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先进控制技术-鲁棒控制部分第1讲 鲁棒控制的概念及相关数学基础1.1 鲁棒控制的概念1.1.1 鲁棒控制系统(Robust Control System, RCS)P+PKzux, yw四要素：系统(S)、不确定性(D)、性能(P)、控制器(U)。(i) 系统S: (1.1.1)其中为状态向量，为控制输入向量，为扰动向量，分别为观测输出和控制输出向量.特别地，对系统 (1.1.2)(ii) 几种不确定性在实际工业过程控制中，不可避免地会遇到各种不确定性。这些不确定性可归结为两类。其一是非结构化不确定性，比如量测误差、参数估计误差、未建模动态、系统周围环境的变化、元器件的非线性及老化以及外部干扰等。其二是结构化不确定性，比如系统模型由若干参数矩阵确定的情形等。对于结构化不确定性，从目前研究的状况来看，大致可分为范数有界不确定性、凸组合不确定性和区间不确定性等。1. 范数有界若，则称系统(1.1.2)具有范数有界不确定性，其中为一已知的标量. 目前经常用以下更广泛的形式：. (1.1.3)2. 凸组合若不确定性矩阵满足, (1.1.4)其中为定常矩阵，则称系统(1.1.2)具有凸组合不确定性. 3. 区间若不确定性矩阵满足, (1.1.5)其中为定常矩阵，则称系统(1.1.2)具有区间不确定性. 4. 绝对值不确定性矩阵满足 (1.1.6)的情形属于区间不确定性的特例，其中表示矩阵的每个元素取绝对值，是一个定常矩阵. 5. 秩1分解若不确定性矩阵满足, (1.1.7)其中是确定的并具有适当维数的一维实向量，而是有界的、Lebesgue可测的实标量函数，且满足(1.8)而为确定的标量，则称系统(1.1.2)具有秩1分解不确定性. 6. 线性若不确定性矩阵满足(1.1.9)其中都是确定的实矩阵，而是有界的、Lebesgue可测的实标量函数且满足：(1.1.10)而为确定的标量, 则称系统(1.1.2)具有线性不确定性. 7. 线性分式若不确定性矩阵满足(1.1.11)其中是适当维数的矩阵，且满足，是未知矩阵且满足，则称系统(1.2)具有线性分式不确定性. 注1.1 以上几种不确定性之间有一定的关系. 比如秩1分解不确定性是线性不确定性的特例，范数有界不确定性是线性分式不确定性的特例，线性不确定性可转化为范数有界不确定性，范数有界不确定性可以用凸组合不确定性来逼近. 从目前的研究状况来看，研究较多的是范数有界不确定性、凸组合不确定性和区间不确定性等.(iii) 系统性能-稳定系统矩阵是-稳定的，其中是某区域，如-稳定、-稳定、极点配置等。性能对于系统(1.1.1), 从干扰到控制输出的传递函数的无穷范数小于某一特定的常数，即. (1.1.12)根据Porseval恒等式 (1.1.13)知，式(1.1.12)等价于. (1.1.14)因此性能指标问题是一个LQG次优问题. 性能系统(1.1.1)的传递函数的范数定义为 (1.1.15)可以证明，的范数的平方等于系统脉冲响应总的输出能量. 成本指标：, 其中为正定矩阵. 方差指标：闭环稳态输出协方差满足，其中是一定常对称矩阵. 耗散性对于系统(1.1.1)，引入二次型能量函数(1.1.16)式中，为适当维数的权矩阵且是对称阵. 若对于满足的某实函数，使得，其中是初始函数，则称系统(1.1.1)是耗散的. 若还存在一个正数，使得，则称系统是严格耗散的. 无源性对于系统(1.1.1), 若存在半正定函数，使得(1.1.17)对任意的输入信号都成立，则称系统(1.1.1)是无源的，称为存储函数. 