棵植物时,如果设K为双尺度自动机模型中宏状态的个数,Ni是第i个宏状态的自我循环次数,Mi是第i个宏状态中微状态的个数,则参考轴技术的状态数Rn基本可以用下式确定:(4)由于宏状态只是描述怎样组合微状态,其本身仅需要自我循环次数、宏状态之间转移概率等几个参数,而微状态的参数包括叶元的几何参数和生长规律参数等,远远多于宏状态的参数。因此与微状态的参数相比,宏状态的参数个数可以忽略不计。参考轴技术的各个状态的参数与微状态的相当,而描述相同的植物其状态数比微状态数多,这样造成了参数大大增加。图6:用参考轴技术模拟图5中的拓扑结构q12q21q32q41q61q52例如根据文献4中定义的格式,可用图6所示的参考轴技术模型生成图5b中的植物拓扑结构的主轴。其中q1和q3对应图5a中双尺度自动机模型的宏状态1中的第一个微状态,q2和q4对应第二个微状态,q5和q6分别对应第二个和第三个宏状态中的微状态。参考轴技术一般在程序中根据主轴的结构指定枝条的结构,不用图形表达。虽然图5a中的双尺度自动机包含三种宏状态和四种微状态,但其参数少于图6所示参考轴技术的6个状态所需的参数。4 仿真实验及模型方法验证植物的拓扑结构有一定的规律,植物学家归纳为二十三类构造模型(architectural model),如Corner 模型、Tomlison 模型、Leeuwenberg模型、Rauh模型等11 13。大多数植物的拓扑结构属于这些模型中的一种或几种模型的组合,根据这些模型很容易生成具体的植物。对这些构造模型的模拟能力是检验植物生长模型的一个重要标准11。我们在微机上开发的基于双尺度自动机模型的植物生成软件“VisualPlant”,全部实现了这二十三种模型的模拟实验,表明该模型可以有效地生成植物学家定义的各类植物的拓扑结构。限于篇幅,下面仅以Rauh模型为例说明。Rauh模型是最普通的树的构造模型,松树、樱桃树、杨树以及槭树都属于这种模型。该模型有很强的分层结构,属于单轴分枝结构。图7a是生成Rauh模型的双尺度自动机模型,该模型应用了三种宏状态。在第一种和第二种宏状态中分别包含两种微状态,第三种宏状态中包含一种微状态。每种状态的循环次数以及状态之间的转移关系如图所示。这里没有考虑随机情况。图7b是用图7a的双尺度自动机模型在第5个生长周期后生成的植物拓扑结构,是一个生长结构。图7c是利用“VisualPlant”生成的对应图7b所示的植物拓扑结构的二维植物图形。生成该图形还需要一定的植物几何生长参数:如植物各器官的形状、尺寸、数目、角度、生长和死亡的时间,以及节间的伸长和增粗规律,叶片的扩张规律,枝条与主干夹角的变化规律等,以及模拟枝条弯曲的力学模型等。图7:Rauh模型,(a)双尺度自动机模型,(b)第5个生长周期后产生的拓扑结构,(c)二维图形(b)(c)(a)113114215 结束语模拟真实植物的生长过程,应采用基于植物生长原理的模型。综上所述,在模拟真实植物的生长过程方面,双尺度自动机模型与其它模型相比主要有以下几个优点:a. 应用宏状态和微状态分别表示植物的生长单元和叶元,并用半马尔可夫链来描述各状态之间的关系,不仅符合植物周期性生长的特点,而且能更精练地表达植物的拓扑结构。b. 由于用了图形化表示,因此模型形象直观,结构条理清楚。植物生长参数根据生理年龄的归类,不仅大大简化了植物生长参数,而且容易与植物实测数据结合。所有这些优点使得该模型易于理解和编程实现。c. 根据模型容易确定植物的子结构,因此针对具体植物建模时,可方便地对植物的局部进行控制,有利于尽快确定模型参数。在将来进一步研究中,还需要解决以下两个问题:a. 植物种类繁多,植物生长机理复杂。要想真实地虚拟植物的生长过程,除了对植物生长过程进行大量的观察和测量外,还必须研究双尺度自动机模型与具体植物的生态生理模型有机结合的问题。b. 由于双尺度自动机模型基于马尔可夫链,所以可以发展一套数学公式计算双尺度自动机模型在各个生长周期所产生的枝条拓扑结构。利用这些公式不仅可以快速统计和验证双尺度自动机模型的模拟结果,而且还能非常快速地生成植物图片,这在计算机图形实时应用方面,具有非常重要的意义。致谢:法国CIRAD的Fred BLAISE博士在计算机图形学方面给予了很大的帮助,在此表示衷心的感谢。在项目的实施期间,还与CIRAD的Jean-Francois BARCZI博士、Herve REY研究员、Marc JAEGER博士、Francois HOULLIER研究员、中法实验室严红平同学等进行了有益的讨论。参考文献1 胡瑞安,胡纪阳,徐树公等. 分形的计算机图象及其应用. 北京:中国铁道出版社,19952 Prusinkiewice P, Lindenmayer A. The algorithmic beauty of plants. New York: Springer-Verlag, 19903 Dekmo S, Hodges L, Naylor B. Construction of fractal objects with iterated fuction systems. Computer Graphics, 1985, 19(3): 271-278 4 Blaise F, Barczi J F, Jaeger M, Dinouard P, De Reffye P. Simulation of the growth of plants modeling of metamorphosis and spatial interactions in the architecture and development of plants. Cyberworlds, Tokyo: Springer-Ve
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