流形上的Green公式和式极限证明和数值模型 [附件3 分析.doc

附件3流形上的Green公式和式极限证明和数值模型 分析与说明杨科中国 成都 610017E-mail: 以符号/为首者为分析说明(红色痕迹)目录引言 证明的前提条件-(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立 (参见 流形上的Green公式证明 引言2)1.流形上的Green公式和式极限证明 . 12.流形上的Green公式和式极限数值模型. 11参考书籍.201.流形上的Green公式和式极限证明:Green公式 设平面有界闭区域S的边界曲线L由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,如果函数P(x,y),Q(x,y) 构成平面向量场A 在平面有界闭区域S上具有一阶连续偏导数,则 (1)证明:定义任意单连通闭合曲线L的参数表达式 a cos(t),b sin(t) (2)其中a,b为非零常数或一阶可导连续函数表达式,单连通闭合曲线L决定a,b的取值;设定参数t的变化范围0,2,使曲线L闭合.(参见Poincare猜想:任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面)10计算平面闭合曲线L的切向量(3): (3)设定边界曲线L的参数分割单元数量为50(可取任意自然数值) (4)1.边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (5)分割抽象向量场P(x,y),Q(x,y):P(x,y),Q(x,y) (6)/ 由于抽象向量场P(x,y),Q(x,y)的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为P(x,y),Q(x,y)分割切向量(7): 即将(5)带入(3) (7)计算闭合曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值: (8)根据积分中值定理,抽象向量场(6)与切向量(7)的平面点积再乘以参数t的分割区间(5)即为第一分割单元的微观曲线积分值(8). (8)2.边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (9)(其中i为150的自然数)分割抽象向量场P(x,y),Q(x,y): (10)P(x,y),Q(x,y) (10)/ 由于抽象向量场P(x,y),Q(x,y)的普遍性和同质性, 其在若干分割单元的值仍为P(x,y),Q(x,y)分割切向量(11): 即将(9)带入(3) (11) 计算闭合曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值: (12)根据积分中值定理,抽象向量场(10)与切向量(11)的平面点积再乘以参数t的分割区间(9)即为所有(50个)分割单元的微观曲线积分值(12) (12) 构建有限个(即50个)微观曲线积分值组成的数列: (13)(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(dt*(idPV1*idCO1+idPV2*idCO2),i=1.dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加(即抽象向量场(10) 与切向量(11) 的平面点积在曲线L的所有50个分割单元的积分值求和),获得流形上曲线积分值 (14) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值:/该值随参数分割区间数量的无限增大,无限趋近于零 设定闭合边界曲线L的参数分割单元数量为不确定的自然数n (15)3.闭合曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (16)分割抽象向量场P(x,y),Q(x,y)(17):P(x,y),Q(x,y) (17)/ 由于抽象向量场P(x,y),Q(x,y)的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为P(x,y),Q(x,y)分割切向量(18):即将(16)带入(3) (18) 计算闭合曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值(19):根据积分中值定理,抽象向量场 (17)与切向量(18) 的平面点积再乘以参数t的分割区间(16)即为第一分割单元的微观曲线积分值(19) (19)4.闭合曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (20)(其中i为1n的自然数)分割抽象向量场P(x,y),Q(x,y)(21): P(x,y),Q(x,y) (21)/ 由于抽象向量场P(x,y),Q(x,y)的普遍性和同质性, 其在若干分割单元的值仍为P(x,y),Q(x,y)分割切向量(22): 即将(20)带入(3) (22) 计算闭合曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值(23):根据积分中值定理,抽象向量场 (21)与切向量(22) 的平面点积再乘以参数t的分割区间(20)即为所有分割单元的微观曲线积分值(23) (23)构造有限和式(24): (在参数分割单元数量n不确定的情况下,抽象向量场(21)与切向量(22)的平面点积在所有分割单元的积分值求和): (24)有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲线积分值(25)(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下,抽象向量场(21)与切向量(22)的平面点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = 0 (25)将闭合曲线L的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y轴方向上的曲线坐标参数转化为平面有界闭区域S坐标参数;并且将表达式中的符号t换为u: (26)根据平面有界闭区域S坐标参数(26),定义并计算偏导数矩阵,获取平面有界闭区域S微元系数的一般表达式(27): = abr (27)将微分函数从直角坐标形式转变为平面有界闭区域S坐标形式(28): = (28)/在直角坐标系,抽象向量场P(x,y),Q(x,y)的微分函数为. 在本证明的逻辑推导中,需要将其引入抽象单连通闭合曲曲线坐标系.抽象微分函数 的两个组成单元 , ,其微分变量x,y皆含有子变量r,u.直角坐标系与抽象单连通闭合曲线坐标系之间的转换式为x = r a cos(u), y = r b sin(v)-与微分函数,的两个微分变量,对应的坐标转换微分函数分别为和.“微分函数, 与坐标转换微分函数的乘积”(即两种微分函数的乘积) 构成了抽象单连通闭合曲线坐标系的抽象微分函数./ 是”链式求导”还是”坐标转换”? / 如果是”链式求导”,根据”同链相乘,分链相加”的原则应为:/ 不论是”链式求导”还是求”微分函数”,解决的是抽象向量场P(x,y),Q(x,y)”如何求导” 、”求导的方式”问题; 而这里是要将抽象向量场P(x,y),Q(x,y)求导的结果从一个坐标转化到另一个坐标的问题;两个”问题”的性质和层次都是不同的,这里是”相乘”而不是”相加”,这是由坐标的空间属性决定的设定闭合曲线L 圈围的平面有界闭区域S的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值) (29)5.