对于无源系统(1.1.1)及能量函数，若存在正定函数，使得对任意的输入信号都成立，则称系统(1.1.1)是严格无源的. 此外还有系统的饱和性、可靠性、容错性和非脆弱性等性能，这里不一一列举.(iv) 控制器设系统状态方程具有形式(1.1.1), 则可按一定形式设计系统的状态反馈控制器、状态观测器、输出反馈控制器和滤波器等. 它们分别具有以下形式. 状态反馈控制器. 状态观测器，. 输出反馈控制器其中是输出反馈控制器的状态向量. 滤波器其中是滤波器的状态向量. 注意，不失一般性，输出反馈控制器常采用简洁形式，即其中的情形. 同理，滤波器一般也采用简洁形式，即其中的情形.(v) 鲁棒控制的概念对系统S和S具有的某性能P，若存在一个控制器U，使得对所有可允许的不确定性D，系统仍具有该性能P。这时称U为鲁棒控制器，称P为系统S的鲁棒性能。鲁棒控制的任务就是研究针对具有某种不确定性的某系统，和某性能指标，研究鲁棒控制器的分析与综合方法。1.2 相关数学基础Lyapunov稳定性定理是控制理论的重要理论基础. 另外，线性矩阵不等式及其常用矩阵不等式也是重要的方法. 再者，有关矩阵测度的概念和性质、矩阵Kronecker乘积的概念和性质以及矩阵的特征值和谱的概念和性质等，也是经常用到的工具. 为方便起见，以下分别加以陈述. 1.2.1 矩阵的正定性 正定矩阵的定义：. 记为. 正定矩阵的判断：(1) 阶对称矩阵正定的充要条件是的特征值全大于0。 (2) 阶对称矩阵正定的充要条件是的顺序主子式全大于0。 同理可定义半正定、负定。半负定的定义及判断条件。1.2.2 向量和矩阵的范数向量范数的定义：设为属于复空间的复向量，按某一对应规则在 上定义的一个实值函数，记作, 如果该函数满足：(1) 非负性：。(2) 齐次性：.(3) 三角不等式：.则称实函数为向量的范数。设复向量为,则它有以下几种常用的范数。(1) 2-范数：.(2) -范数：.矩阵范数的定义：设为属于复矩阵空间的矩阵。按某一规则在上定义的一个实值函数，记作,如果该函数满足：(1) 非负性：当且仅当为零矩阵。(2) 齐次性：.(3) 三角不等式：.(4) 相容性：.则称为矩阵的范数。设,则几种常用的矩阵范数为：(1) 1-范数：.(2) 2-范数：。(3) -范数：.1.2.3 Lyapunov稳定性理论及有界实引理考察非线性连续时变系统 (1.2.1)其中对一切成立. 定理1.2.1 (Lyapunov全局一致渐近稳定性定理)：对系统(1.2.1)，如果存在一个对和具有连续一阶偏导数的标量函数，满足如下的条件，(1) 正定且有界，即存在两个连续非减标量函数和，其中，使对一切和一切有；(2) 对时间的导数负定且有界，即存在一个连续非减标量函数，其中，使对一切和一切, ； (3) 当时，即.则系统在原点平衡状态是全局一致渐近稳定的. 若系统(1.2.1)是定常的，则得下述有用的推论. 定理1.2.2 (Lyapunov 全局渐近稳定性定理)：对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数，并且对状态空间中的一切非零点满足如下的条件：(1) 正定；(2) 负定；(3) 当时，有.则系统在原点平衡状态是全局渐近稳定的. 运用Lyapunov稳定性定理，在状态空间中针对形如的线性时不变系统，选择Lyapunov函数，则系统稳定当且仅当存在对称正定矩阵，使得. 对形如的线性时变不确定系统，由二次稳定性概念知，该系统渐近稳定当且仅当存在对称正定矩阵使得. 而对于形如的线性时滞系统，可选择Lyapunov函数，得到该系统稳定的充分条件是存在对称正定矩阵和使得.对于其它较复杂的线性或非线性系统，经过适当的处理后也可利用Lyapunov稳定性定理得出其稳定的充分条件. 定理1.2.3 (有界实引理)：考虑线性时不变连续系统 (1.2.2)其中是系统的状态向量， 是外部扰动输入，是系统的被调输出. 记为系统从到的传递函数. 设是一个给定的常数. 则以下条件是等价的：() 系统渐近稳定且. () 存在一个对称矩阵，使得1.2.4 线性矩阵不等式及常用的矩阵不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)线性矩阵不等式(LMI)是现代控制理论研究中的常用工具. 在控制器综合时常常用之寻求控制器存在的条件. 而Schur补引理是矩阵变形时的一个重要引理. 定义1.2.1 矩阵不等式 （1.2.3）称为线性矩阵不等式或严格线性矩阵不等式，其中是未知变量，是给定的对称矩阵. 表示是正定的，即对于任意的非零向量，不等式成立. 如果，则称之为非严格线性矩阵不等式. LMI（1.2.3）是关于变量的一个凸约束，所以集合是一个凸集. LMI的求解可转化成为凸优化问题的求解. 内点法、椭球法等是求解LMI的有效方法. 直观地说，LMI中矩阵的各元素是关于矩阵变量的一次或零次多项式。Schur引理1 假设对称矩阵的分块表示为,其中. 则以下两个结论等价，结论a: 若是非奇异的，则的充分必要条件是且.结论b: 若是非奇异的，则的充分必要条件是且.Schur引理2 假设对称矩阵的分块表示为,其中. 则等价于以下三个约束条件成立，其中表示矩阵的Moore-Penrose逆. LMI的最大优点就是其计算的简洁性，并且无需调整参数. 目前已经出现了许多求解LMI的优秀工具软件. 例如最常用的Matlab LMI Toolbox等. 我们只要编写一些相关的函数，就可通过Matlab工具箱快捷地求得LMI的解. 下面给出一些常用的有关矩阵不等式的结论. 引理1.2.1设是具有适当维数的实矩阵. 如果，则对任意标量，有引理1.2.2 设,为具有适当维数的矩阵，且. 和分别为和的正交补，则存在矩阵满足 ，当且仅当.引理1.2.3 设是具有适当维数的实矩阵. 如果，则对任意及具有适当维数的可逆矩阵，有.引理1.2.4 设是具有适当维数的实矩阵且是对称矩阵. 则对任意满足的矩阵，的充分且必要条件是：存在实数，使得.引理1.2.5 如果对称矩阵可逆，矩阵满足，、是适当维数的实常数矩阵，且存在一个常数，使得，则.1.2.5 矩阵的谱及其性质 定义1.2.4 设是一个矩阵，矩阵的特征值称为的奇异值，因此的奇异值均为非负数，称(的最大奇异值的平方根)为的谱半径，记为. 矩阵的谱半径具有以下性质. 引理1.2.9对任意具有适当维数的复矩阵和实矩阵，若，则(1) (2) (3) 若，则. (4) . 引理1.2.10 对任意具有适当维数的复矩阵和实矩阵，若，则(1) (2) 1.2.6 含参变量积分的导数.1.2.7 矩阵测度及其性质以下引入矩阵测度的概念和两个引理. 定义1.2.2 设是 上的诱导矩阵范数，其对应的矩阵测度是一个函数 ，其定义为.从纯粹数学的观点来看，矩阵的测度可看成范数函数在处沿方向的方向导数. 下面是矩阵测度的几个常用性质. 引理1.2.6 矩阵测度函数具有以下性质：(MMP1) ；(MMP2) ；(MMP3) ；(MMP4) 是上的一个凸函数，即 ；(MMP5) , 对矩阵的任何特征值都成立. 从定义A.3.1和 (MMP3), 易得下面结论. 引理1.2.7 矩阵测度函数具有以下性质: