与函数相联系的图形旋转问题举例

与函数相联系的图形旋转问题举例作者：刘春杨|来源：东北育才学校初中部 浏览次数： 1026 次 东北育才网校 | 2008-12-22 11:01:57图形的旋转是图形变换的重要内容之一,又是新课程标准明确的重要内容。其有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题，来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。一、与一次函数相联系的图形旋转问题A三角形作旋转例1（06沈阳）如图1-，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，CAO=30，OA=4。(1)求点C的坐标；(2)如图1-，将ACB绕点C按顺时针方向旋转30到ACB的位置，其中AC交直线OA于点E，AB分别交直线OA、CA于点F、G，则除ABCAOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)(3)在(2)的基础上，将ACB绕点C按顺时针方向继续旋转，当COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。分析：（1）要求点C的坐标只需求出OC长即可；（2）根据旋转性质：旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对全等三角形；（3）问题关键是“其中AC交直线OA于点E”，所以“当COE的面积为时”要注意多解。解：（1）在中，点的坐标为（2），（3）如图1-，过点作于点，在中，点的坐标为直线的同理，如图1-所示，点的坐标为设直线例2（08金华）如图2，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.图2-图2-分析：（1）要求直线AB的解析式只需知道点A、点B的坐标即可，点A坐标已知，由已知AOB是等边三角形、AO=AB过点B向坐标轴作垂线即可求出点B的坐标；（2）因为ABD是由AOP旋转而得到的，易证ADP是等边三角形，所以DP的长即为AP的长；求点D坐标，一般可过点D作DHx 轴于点H，但此题不易直接求得线段OH、DH的长，因而可过点B作BGDH于点G，并反向延长BG交y轴于点K.（3）由于点P是x轴上的一个动点设点P坐标为（t，0），所以分当t0、t0、t时三种情况讨论。解：（1）如图2-，过点B作BEy轴于点E，作BFx轴于点F.由已知得BF=OE=2, OF= = 点B的坐标是(，2)设直线AB的解析式是y=kx+b，则有解得直线AB的解析式是y=x+4(2) 如图2-，ABD由AOP旋转得到，ABDAOP，AP=AD，DAB=PAO，DAP=BAO=60，ADP是等边三角形，DP=AP=.（2分）如图，点B作BGDH于点G，并反向延长BG交y轴于点K.在RtBDG中，BGD=90, DBG=60.BG=BDcos60=.DG=BDsin60=.OH=KG=,DH=点D的坐标为(, )(3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使OPD的面积等于.设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:t0时，如图2-，BD=OP=t, DG=t, DH=2+t. OPD的面积等于，解得, ( 舍去) . 点P1的坐标为 (, 0 )当t0时，如图2-，BD=OP=t, BG=t,DH=GF=2（t）=2+t. OPD的面积等于，解得, . 点P2的坐标为(, 0)，点P3的坐标为(, 0).当t时，如图，BD=OP=t, DG=t, DH=t2. OPD的面积等于，解得(舍去), 点P4的坐标为(, 0)综上所述,点P的坐标分别为P1 (, 0)、P2 (, 0)、P3 (, 0) 、P4 (, 0)B角作旋转例3（06南通）如图3-，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，ODBC2，DMCDOB60（1）求直线CB的解析式；（2）求点M的坐标；（3）DMC绕点M顺时针旋转（3060）后，得到D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC交直线CB于点F，设DEm，BFn .求m与n的函数关系式图3-分析：（1）要求直线CB的解析式只需知道点B、C坐标即可；求点C坐标只需过点C作CGx轴于点G。（2）求点M的坐标只需求出线段OM的长度，由ODMBMC即可求得。（3）由于DMC绕点M顺时针旋转，点M有两种情况，因而需分情况讨论。