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第一章 函数与极限【组织教学】检查学生出缺勤情况，填写教学日志，师生互问好等【讲授新课】第一节 映射与函数一、 集合1.集合概念(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体， 集合的元素通常用A，B，S，T 等表示.元素: 组成这个集合的事物 集合的元素通常用a，b，x，y等表示.集合与元素之间的关系aM：若x是集合的元素；a M: 若x不是集合的元素. 集合分为有限集和无限集.(2)集合的表示法列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:如:(3)常用的集合记号集合 ：集合A内排除0的集.集合 : 集合B内排除0与负数的集.N=全体自然数，Z=全体整数，Q=全体有理数，R=全体实数.(4) 集合的关系如果 ， 必有 则称A是B的子集，记为若 且 则称A与B相等,记为 若 则 称A是B的真子集,记为且不含任何元素的集合，则称为空集记为. 是任何集合的子集. 2、集合的运算设A、B是二个集合，定义 (A与B的并集)(A与B的交集)(A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集。A的余集或补集记为:例如: 在实数集R中则有设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.证明:且且反之,且且于是注:在以后的证明中,“ ”表示“推出”(或“蕴含”), “ ”表示“等价”.直积或笛卡儿乘积例如：为xOy面上全体点的集合，记为3、区间和邻域设a,bR,且ab,开区间闭区间半开区间和称a,b为区间的端点，称ba为这些区间的长度. 以上这些区间都称为有限区间.引进记号： + （读作正无穷大）（读作无穷大）- (读作负无穷大）无限区间 用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.邻域(1) 设是任一正数，称开区间(a-,a+)为点a的邻域，记为U(a,)，即点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.a(2) 点a的去心邻域：点a的左邻域: 开区间(a-,a)点a的右邻域: 开区间(a,a+)注 若不强调的大小，点a的去心邻域记为U(a)【小 结】 本次课我们一起学习了第一章 函数与极限中的第一节 映射与函数中的集合等知识点，内容比较难，请同学们课后多做练习，巩固今天的知识点。【作 业】第一章 函数与极限【组织教学】检查学生出缺勤情况，填写教学日志，师生互问好等【讲授新课】第一节 映射与函数二、映射1、映射的概念定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则 , 使得对X中每个元素x, 按法则 , 在Y中有唯一确定的元素 y与之对应, 则称 为从X到Y的映射,记为 其中y称为元素x(在映射 下)的像,记作 即 元素x称为元素y(在映射 下)的一个原像;集合X称为映射 的定义域, 记作 , 即X中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域, 记作或 即注意:(1) 一个映射必须具备以下三个要素:集合X, 即定义域集合Y, 即值域的范围:对应法则 使对每个 有唯一确定的 与之对应.(2) 对每个 ,元素x的像y是唯一的;对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的映射 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 .映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.2. 逆映射与复合映射设 是X到Y上的单射于是, 可以定义一个从 到X的新映射g, 即对每个 ，规定g(y)=x,这x满足f(x)=y;这个映射g称为f 的逆映射,记作,其定义域值域注意:只有单射才存在逆映射.三、函数1.函数概念定义 设数集 ， 则称映射 为定义D上的函数，通常简记为因变量自变量D称为定义域, 记作 , 即 . 对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x),即y= f (x).函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域, 记作或 f (D) , 即函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素: 定义域 与对应法则f .如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数例如:对于多值函数, 往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程 给出的对应法则中,附加 的条件，就可得到一个单值分支表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集称为函数的 图形.2. 函数的几种特性(1) 函数的有界性:若 有 成立则称函数f (x)在X上有界.否则称为无界. oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX无界注意: (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的(2)有界与否是和X有关的.(3)证明无界的方法: 对于任意正数 M ,总存在 使 (2) 函数的单调性:设函数f (x)的定义域为D, 区间如果对于区间I上任意两点 及 当 时,恒有则称函数f (x)在区间I上是单调增加的; xyo设函数f (x)的定义域为D, 区间如果对于区间I上任意两点 及 当 时,恒有则称函数f (x)在区间I上是单调递减的; xyo(3) 函数的奇偶性:设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数;yxox-x偶函数偶函数的图形关于y轴对称.函数 y=cosx是偶函数.设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数.奇函数yxox-x奇函数的图形关于原点对称.函数 y=sinx是偶函数函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.(4) 函数的周期性:设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得对于任恒成立, 一 有 且则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）函数sinx, cosx的周期是2函数tanx的周期是3. 反函数与复合函数反函数的定义: 设函数 是单射,则它存在逆函数称此映射 为函数f 的反函数.如:函数 是单射,其反函数为若函数f (x)在D上是单调函数,则 也是f (D)上的单调函数.D)(xfy=函数D复合函数定义: 设函数 的定义域 函数u=g(x)在D上有定义，且则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f 构成的复合函数通常记为函数g与函数f 构成复合函数 的条件是:函数g在