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1.4无穷小与无穷大一、无穷小如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小. 特别地, 以零为极限的数列xn称为n时的无穷小. 例如, 因为, 所以函数为当x时的无穷小.因为, 所以函数为x-1当x1时的无穷小. 因为, 所以数列为当n时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在xx0(或x)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零. 无穷小与函数极限的关系: 定理1 在自变量的同一变化过程xx0(或x)中, 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a, 其中a是无穷小.证明: 设, e 0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d 时, 有|f(x)-A|0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d , 有|a|e 或|f(x)-A|0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d , 有f(x)-A|e , 就有|a|0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d , 有|a|e , 就有f(x)-A|0, $d 0, 当0|x-|M.正无穷大与负无穷大:, .例2 证明. 证 因为M0, $, 当0|x-1|0, 当0|x-|d 时, 有, 由于当0|x-|0,当0|x-|0, $d 0, 当0|x- x0|d 时, 有|f(x)|0
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