解：（1）BC解析式：y=（2） 略证ODMBMC设OM=x，22x（5x），x1或4M（1，0）或（4，0）（3）当M （1，0）时，DMECMF，CF2n，DEm，2n2m ，即m1当M(4，0)时m2（2n），即m42n图3- 图3-二、与反比例函数相联系的图形旋转问题A矩形旋转例4（06吉林如图4-，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为(4，0)，顶点G坐标为(0，2)将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A（1）判断OGA和OMN是否相似，并说明理由；（2）求过点的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由分析：（1）由OGA=OMN=90度，AOG=AOG易知；（2）求过点的反比例函数解析式只需求出点A坐标，因为矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP，所以OM=OE=4，OG=EF=MN=2，又，所以求AG的长即可；（3）由点B横坐标为4，根据（2）中结论易求点B坐标，即可求出直线AB的解析式；（4）看矩形OEFG的对称中心（4，1）是否满足（2）中所求解析式即可。解：（1）（2）由（1）得（3）（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，则点Q坐标为(2,1)把代入，得反比例函数的图象经过矩形的对称中心B三角形旋转例5（06天门）如图5-，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。将OAB绕点O顺时针旋转30后，恰好点A落在双曲线上。（1）求双曲线的解析式；（2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次落在双曲线上？图5-分析：（1）根据题意，只需求出OAB绕点O顺时针旋转30后点A1坐标即可（过A1作A1CX轴于C，由直角OA1C中A1OC=30度，OA1=OA=2求出OC、CA1）；（2）可设A点次落在双曲线的A2处坐标为(a,)，然后过A2作A2Dy轴于D，在直角OA1D中利用勾股定理求出a的值，再利用特殊角的三角函数值求旋转角度。解：（1）设旋转30后，A点到A1，过A1作A1X于C，在直角O A1C中，得OC=，A A1=1，所以A1（，-1），所以反比例函数的解析式为y=（2）设A点次落在双曲线的A2处，设A2(a,)，过A2作A2y于D， 在直角OA1D中,则a2+,解得a1=1a2=(舍),所以A2OD=,A2OD=30所以A1OA2=30继续按顺时针旋转30后，A点再次落在双曲线上。例6（08义乌）已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图6-，点A的坐标为（），点B的坐标为（6，0）.（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O，请直接写出A、B的对称点的坐标；（2）若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数的图像上，求a的值；（3）若三角形绕点O按逆时针方向旋转度（）.当=时点B恰好落在反比例函数的图像上，求k的值问点A、B能否同时落在中的反比例函数的图像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由.分析：（1）关于y轴对称的图像特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以根据点A、B的坐标可以直接写出对称点的坐标；（2）三角形沿x轴向右平移a个单位纵坐标不变，由图象的意义可求点A恰好落在图像上的点的坐标，即可求出a的值；（3）当=时，易求点B坐标即可求k的值。解：（1）（2）（3）相应B点的坐标是能当时，相应,点的坐标分别是，经检验：它们都在的图像上C直线旋转例7 (06 北京)在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转得到直线直线与反比例函数的图象的一个交点为，试确定反比例函数的解析式分析：由直线绕点顺时针旋转得到直线，易知直线的解析式为，由图象的意义易求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式。解：依题意得，直线的解析式为因为在直线上，则即又因为在的图象上，又因为在的图象上可求得所以反比例函数的解析式为y=例8(07福州)如图8-，已知直线L：与双曲线交于两点，且点的横坐标为4 （1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；（3）直线绕点O旋转与交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标分析:（1）由图象意义根据直线L、点的横坐标为易求点A坐标，继而求出的值；（2）由点的纵坐标为8，可求点坐标，求的面积可转化为易求的、几个规则图形的面积的和与差：可过点C、A分别作轴的垂线，垂足为E、F，所以的面积=OEC的面积+梯形AFEC-AOF的面积；（3）可分为当L绕点O逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论。因为不与点A重合因而分04和4讨论，由于为顶点组成的四边形是平行四边形，因而由所给面积可求点P坐标。解：(1)点A横坐标为4 ,当 = 4时， = 2 . 点A的坐标为（ 4，2 ）. 点A是直线与双曲线（k0）的交点 , k = 4 2 = 8 .(2)解：如图8-，过点C、A分别作轴的垂线，垂足为E、F， 点C在双曲线上，当= 8时， = 1 . 