北师大版数学九年级上册第一单元测试题

第 1 页 共 37 页 北师大版数学九年级上册第一单元测试题北师大版数学九年级上册第一单元测试题 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A 对边相等B 对角相等 C 对角线互相平分 D 对角线互相垂直 2 如图 四边形 ABCD 是菱形 AC 8 DB 6 DH AB 于 H 则 DH 等于 A B C 5D 4 3 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O E F 分别是 AD CD 边上的中点 连接 EF 若 EF BD 2 则菱形 ABCD 的面积为 A 2B C 6D 8 4 如图 在矩形 ABCD 中 AD AB 点 E 是 BC 上一点 且 DE DA AF DE 垂足为点 F 在下列结论中 不一定正确的是 A AFD DCEB AF ADC AB AFD BE AD DF 5 如图 正方形 ABCD 的边长为 9 将正方形折叠 使顶点 D 落在 BC 边上的 点 E 处 折痕为 GH 若 BE EC 2 1 则线段 CH 的长是 A 3B 4C 5D 6 6 下列命题中 真命题是 A 对角线相等的四边形是矩形 第 2 页 共 37 页 B 对角线互相垂直的四边形是菱形 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7 如图 在周长为 12 的菱形 ABCD 中 AE 1 AF 2 若 P 为对角线 BD 上一动 点 则 EP FP 的最小值为 A 1B 2C 3D 4 8 如图 四边形 ABCD 中 对角线相交于点 O E F G H 分别是 AD BD BC AC 的中点 要使四边形 EFGH 是菱形 则四边形 ABCD 需满足的 条件是 A AB ADB AC BDC AD BCD AB CD 9 如图 在正方形 ABCD 中 H 是 BC 延长线上一点 使 CE CH 连接 DH 延 长 BE 交 DH 于 G 则下面结论错误的是 A BE DHB H BEC 90 C BG DH D HDC ABE 90 10 如图 正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC CD 上 AEF 是等边三角形 连接 AC 交 EF 于 G 下列结论 BE DF DAF 15 AC 垂直平分 EF BE DF EF S CEF 2S ABE 其中正确结论有 A 2 个B 3 个C 4 个 D 5 个 二 填空题 共二 填空题 共 10 小题 小题 11 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AC 8 BD 6 OE BC 垂足为点 E 则 OE 第 3 页 共 37 页 12 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O E 为 AD 的中点 若 OE 3 则菱形 ABCD 的周长为 13 如图 将正方形纸片按如图折叠 AM 为折痕 点 B 落在对角线 AC 上的点 E 处 则 CME 14 如图 在正方形 ABCD 中 点 E N P G 分别在边 AB BC CD DA 上 点 M F Q 都在对角线 BD 上 且四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形 则 的值等于 15 菱形的两条对角线长分别为 16 和 12 则它的面积为 16 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O CE BD DE AC 若 AC 4 则四边形 CODE 的周长是 17 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 4 对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD AC 于点 E O 连接 CE 则 CE 的长为 18 如图 在矩形 ABCD 中 AD 9cm AB 3cm 将其折叠 使点 D 与点 B 重 合 则重叠部分 BEF 的面积为 第 4 页 共 37 页 19 如图 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 M 是 AD 的中点 若 AB 6 AD 8 则四边形 ABOM 的周长为 20 矩形 ABCD 中 AB 5 BC 4 将矩形折叠 使得点 B 落在线段 CD 的点 F 处 则线段 BE 的长为 三 解答题 共三 解答题 共 10 小题 小题 21 如图 在 ABCD 中 BC 2AB 4 点 E F 分别是 BC AD 的中点 1 求证 ABE CDF 2 当四边形 AECF 为菱形时 求出该菱形的面积 22 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E 1 证明 四边形 ACDE 是平行四边形 2 若 AC 8 BD 6 求 ADE 的周长 