平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (30)分割面积微元系数(31) 即将(30)带入(27):(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的第一分割单元的对应值) (31)分割抽象微分函数(32) 即将(30)带入(28):(抽象微分函数(28)在平面有界闭区域S的第一分割单元的对应值) (32) /由于抽象微分函数的普遍性和同质性,如果该抽象微分函数在平面有界闭区域S有定义, 则在平面有界闭区域S的某一或若干分割单元,该抽象微分函数仍然可以被表述为计算平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分值(33):根据积分中值定理,抽象微分函数(32)与面积微元系数(31)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(30)即为第一分割单元的微观二重积分值(33):6.平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (34)(其中i,j均为150的自然数)分割面积微元系数(35) 即将(34)带入(27):(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值) (35)分割抽象微分函数(36) 即将(34)带入(28):(抽象微分函数(28)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值)/由于抽象微分函数的普遍性和同质性,如果该抽象微分函数在平面有界闭区域S有定义, 则在平面有界闭区域S的某一或若干分割单元,该抽象微分函数仍然可以被表述为计算平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分值(37):根据积分中值定理,抽象微分函数(36)与面积微元系数(35)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(34)即为所有分割单元的微观二重积分值(37):构建有限个(即50个)微观二重积分值组成的数列(38):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(ijddPV2*ijdJ*du*dr,i=1.dus),j=1.dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加(即微分函数与面积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和),获得流形上的二重积分值(39): (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):omega:=evalf(%):中间的:替换为;即可获得)设定闭合曲线L圈围的平面有界闭区域S的参数分割单元数量为不确定的自然数n(40)7.平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (41)分割面积微元系数(42): 即将(41)带入(27)(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的第一分割单元的对应值) (42)分割抽象微分函数(43): 即将(41)带入(28)(抽象微分函数(28)在平面有界闭区域S的第一分割单元的对应值) (43)/由于抽象微分函数的普遍性和同质性,如果该抽象微分函数在平面有界闭区域S有定义, 则在平面有界闭区域S的某一或若干分割单元,该抽象微分函数仍然可以被表述为计算平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分值(44):根据积分中值定理,抽象微分函数(43)与面积微元系数(42)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(41)即为第一分割单元的微观二重积分值(44):8.平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (45)(其中i,j均为1n的自然数)分割面积微元系数(46) 即将(45)带入(27):(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值) (46)分割抽象微分函数(47): 即将(45)带入(28)(抽象微分函数(28)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值):/由于抽象微分函数的普遍性和同质性,如果该抽象微分函数在平面有界闭区域S有定义, 则在平面有界闭区域S的某一或若干分割单元,该抽象微分函数仍然可以被表述为计算平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分值(48):根据积分中值定理,抽象微分函数(47)与面积微元系数(46)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(45)即为所有分割单元的微观二重积分值(48):构造有限和式(49):(在参数分割单元数量n不确定的情况下,微分函数与面积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和):有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的二重积分值(50):(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下,微分函数与面积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和)= 0 (50)其中,设定即设定平面面积微元本身在所有分割单元的积分值之和不能为零,也可以理解为设定平面积分区域不能为零面积即在n 情况下(26)=(51), =亦可表述为 (1), 证毕2.流形上的Green公式和式极限数值模型已知: 单连通闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式 (1)其中,t0,2; 以及积分(平面)向量场 (2)计算并验证流形上的Green公式(和式极限)图例 单连通闭合曲线 不规则、不对称解: 第一部分,自由环路积分和式极限实现:计算曲线(1)的切向量(3):设定边界曲线L的参数分割单元数量为50(可取任意自然数值) (4)1.边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (5)分割向量场(6): 即将(1)带入(2)以后,再带入(5) (6) 分割切向量(7): 即将(5)带入(3) (7)计算闭合曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值: (8)根据积分中值定理,向量场(6)与切向量(7)的平面点积再乘以参数t的分割区间(5)即为第一分割单元的微观曲线积分值(8). (8)2.边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (9)(其中i为150的自然数)分割向量场(10): 即将(1)代入(2)以后,再带入(9)分割切向量(11): 即将(9)带入(3) (11) 计算闭合曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值: (12)根据积分中值定理,向量场(10)与切向量(11)的平面点积再乘以参数t的分割区间(9)即为所有(50个)分割单元的微观曲线积分值(12)(12) 构建有限个(即50个)微观曲线积分值组成的数列: (13)(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(dt*(idPV1*idCO1+idPV2*idCO2),i=1.dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加(即抽象向量场(10) 与切向量(11) 的平面点积在曲线L的所有50个分割单元的积分值求和),获得流形上曲线积分值 (14) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值: 设定闭合边界曲线L的参数分割单元数量为不确定的自然数n (15)3.