3.1.3空间向量的数量积运算.doc

31.3空间向量的数量积运算2008年5月12日，四川汶川发生特大地震为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60(其中g10 N/kg)问题1：向量F1和F2夹角为多少？提示：120.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，|F|2(F1F2F3)(F1F2F3)(F1F2F3)26|F0|2，|F|F0|，|F0|1010(N)1空间向量的夹角2空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则abab0(2)若a与b同向，则ab|a|b|若反向，则ab|a|b|特别地：aa|a|2或|a|(3)若为a，b的夹角，则cos (4)|ab|a|b|应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直1两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为.2两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零3数量积ab的几何意义是：ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积数量积的运算例1如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点求下列向量的数量积：(1) ；(2) ；(3)( )()思路点拨根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征精解详析(1)正四面体的棱长为1，则|1.OAB为等边三角形，AOB60，于是：|cos，|cosAOB11cos 60.(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，所以EF綊AC，于是E|cos，|cos，11cos，11cos 60.(3)( )()()()()(2)222212121.一点通在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算1.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2B2C2D2解析：22 2a2cos 60a2，2 22a2cos 60a2,2a2，2a2.答案：B2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积：(1) ；(2) .解：如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1) ()b(ca)b|b|24216.(2) ()()(cab)(ac)|c|2|a|222220.用数量积求夹角例2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值思路点拨先求，再由夹角公式求cos，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的余弦值精解详析，且0，1.又|，|，cos，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.一点通利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：3已知a，b是异面直线，Aa，Ba，Cb，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30B45C60 D90解析：设，()|21，cos .又0，60.答案：C4已知空间四边形OABC各边及对角线长相等，E，F分别为AB，OC的中点，求与所成角的余弦值解：如图，设a，b，c，且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca.因为(ab)，cb，|，(ab)(cb)acbcab|b|2.cos，.异面直线所成的角为直角或锐角，异面直线OE与BF所成角的余弦值为.利用数量积求两点间的距离例3如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60，求对角线AC1和BD1的长思路点拨把向量和用已知向量，表示出来，再用数量积的定义运算精解详析，|22()22222()1112(cos 60cos 60cos 60)6.|，即对角线AC1的长为.同理，|22()22222()1112(cos 60cos 60cos 60)2.|，即对角线BD1的长为.一点通求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2aa，通过向量运算去求|a|，即得所求距离5.如图，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于()A6 B6C12 D144解析：，2222222363636266cos 60266cos 90266cos 90144，|12.答案：C6在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离解：ACD90，0，同理，0.AB与CD成60角，60或120.又，|2|2|22223211cos，|2或，即B，D间距离为2或.利用数量积证明垂直问题例4已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.思路点拨先将已知条件转化为0，0，再证明0.精解详析ABCD，ACBD，0，0.()()22()0.，从而ADBC.一点通用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明7已知向量a，b是平面内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0，且cb0是l的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若l平面，则ca，ca0，cb，cb0；反之，若ab，则ca，cb，并不能保证l平面.答案：B8已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.证明：连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|.又()()(abc)，cb，(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.，即OGBC.1求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同2利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可3利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算1已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a()A12B8C4 D13解析：(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 1202425()13.答案：D2已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为()A60 B30C135 D45解析：ab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cosa，b11cosa，b0，cosa，b.0a，b180，a，b45.答案：D3已知a，b是异面直线，ab，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6 B6C3 D3解析：由ab，得ab0，(2e13e2)(ke14e2)0.e1e20，2k120，k6.答案：B4设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析：()()220.同理，可证0，0.三角形的三个内角均为锐角答案：B5已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.解析：|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22.答案：226如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAD90，BAA1DAA160，则对角线AC1的长度等于_解析：2()222222216925243cos 90245cos 60235cos 6050201585，|.答案：7.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1) ，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)结合(1)知|cos，221.又|，cos，|2，即侧棱长为2.8在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F分别是DD，DB的中点，G在棱CD上，CGCD，H为CG的中点(1)求EF