点C的坐标为 ( 1, 8 ).图8- 点C、A都在双曲线上 , SCOE = SAOF = 4。 SCOE + S梯形CEFA = SCOA + SAOF. SCOA = S梯形CEFA. S梯形CEFA = （2+8）3 = 15 , SCOA = 15 .（3）当L绕点O逆时针旋转时 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 , OP=OQ，OA=OB . 四边形APBQ是平行四边形 . SPOA =S平行四边形APBQ =24 = 6. 设点P的横坐标为（ 0且）,得P ( ,) .过点P、A分别作轴的垂线，垂足为E、F， 点P、A在双曲2线上，SPOE = SAOF= 4 .则04， SPOE+ S梯形PEFA= SPOA + SAOF, S梯形PEFA = SPOA = 6 .图8- .解得= 2，= - 8(舍去) . P（2，4）.当L绕点O顺时针旋转时，则4，如图8-， SAOF+ S梯形AFEP= SAOP+ SPOE, S梯形PEFA = SPOA= 6 .，解得= 8，= - 2 (舍去) . P（8，1）. 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）. 三、与二次函数相联系的图形旋转问题A矩形旋转例9（08沈阳）如图9-所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）连接AO，由，易求得，因为矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形，所以，因而确定点在轴上；（2）求抛物线的函数表达式，只需求点三点坐标；（3）点必须满足在轴的上方和在抛物线上两个条件；此平行四边形顶点没有顺序，因而需分情况讨论：以为顶点的平行四边形面积为由题意可知为此平行四边形一边，点，点的位置可以调换；由面积关系可求得OB边上的高为2，所以可求出点P坐标，从而求出点Q的坐标。 解：（1）点在轴上，理由如下：连接，如图9-所示，在中，由题意可知：点在轴上，点在轴上（2）过点作轴于点，在中，点在第一象限，点的坐标为由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为抛物线经过点，由题意，将，代入中得解得所求抛物线表达式为：（3）存在符合条件的点，点理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2依题意设点的坐标为点在抛物线上解得，以为顶点的四边形是平行四边形，当点的坐标为时，点的坐标分别为，；当点的坐标为时，点的坐标分别为，例10（08吉林）如图10-，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形设直线与轴交于点、与轴交于点，抛物线经过点、解答下列问题：（1）设直线表示的函数解析式为，求；（2）求抛物线表示的二次函数的解析式；（3）在抛物线上求出使的所有点的坐标分析：（1）求直线表示的函数解析式只需求出点B、B坐标即可；（2）求抛物线表示的二次函数的解析式只需求得点和直线交轴、轴的两点、坐标即可；（3）由易求出点到的距离为2则点的纵坐标为3或代入二次函数的解析式即可求出点的坐标。解：（1）四边形是矩形，根据题意，得把，代入中，解得（2）由（1）得，设二次函数解析式为，把代入得，解得二次函数解析式为（3），又，点到的距离为2则点的纵坐标y为3或-1当时，即解得当时，即解得点坐标，例11（06吉林）如图11-，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED设FC与AB交于点H，且A(0,4)，C(6,0)（如图11-）（1）当=60时，CBD的形状是_；（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；（3）当=90时，（如图11-）请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由图11-11-分析：（1）当=60时，易求得BCD=60，由于矩形COAB绕点C顺时针旋转角得到矩形CFED所以BC=CD，所以CBD的形状是等边三角形；（2）求直线FC的解析式只需知道点C、点H坐标即可，由AH=HC及直角三角形BHC、A(0,4)，C(6,0)即可求得点H坐标；（3）求出经过点D，且以点B为顶点的抛物线解析式，看点M坐标是否满足抛物线解析式。解：（1）等边三角形（2）设，即，解得（3）（或）依题可得，点坐标为，把代入，得抛物线经过矩形的对称中心B三角形旋转例12（07绍兴）如图12-，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）将绕AC的中点旋转1800，点O落到点B的位置抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点（1）求点B坐标；（2）若点P是线段OA上一点，且，求点P的坐标；（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上写出点P的坐标(直接写出答案即可)分析：（1）因为抛物线经过点A（2，0），所以a值可求；由条件知O