闭合曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (16)分割向量场(17): 即将(1)带入(2)以后,再带入(16) (17)分割切向量(18):即将(16)带入(3) (18) 计算闭合曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值(19):根据积分中值定理, 向量场 (17) 与切向量 (18) 的平面点积再乘以参数t 的分割区间(16)即为第一分割单元的微观曲线积分值(19)(19)4.闭合曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数t的取值区间0,2: dt = (20)(其中i为1n的自然数)分割向量场(21): 即将(1)带入(2)以后,再带入(20) (21)分割切向量(22): 即将(20)带入(3) (22)计算闭合曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值(23):根据积分中值定理, 向量场 (21) 与切向量 (22) 的平面点积再乘以参数t 的分割区间(20)即为所有分割单元的微观曲线积分值(23) 构造有限和式: (24)(在参数分割单元数量n不确定的情况下,向量场(21)与切向量(22)的平面点积在所有分割单元的积分值求和): (24)有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲线积分值(25)(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下, 向量场(21)与切向量(22)的平面点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = (25)第二部分 自由平面有界闭区域二重积分(和式极限)实现将闭合曲线L的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y轴方向上的曲线坐标参数转化为平面有界闭区域S坐标参数;并且将表达式中的符号t换为u: (26)根据平面有界闭区域S坐标参数(26), 定义并计算偏导数矩阵, 获取平面闭区域微元系数的一般表达式(27): =(27)计算向量场（2）的微分函数： （28）设定闭合曲线L 圈围的平面有界闭区域S的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值) (29)5.平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (30)分割面积微元系数(31) 即将(30)带入(27):(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的第一分割单元的对应值) 分割微分函数(32) 即将(26)带入(28)以后,再带入(30):(微分函数(28)在平面有界闭区域的第一分割单元的对应值) （32）计算平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分值(33):根据积分中值定理,微分函数(32)与面积微元系数(12)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(30)即为第一分割单元的微观二重积分值(33): （33）6.平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (34)(其中i,j均为150的自然数)分割面积微元系数(35)： 即将(34)带入(27)(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值) 分割微分函数(36) 即将(26)带入(28)以后,再带入(34):(微分函数(28)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值) （36）计算平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分值(37):根据积分中值定理,抽象微分函数(36)与面积微元系数(35)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(34)即为所有分割单元的微观二重积分值(37): （37）构建有限个(即50个)微观二重积分值组成的数列(38):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(ijddPV2*ijdJ*du*dr,i=1.dus),j=1.dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加(即微分函数与面积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和),获得流形上的二重积分值(39): (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):omega:=evalf(%):中间的:替换为;即可获得) 设定闭合曲线L圈围的平面有界闭区域S的参数分割单元数量为不确定的自然数n(40)7.平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (41)分割面积微元系数(42) 即将(41)带入(27):(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的第一分割单元的对应值)分割微分函数(43) 即将(26)带入(28)以后,再带入(41):(微分函数(28)在平面有界闭区域S的第一分割单元的对应值) （43）计算平面有界闭区域S的第一分割单元的微观二重积分值(44):根据积分中值定理,微分函数(43)与面积微元系数(42)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(41)即为第一分割单元的微观二重积分值(44): （44）8.平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,2: du = (45)(其中i,j均为1n的自然数)分割面积微元系数(46) 即将(45)带入(27):(面积微元系数(27)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值)（46）分割微分函数(47) 即将(26)带入(28)以后,再带入(45):(微分函数(28)在平面有界闭区域S的所有分割单元的对应值):（47）计算平面有界闭区域S的所有分割单元的微观二重积分值(48):根据积分中值定理,微分函数(47)与面积微元系数(46)的乘积再乘以参数r,u的分割区间(45)即为所有分割单元的微观二重积分值(48): （48）构造有限和式(49):(在参数分割单元数量n不确定的情况下,微分函数与面积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和):（49）有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的二重积分值(50):(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下,微分函数与面积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和)= （50） 即在n 情况下(25)=(50),流形上的Green公式(和式极