三角函数图象及应用

函数yAsin(x)的图象及应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)作函数ysin(x)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)这五个点()(2)将函数y3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin(2x)()(3)函数ysin(x)的图象是由ysin(x)的图象向右移个单位长度得到的()(4)函数ysin(2x)的递减区间是(k，k)，kZ.()(5)函数f(x)sin2x的最小正周期和最小值分别为，0.()(6)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()1(2014四川)为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度答案A解析ysin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数ysin 2(x)的图象，即函数ysin(2x1)的图象2(2013四川)函数f(x)2sin(x)(0，0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于()A. B3C6 D9答案C解析由题意可知，nT (nN*)，n (nN*)，6n (nN*)，当n1时，取得最小值6.4设函数f(x)3sin(x)(0，)的图象关于直线x对称，它的周期是，则下列说法正确的是_(填序号)f(x)的图象过点(0，)；f(x)在，上是减函数；f(x)的一个对称中心是(，0)；将f(x)的图象向右平移|个单位长度得到函数y3sin x的图象答案解析周期为，2，f(x)3sin(2x)，f()3sin()，则sin()1或1.又(，)，(，)，f(x)3sin(2x)：令x0f(x)，正确：令2k2x2k，kZkxk，kZ.令k0x0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到的解(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象方法二将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位长度，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”(1)把函数ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为()Ax BxCx Dx(2)(2014辽宁)将函数y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增答案(1)A(2)B解析(1)将ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin(2x)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数ysin2(x)sin(2x)，故x是其图象的一条对称轴方程(2)y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度得到y3sin2(x)3sin(2x)令2k2x2k得kxk，kZ，则y3sin(2x)的增区间为k，k，kZ.令k0得其中一个增区间为，故B正确画出y3sin(2x)在，上的简图，如图，可知y3sin(2x)在，上不具有单调性，故C，D错误题型二由图象求函数yAsin(x)的解析式例2(1)已知函数f(x)2sin(x)(其中0，|0，|0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为_答案(1)D(2)f(x)2sin解析(1)f(x)(0，|)的最小正周期为，T，2.f(0)2sin ，即sin (|)，.(2)观察图象可知：A2且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即sin .|0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令x0，x)确定.如图为yAsin(x)的图象的一段(1)求其解析式；(2)若将yAsin(x)的图象向左平移个单位长度后得yf(x)，求f(x)的对称轴方程解(1)由图象知A，以M为第一个零点，N为第二个零点列方程组解得所求解析式为ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)，则x (kZ)，f(x)的对称轴方程为x (kZ)题型三函数yAsin(x)的性质例3(2014重庆改编)已知函数f(x)sin(x)(0，)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)当x0，时，求函数yf(x)的最大值和最小值解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ，由0，0)的性质(1)奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期为T.(3)单调性：根据ysin t和tx(0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调增区间；由2kx2k(kZ)得单调减区间(4)对称性：利用ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)来解，令xk(kZ)，求得其对称中心利用ysin x的对称轴为xk(kZ)来解，令xk(kZ)得其对称轴已知函数f(x)Asin(x)(xR，A0,00，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看做一个整体若0，且|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是()A，B，C，D，答案D解析由函数的图象可得T，T，则2.又图象过点(，2)，2sin(2)2，2k，kZ，|0，0,00时，x，由题意知，即；当0，0,0)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML90，KL1，则f()的值为_答案解析取K，L中点N，则MN，因此A.由T2得.函数为偶函数，00)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.答案20.5解析由题意得y235cos，当x10时，y23520.5.8已知函数f(x)cos xsin x(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称其中真命题是_答案解析f(x)sin 2x，当x10，x2时，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命题；f(x)的最小正周期为，故是假命题；当x，时，2x，故是真命题；因为f()sin ，故f(x)的图象关于直线x对称，故是真命题9已知函数f(x)cos xcos(x)(1)求f()的值；(2)求使f(x)成立的x的取值集合解(1)f()coscoscoscos()2.(2)f(x)cos xcos(x)cos x(cos xsin x)cos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos(2x).f(x)等价于cos(2x)，即cos(2x)0，于是2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.故使f(x)成立的x的取值集合为x|kxk，kZ10(2014福建)已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解方法一(1)因为0，sin ，所以cos .所以f()().(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.方法二f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)(1)因为00,0)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为()A2， B2，C， D，答案A解析因为在x轴上的投影为，又点A(，0)，所以函数的四分之一个最小正周期为.即函数的最小正周期为，故2.又点A(，0)是处于递增区间上的零点，所以2()2k(kZ)，则2k(kZ)又因为00，)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数的解析式为_答案f(x)sin解析据已知两个相邻最高点和最低点距离为2，可得 2，解得T4，故，即f(x)sin，又函数图象过点，故f(2)sin()sin ，又，解得，故f(x)sin.14(2014湖北)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102(costsint)102sin(t)，又0t24，所以t11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin(t)，故有102sin(t)11，即sin(t).又0t24，因此t，即10t0)，其最小正周期为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间0，上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin(