椭圆竞赛讲座资料.doc

一、基础知识1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即(0eb0)，参数方程为（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为 (ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为；2）斜率为k的切线方程为；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为的弦的长为。二、方法与例题1与定义有关的问题。例1 已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。解 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又xb0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a|FO|=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为解法二 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。例8 椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。证明 设|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由A，B在椭圆上有即 +得（定值）。4最值问题。例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。解 由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。设m=|AB|2=,因为，且a2b2，所以，所以br1a，同理br2a.所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。解 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcos,tsin)，则|BC|2=(2tcos)2+=3t2sin2-3tsin+4t2=-3(tsin+)2+3+4t2.若，则当sin=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。若t,则当sin=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以椭圆方程为。三、基础训练题3椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是_.5椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足F1PF2=600，则F1PF2的面积是_.四、高考水平测试题4椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_.7如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的范围是_.11求椭圆上任一点的两条焦半径夹角的余弦值。12设F，O分别为椭圆的左焦点和中心，对于