第 5 页 共 37 页 23 如图 AC 是矩形 ABCD 的对角线 过 AC 的中点 O 作 EF AC 交 BC 于点 E 交 AD 于点 F 连接 AE CF 1 求证 四边形 AECF 是菱形 2 若 AB DCF 30 求四边形 AECF 的面积 结果保留根号 24 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 且 DE AC AE BD 求 证 四边形 AODE 是矩形 25 如图 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是 BC 的中点 AEF 90 EF 交正方 形外角的平分线 CF 于 F 求证 AE EF 第 6 页 共 37 页 26 已知 如图 正方形 ABCD 中 E 为 BC 边上一点 F 为 BA 延长线上一点 且 CE AF 连接 DE DF 求证 DE DF 27 如图 在正方形 ABCD 中 E 是边 AB 的中点 F 是边 BC 的中点 连结 CE DF 求证 CE DF 28 如图 已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O 延长 AB 至点 E 使 BE AB 连结 CE 若 E 50 求 BAO 的大小 第 7 页 共 37 页 29 如图 在 ABC 中 ACB 90 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D 交 AB 于 E F 在 DE 上 并且 AF CE 1 求证 四边形 ACEF 是平行四边形 2 当 B 满足什么条件时 四边形 ACEF 是菱形 请回答并证明你的结论 30 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M 与 BD 相交于点 O 与 BC 相交于 N 连接 BM DN 1 求证 四边形 BMDN 是菱形 2 若 AB 2 AD 4 求 MD 的长 第 8 页 共 37 页 2017 年年 01 月月 18 日日 dxzxshuxue 的初中数学组卷的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2016 莆田 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A 对边相等B 对角相等 C 对角线互相平分 D 对角线互相垂直 分析 由菱形的性质可得 菱形的对角线互相平分且垂直 而平行四边形的 对角线互相平分 则可求得答案 解答 解 菱形具有的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 对 角线互相垂直 平行四边形具有的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 对角线互相垂直 故选 D 点评 此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质 注意菱形的对角线互 相平分且垂直 2 2016 枣庄 如图 四边形 ABCD 是菱形 AC 8 DB 6 DH AB 于 H 则 DH 等于 A B C 5D 4 分析 根据菱形性质求出 AO 4 OB 3 AOB 90 根据勾股定理求出 AB 再根据菱形的面积公式求出即可 第 9 页 共 37 页 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 AO OC BO OD AC BD AC 8 DB 6 AO 4 OB 3 AOB 90 由勾股定理得 AB 5 S菱形 ABCD DH 故选 A 点评 本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用 能根据菱形的性质得出 S 菱形 ABCD 是解此题的关键 3 2016 宁夏 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O E F 分别是 AD CD 边上的中点 连接 EF 若 EF BD 2 则菱形 ABCD 的面积为 A 2B C 6D 8 分析 根据中位线定理可得对角线 AC 的长 再由菱形面积等于对角线乘积 的一半可得答案 第 10 页 共 37 页 解答 解 E F 分别是 AD CD 边上的中点 EF AC 2EF 2 又 BD 2 菱形 ABCD 的面积 S AC BD 2 2 2 故选 A 点评 本题主要考查菱形的性质与中位线定理 熟练掌握中位线定理和菱形 面积公式是关键 4 2016 荆门 如图 在矩形 ABCD 中 AD AB 点 E 是 BC 上一点 且 DE DA AF DE 垂足为点 F 在下列结论中 不一定正确的是 A AFD DCEB AF ADC AB AFD BE AD DF 分析 先根据已知条件判定 AFD DCE AAS 再根据矩形的对边相等 以及全等三角形的对应边相等进行判断即可 解答 解 A 由矩形 ABCD AF DE 可得 C AFD 90 AD BC ADF DEC 又 DE AD AFD DCE AAS 故 A 正确 B ADF 不一定等于 30 直角三角形 ADF 中 AF 不一定等于 AD 的一半 故 B 错误 C 由 AFD DCE 可得 AF CD 由矩形 ABCD 可得 AB CD AB AF 故 C 正确 D 由 AFD DCE 可得 CE DF 由矩形 ABCD 可得 BC AD 又 BE BC EC 第 11 页 共 37 页 BE AD DF 故 D 正确 故选 B 点评 本题主要考查了矩形和全等三角形 解决问题的关键是掌握矩形的性 质 矩形的四个角都是直角 矩形的对边相等 解题时注意 在直角三角形中 若有一个锐角等于 30 则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半 5 2016 毕节市 如图 正方形 ABCD 的边长为 9 将正方形折叠 使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处 折痕为 GH 若 BE EC 2 1 则线段 CH 的长是 A 3B 4C 5D 6 分析 根据折叠可得 DH EH 在直角 CEH 中 设 CH x 则 DH EH 9 x 根 据 BE EC 2 1 可得 CE 3 可以根据勾股定理列出方程 从而解出 CH 的长 解答 解 设 CH x 则 DH EH 9 x BE EC 2 1 BC 9 CE BC 3 在 Rt ECH 中 EH2 EC2 CH2 即 9 x 2 32 x2 解得 x 4 即 CH 4 故选 B 第 12 页 共 37 页 点评 本题主要考查正方形的性质以及翻折变换 折叠问题其实质是轴对称 变换 在直角三角形中 利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键 6 2016 内江 下列命题中 真命题是 A 对角线相等的四边形是矩形 B 对角线互相垂直的四边形是菱形 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 分析 A 根据矩形的定义作出判断 B 根据菱形的性质作出判断 C 根据平行四边形的判定定理作出判断 D 根据正方形的判定定理作出判断 解答 解 A 两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形 故本选项错误 B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 故本选项错误 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 故本选项正确 D 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 故本选项错误 故选 C 点评 本题综合考查了正方形 矩形 菱形及平行四边形的判定 解答此题 时 必须理清矩形 正方形 菱形与平行四边形间的关系 7 2016 龙岩模拟 如图 在周长为 12 的菱形 ABCD 中 AE 1 AF 2 若 P 为对角线 BD 上一动点 则 EP FP 的最小值为 第 13 页 共 37 页 A 1B 2C 3D 4 分析 作 F 点关于 BD 的对称点 F 则 PF PF 由两点之间线段最短可知当 E P F 在一条直线上时 EP FP 有最小值 然后求得 EF 的长度即可 解答 解 作 F 点关于 BD 的对称点 F 则 PF PF 连接 EF 交 BD 于点 P EP FP EP F P 由两点之间线段最短可知 当 E P F 在一条直线上时 EP FP 的值最小 此 时 EP FP EP F P EF 四边形 ABCD 为菱形 周长为 12 AB BC CD DA 3 AB CD AF 2 AE 1 DF AE 1 四边形 AEF D 是平行四边形 EF AD 3 EP FP 的最小值为 3 故选 C 点评 本题主要考查的是菱形的性质 轴对称 路径最短问题 明确当 E P F 在一条直线上时 EP FP 有最小值是解题的关键 8 2016 蜀山区二模 如图 四边形 ABCD 中 对角线相交于点 O E F G H 分别是 AD BD BC AC 的中点 要使四边形 EFGH 是菱形 第 14 页 共 37 页 则四边形 ABCD 需满足的条件是 A AB ADB AC BDC AD BCD AB CD 分析 由点 E F G H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD BD BC CA 的中点 根据三角形中位线的性质 可得 EF GH AB EH FG CD 又由当 EF FG GH EH 时 四边形 EFGH 是菱形 即可求得答案 解答 解 点 E F G H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD BD BC CA 的 中点 EF GH AB EH FG CD 当 EF FG GH EH 时 四边形 EFGH 是菱形 当 AB CD 时 四边形 EFGH 是菱形 故选 D 点评 此题考查了中点四边形的性质 菱形的判定以及三角形中位线的性 质 此题难度适中 注意掌握数形结合思想的应用 9 2016 曹县校级模拟 如图 在正方形 ABCD 中 H 是 BC 延长线上一点 使 CE CH 连接 DH 延长 BE 交 DH 于 G 则下面结论错误的是 A BE DHB H BEC 90 C BG DH D HDC ABE 90 分析 根据正方形的四条边都相等 角都是直角 先证明 BCE 和 DCH 全 等 再根据全等三角形对应边相等 全等三角对应角相等 对各选项分析判断 第 15 页 共 37 页 后利用排除法 解答 解 在正方形 ABCD 中 BC CD BCD DCH 90 在 BCE 和 DCH 中 BCE DCH SAS BE DH 故 A 选项正确 H BEC 故 B 选项错误 EBC HDC EBC BEC HDC DEG BCD 90 EBC BEC 90 HDC DEG 90 BG DH 故 C 选项正确 ABE EBC 90 HDC ABE 90 故 D 选项正确 故选 B 点评 本题主要利用正方形的和三角形全等的性质求解 熟练掌握性质是解 题的关键 10 2016 新华区一模 如图 正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC CD 上 AEF 是等边三角形 连接 AC 交 EF 于 G 下列结论 BE DF DAF 15 第 16 页 共 37 页 AC 垂直平分 EF BE DF EF S CEF 2S ABE 其中正确结论有 A 2 个B 3 个C 4 个 D 5 个 分析 通过条件可以得出 ABE ADF 从而得出 BAE DAF BE DF 由正方形的性质就可以得出 EC FC 就可以得出 AC 垂直平分 EF 设 EC x BE y 由勾股定理就可以得出 x 与 y 的关系 表示出 BE 与 EF 利用三角 形的面积公式分别表示出 S CEF和 2S ABE 再通过比较大小就可以得出结论 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 AB BC CD AD B BCD D BAD 90 AEF 等边三角形 AE EF AF EAF 60 BAE DAF 30 在 Rt ABE 和 Rt ADF 中 Rt ABE Rt ADF HL BE DF 故 正确 BAE DAF DAF DAF 30 即 DAF 15 故 正确 BC CD BC BE CD DF 即 CE CF AE AF 第 17 页 共 37 页 AC 垂直平分 EF 故 正确 设 EC x 由勾股定理 得 EF x CG x AG AEsin60 EFsin60 2 CGsin60 x AC AB BE x BE DF x x x 故 错误 S CEF x2 S ABE x2 2S ABE x2 S CEF 故 正确 综上所述 正确的有 4 个 故选 C 点评 本题考查了正方形的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 勾股定理的运用 等边三角形的性质的运用 三角形的面积公式的运用 解答 本题时运用勾股定理的性质解题时关键 二 填空题 共二 填空题 共 10 小题 小题 11 2016 内江 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AC 8 BD 6 OE BC 垂足为点 E 则 OE 第 18 页 共 37 页 分析 先根据菱形的性质得 AC BD OB OD BD 3 OA OC AC 4 再在 Rt OBC 中利用勾股定理计算出 BC 5 然后利用面积法计算 OE 的长 解答 解 四边形 ABCD 为菱形 AC BD OB OD BD 3 OA OC AC 4 在 Rt OBC 中 OB 3 OC 4 BC 5 OE BC OE BC OB OC OE 故答案为 点评 本题考查了菱形的性质 菱形具有平行四边形的一切性质 菱形的四 条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对 角 也考查了勾股定理和三角形面积公式 12 2016 扬州 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O E 为 AD 的 中点 若 OE 3 则菱形 ABCD 的周长为 24 分析 由菱形的性质可得出 AC BD AB BC CD DA 再根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半得出 AD 的长 结合菱形的周长公式即可得出结论 解答 解 四边形 ABCD 为菱形 第 19 页 共 37 页 AC BD AB BC CD DA AOD 为直角三角形 OE 3 且点 E 为线段 AD 的中点 AD 2OE 6 C菱形 ABCD 4AD 4 6 24 故答案为 24 点评 本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质 解题的关键是求出 AD 6 本题属于基础题 难度不大 