线段之和最短问题.doc

线段和最短问题 题目:八年级上册P42探究如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 一、审题分析：(一)题目背景：本题出现在人教版八年级上册第十二章轴对称的12.2.1作轴对称图形，此探究是一个利用轴对称解决极值问题的经典问题。在解决这个问题中，轴对称起到了桥梁的作用，通过轴对称，将管道同侧的一点映射到了管道的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。涉及的知识点有“两点之间线段最短”，轴对称的性质及其作图，三角形任意两边之和大于第三边等。涉及的主要数学思想是转换的思想与数形结合和思想。通过本题的学习，拓展求线段之和最短这类问题的解法，提高学生综合运用数学知识的能力此线段之和最短问题可以是中等题，比如作图简单计算，也可以是动点与正方形、圆、抛物线等综合在一起，形成压轴题。所以说，此知识点非常重要。（二）题目的重点和难点； 重点：轴对称性质的应用难点：1、已知直线同侧的两点A、B，会在直线上求一点P使PA+PB的距离最短。 2、证明中要另选一点，学生想不到，不会用。二、解题过程（一）热身练习1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短，三角形任意两边之和大于第三边2、如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向在L异侧的A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（二）题目解法分析第一步，我先给学生分析，然后让学生分组讨论，解决问题1、两点之间线段最短，但是A与B没有交点，问题就是要在l上找一点使AC与CB之和最小，如果把AC、CB”接”成一条线段，那问题就解决了，但怎样才能”接起来”呢？就要用到轴对称.到这里我就让学生思考、讨论，如果学生解决不了问题，再给他们分析。2、要使线段AB与l有交点，则必须A、B不在l的同一侧，那我们如何在l的另一边找一个点能代表A点或B点呢？再让学生思考、讨论，如果学生解决不了问题，再给他们分析。3、提示学生将管道同一侧的一点映射到管道的另一侧而不改变路径的总长度，从而利用两点之间线段最短，使问题得到解决.第二步，让学生讨论如何证明点即为所求点我给学生分析：证明最大最小这类问题，常常要另选一个任意量通过与所求证的那个最大最小的量进行来比较.在l上任取一点C连接，然后利用”三角形中,两边之和大于第三边”来证明。学生可能会对于只选一个C不放心，可以让学生再选一个C证明一次，这是学生会发现，证明过程中，只用到C和C点不同，不涉及它在什么位置。实际上，“任选”一点C，就是除点C外什么地方都可以，由于点C位置的任意性，所以结论对于直线l上每一点（除C外）都成立，这也是数学中常采用的方法。CCABl练习 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，（1）可使所用的水管最短？（2）到张村、李庄距离相等？李村张村小 河 拓展1：如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷.请你帮助他确定这一天的最短路线变试：如图, 在直角坐标系中, 有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），(1)找出使四边形ABCD周长最短时，C、D点位置。(2)求C、D的坐标。(3)求四边形ABCD周长的最短值。 x y -10 -8 -6 -4 -2 2 8 6 4 2 0 -2 -4 AB 拓展2：E为边长是2的正方形ABCD的边BC的中点，在对角线AC上有一动点M，BM+EM的最小值是_。 拓展3如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（-2，0）、B（8，0），以为AB直径的P与y轴交于M，以AB为一边做正方形ABCD（1）求C、M两点坐标；（2）在x轴上是否存在一点Q，使得的QMC周长最小？若存在 求出点Q的坐标； 若不存在