解决该题型题目时 根据菱形的性质找出 对角线互相垂直 再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键 13 2016 龙岩 如图 将正方形纸片按如图折叠 AM 为折痕 点 B 落在对 角线 AC 上的点 E 处 则 CME 45 分析 由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 B 90 ACB 45 由折叠的性质得 AEM B 90 CEM 90 CME 90 45 45 故答案为 45 点评 本题考查了正方形的性质 折叠的性质 熟练掌握正方形和折叠的性 质是解决问题的关键 14 2016 天津 如图 在正方形 ABCD 中 点 E N P G 分别在边 第 20 页 共 37 页 AB BC CD DA 上 点 M F Q 都在对角线 BD 上 且四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形 则的值等于 分析 根据辅助线的性质得到 ABD CBD 45 四边形 MNPQ 和 AEFG 均 为正方形 推出 BEF 与 BMN 是等腰直角三角形 于是得到 FE BE AE AB BM MN QM 同理 DQ MQ 即可得到结论 解答 解 在正方形 ABCD 中 ABD CBD 45 四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形 BEF AEF 90 BMN QMN 90 BEF 与 BMN 是等腰直角三角形 FE BE AE AB BM MN QM 同理 DQ MQ MN BD AB 故答案为 点评 本题考查了正方形的性质 等腰直角三角形的性质 正方形的面积的 计算 熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键 15 2016 白云区校级二模 菱形的两条对角线长分别为 16 和 12 则它的面 积为 96 第 21 页 共 37 页 分析 由菱形的两条对角线长分别为 16 和 12 根据菱形的面积等于对角线 积的一半 即可求得答案 解答 解 菱形的两条对角线长分别为 16 和 12 它的面积为 16 12 96 故答案为 96 点评 此题考查了菱形的性质 注意菱形的面积等于对角线积的一半 16 2016 河源校级一模 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O CE BD DE AC 若 AC 4 则四边形 CODE 的周长是 8 分析 先证明四边形 CODE 是平行四边形 再根据矩形的性质得出 OC OD 然后证明四边形 CODE 是菱形 即可求出周长 解答 解 CE BD DE AC 四边形 CODE 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩形 OC AC 2 OD BD AC BD OC OD 2 四边形 CODE 是菱形 DE CEOC OD 2 四边形 CODE 的周长 2 4 8 故答案为 8 点评 本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质 证明四边形是菱形是 解决问题的关键 第 22 页 共 37 页 17 2016 临沭县校级一模 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 4 对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD AC 于点 E O 连接 CE 则 CE 的长为 分析 由矩形的性质得出 CD AB 2 AD BC 4 D 90 由线段垂直平分线 的性质得出 CE AE 设 CE AE x 则 DE 4 x 由勾股定理得出方程 解方程即 可 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 CD AB 2 AD BC 4 D 90 EF 是 AC 的垂直平分线 CE AE 设 CE AE x 则 DE 4 x 在 Rt CDE 中 由勾股定理得 CD2 DE2 CE2 即 22 4 x 2 x2 解得 x CE 故答案为 点评 本题考查了矩形的性质 线段垂直平分线的性质 勾股定理 熟练掌 握矩形的性质 并能进行推理计算是解决问题的关键 18 2016 抚顺模拟 如图 在矩形 ABCD 中 AD 9cm AB 3cm 将其折叠 使点 D 与点 B 重合 则重叠部分 BEF 的面积为 7 5cm2 第 23 页 共 37 页 分析 设 DE xcm 由翻折的性质可知 DE EB x 则 AE 9 x cm 在 Rt ABE 中 由勾股定理求得 ED 的长 由翻折的性质可知 DEF BEF 由矩形的 性质可知 BC AD 从而得到 BFE DEF 故此可知 BFE FEB 得出 FB BE 最后根据三角形的面积公式求解即可 解答 解 设 DE xcm 由翻折的性质可知 DE EB x DEF BEF 则 AE 9 x cm 在 Rt ABE 中 由勾股定理得 BE2 EA2 AB2 即 x2 9 x 2 32 解得 x 5 DE 5cm 四边形 ABCD 为矩形 BC AD BFE DEF BFE FEB FB BE 5cm BEF 的面积 BF AB 3 5 7 5 cm2 故答案为 7 5cm2 点评 本题主要考查的是翻折的性质 勾股定理的应用 等腰三角形的判定 三角形的面积公式 证得 BEF 为等腰三角形 从而得到 FB 的长是解题的关 键 19 2016 苏州校级二模 如图 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 M 是 AD 的中点 若 AB 6 AD 8 则四边形 ABOM 的周长为 18 第 24 页 共 37 页 分析 根据矩形的性质 直角三角形斜边中线性质 三角形中位线性质求出 BO OM AM 即可解决问题 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 AD BC 8 AB CD 6 ABC 90 AC 10 AO OC BO AC 5 AO OC AM MD 4 OM CD 3 四边形 ABOM 的周长为 AB OB OM AM 6 5 3 4 18 故答案为 18 点评 本题看成矩形的性质 三角形中位线定理 直角三角形斜边中线性质 等知识 解题的关键是灵活应用中线知识解决问题 属于中考常考题型 20 2016 天桥区三模 矩形 ABCD 中 AB 5 BC 4 将矩形折叠 使得点 B 落在线段 CD 的点 F 处 则线段 BE 的长为 2 5 第 25 页 共 37 页 分析 根据翻转前后 图形的对应边和对应角相等 可知 EF BF AB AE 故 可求出 DE 的长 然后设出 FC 的长 则 EF 4 FC 再根据勾股定理的知识 即可 求出 BF 的长 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 B D 90 将矩形折叠 使得点 B 落在线段 CD 的点 F 处 AE AB 5 AD BC 4 EF BF 在 Rt ADE 中 由勾股定理 得 DE 3 在矩形 ABCD 中 DC AB 5 CE DC DE 2 设 FC x 则 EF 4 x 在 Rt CEF 中 x2 22 4 x 2 解得 x 1 5 BF BC CF 4 1 5 2 5 故答案为 2 5 点评 本题考查了矩形的性质 勾股定理的运用以及翻转变换的知识 属于 基础题 注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等是解题关键 三 解答题 共三 解答题 共 10 小题 小题 21 2016 安顺 如图 在 ABCD 中 BC 2AB 4 点 E F 分别是 BC AD 的中 点 1 求证 ABE CDF 2 当四边形 AECF 为菱形时 求出该菱形的面积 第 26 页 共 37 页 分析 第 1 问要证明三角形全等 由平行四边形的性质 很容易用 SAS 证 全等 第 2 要求菱形的面积 在第 1 问的基础上很快知道 ABE 为等边三角 形 这样菱形的高就可求了 用面积公式可求得 解答 1 证明 在 ABCD 中 AB CD BC AD ABC CDA 又 BE EC BC AF DF AD BE DF ABE CDF 2 解 四边形 AECF 为菱形 AE EC 又 点 E 是边 BC 的中点 BE EC 即 BE AE 又 BC 2AB 4 AB BC BE AB BE AE 即 ABE 为等边三角形 ABCD 的 BC 边上的高为 2 sin60 菱形 AECF 的面积为 2 点评 考查了全等三角形 四边形的知识以及逻辑推理能力 1 用 SAS 证全等 2 若四边形 AECF 为菱形 则 AE EC BE AB 所以 ABE 为等边三角形 第 27 页 共 37 页 22 2016 苏州 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E 1 证明 四边形 ACDE 是平行四边形 2 若 AC 8 BD 6 求 ADE 的周长 分析 1 根据平行四边形的判定证明即可 2 利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可 解答 1 证明 四边形 ABCD 是菱形 AB CD AC BD AE CD AOB 90 DE BD 即 EDB 90 AOB EDB DE AC 四边形 ACDE 是平行四边形 2 解 四边形 ABCD 是菱形 AC 8 BD 6 AO 4 DO 3 AD CD 5 四边形 ACDE 是平行四边形 AE CD 5 DE AC 8 ADE 的周长为 AD AE DE 5 5 8 18 点评 此题考查平行四边形的性质和判定问题 关键是根据平行四边形的判 定解答即可 23 2016 贺州 如图 AC 是矩形 ABCD 的对角线 过 AC 的中点 O 作 EF AC 交 BC 于点 E 交 AD 于点 F 连接 AE CF 第 28 页 共 37 页 1 求证 四边形 AECF 是菱形 2 若 AB DCF 30 求四边形 AECF 的面积 结果保留根号 分析 1 由过 AC 的中点 O 作 EF AC 根据线段垂直平分线的性质 可得 AF CF AE CE OA OC 然后由四边形 ABCD 是矩形 易证得 AOF COE 则可得 AF CE 继而证得结论 2 由四边形 ABCD 是矩形 易求得 CD 的长 然后利用三角函数求得 CF 的长 继而求得答案 解答 1 证明 O 是 AC 的中点 且 EF AC AF CF AE CE OA OC 四边形 ABCD 是矩形 AD BC AFO CEO 在 AOF 和 COE 中 AOF COE AAS AF CE AF CF CE AE 四边形 AECF 是菱形 2 解 四边形 ABCD 是矩形 CD AB 在 Rt CDF 中 cos DCF DCF 30 第 29 页 共 37 页 CF 2 四边形 AECF 是菱形 CE CF 2 四边形 AECF 是的面积为 EC AB 2 点评 此题考查了矩形的性质 菱形的判定与性质以及三角函数等知识 注 意证得 AOF COE 是关键 24 2016 吉林 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 且 DE AC AE BD 求证 四边形 AODE 是矩形 分析 根据菱形的性质得出 AC BD 再根据平行四边形的判定定理得四边形 AODE 为平行四边形 由矩形的判定定理得出四边形 AODE 是矩形 解答 证明 四边形 ABCD 为菱形 AC BD AOD 90 DE AC AE BD 四边形 AODE 为平行四边形 四边形 AODE 是矩形 点评 本题考查了矩形的判定以及菱形的性质 还考查了平行四边形的判定 掌握平行四边形的判定方法是解题的关键 25 2016 通辽 如图 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是 BC 的中点 AEF 90 EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F 求证 AE EF 第 30 页 共 37 页 分析 先取 AB 的中点 H 连接 EH 根据 AEF 90 和 ABCD 是正方形 得出 1 2 再根据 E 是 BC 的中点 H 是 AB 的中点 得出 BH BE AH CE 最后 根据 CF 是 DCG 的角平分线 得出 AHE ECF 135 从而证出 AHE ECF 即可得出 AE EF 解答 证明 取 AB 的中点 H 连接 EH AEF 90 2 AEB 90 四边形 ABCD 是正方形 1 AEB 90 1 2 E 是 BC 的中点 H 是 AB 的中点 BH BE AH CE BHE 45 CF 是 DCG 的角平分线 FCG 45 AHE ECF 135 在 AHE 和 ECF 中 AHE ECF ASA AE EF 第 31 页 共 37 页 点评 此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质 解题的关键是 取 AB 的中点 H 得出 AH EC 再根据全等三角形的判定得出 AHE ECF 26 2016 无锡 已知 如图 正方形 ABCD 中 E 为 BC 边上一点 F 为 BA 延 长线上一点 且 CE AF 连接 DE DF 求证 DE DF 分析 根据正方形的性质可得 AD CD C DAF 90 然后利用 边角边 证 明 DCE 和 DAF 全等 再根据全等三角形对应边相等证明即可 解答 证明 四边形 ABCD 是正方形 AD CD DAB C 90 FAD 180 DAB 90 在 DCE 和 DAF 中 DCE DAF SAS DE DF 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 利用全等三角 形对应边相等证明线段相等是常用的方法之一 一定要熟练掌握并灵活运用 27 2016 乐山 如图 在正方形 ABCD 中 E 是边 AB 的中点 F 是边 BC 的中 点 连结 CE DF 求证 CE DF 第 32 页 共 37 页 分析 欲证明 CE DF 只要证明 CEB DFC 即可 解答 证明 ABCD 是正方形 AB BC CD EBC FCD 90 又 E F 分别是 AB BC 的中点 BE CF 在 CEB 和 DFC 中 CEB DFC CE DF 点评 本题考查正方形的性质 全等三角形的判定和性质 解题的关键是熟 练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质 属于基础题 中考常考题 型 28 2016 长春二模 如图 已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O 延长 AB 至 点 E 使 BE AB 连结 CE 若 E 50 求 BAO 的大小 第 33 页 共 37 页 分析 根据菱形的四条边都相等可得 AB BC 从而得到 BC BE 再根据等腰 三角形的性质求出 CBE 然后根据两直线平行 同位角相等可得 BAD CBE 再根据菱形的对角线平分一组对