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函数总复习一概念:A. 正比例函数正比例函数 正比例函数图象一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大 当K0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小定义域R（实数集） 值域R（实数集） 奇偶性奇函数 单调性当k0时，图像位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；当k0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当 k0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k0,b0时，直线必通过第一、二象限； 当b0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 4、特殊位置关系： 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） ） 点斜式y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点） 截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）实用型 （由实际问题来做） 解析式表达局限性所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组） 、不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合） 参数较多，计算过于烦琐； 不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。 倾斜角的概念x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为，则该直线的斜率k=tan。倾斜角的范围为(0, )。 1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数 y=-a/bx+c/b的图像相同. (2)二元一次方程组a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数 y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图像的交点. 方法小结: 把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知方程组的解. 一、区别和联系区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。 联系：（1）在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组解，像x=1，y=3；x=2，y=1；以这些解为坐标的点(1,3)(2,1）都在一次函数y=2x+5的图象上. （2）在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y=x+2的图象上任取一点（3，3），则x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y=2的一组解. 所以，以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的。 二、有交点在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点。 三、无交点当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行。反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解。如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解，则一次函数y=3x5与y=3x+1的图象平行，反之也成立。 四、作图法解方程用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；（2）在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）找出图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解。 五、方程组确定解析式在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式。 例：某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数。现知王芳带了30 kg的行李，买了50元行李票。李刚带了40 kg的行李，买了100元行李票。那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李？ 解答：依题意，可设一次函数的解析式为y=kx+b。则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b。解得k=5，b=-100，即一次函数的解析式是y=5x100。当x=20时，y=0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李。 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2 3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 6.求任意2点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) x y +， +（正，正）在第一象限 - ，+ （负，正）在第二象限 - ，- （负，负）在第三象限 + ，- （正，负）在第四象限 8.若两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1b2 9.如两条直线y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1k2=-1 10. y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位 y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位 一次函数的平移口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变n） y=kx+b+n就是向上平移n个单位 y=kx+b-n就是向下平移n个单位 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）相关应用 11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b) 生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数） 数学问题一、确定字母系数的取值范围 例1 已知正比例函数 ，则当k0时，y随x的增大而减小。 解：根据正比例函数的定义和性质，得 且my2，则x1与x2的大小关系是（ ） A. x1x2 B. x10，且y1y2。根据一次函数的性质“当k0时，y随x的增大而增大”，得x1x2。故选A。 三、判断函数图象的位置 例3. 一次函数y=kx+b满足kb0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：由kb0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k0。所以b30时，Y1Y2 当X30时，Y10，则可以列方程组 -2k+b=-11 6k+b=9 解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x6 （2）若k0，则y随x的增大而增大；若k0，则y随x的增大而减小。 综合测试一、选择题： 1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） A.k0 B.k0 D.k为任意值 2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ） 3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ） 二、填空题： 1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（1，3）两点，则此函数的解析式为_. 2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_. 三、 一次函数的图象与y轴的交点为（0，3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式. 四、（芜湖市课改实验区） 某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率和海拔高度h（ ，单位km）的函数关系式如图所示. （1）请你根据图象写出机车的机械效率和海拔高度h（km）的函数关系； （2）求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少？ 五、（浙江省丽水市） 如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米，刚好落在对方场地点B处. （1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式； （2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到0.1米） 【综合测试答案】 一、选择题： 1. C 2. B 3. D 4. A 5. B 二、填空题： 1.y=-2x+1 2. y=2x 三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定. 解：设一次函数的解析式为 y=kx+b， 函数图象和y轴的交点的纵坐标是3， 函数的解析式为 . 求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组： 得 即交点坐标为（ ，0） 由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得 这个一次函数的解析式为 四、解：（1）由图象可知， 与h的函数关系为一次函数 设 此函数图象经过（0，40%），（5，20%）两点 解得 （2）当h=3km时， 当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28% 五、解：（1）依题意，设直线BF为y=kx+b OD=1.55，DE=0.05 即点E的坐标为（0，1.6） 又OA=OB=6.7 点B的坐标为（6.7，0） 由于直线经过点E（0，1.6）和点B（6.7，0），得 解得 ，即 ： （2）设点F的坐标为（5，），则当x=5时， 则FC=2.8 在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8米 常见题型常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。 一. 定义型 例1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数 的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数 的图像过点（2，1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数 ，当 时，y=1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_。 解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数 的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型 例5. 已知直线 与直线 平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为_。 解析：两条直线 ： ； ： 。当 ， 时， 直线 与直线 平行， 。 又 直线 在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为_。 解析：设函数解析式为 ， 直线 向下平移2个单位得到的直线 与直线 平行 直线 在y轴上的截距为 ，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为_。 解：由题意得 ，即 故所求函数的解析式为 （ ） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为_。 解：易求得直线与x轴交点为（ ，0），所以 ，所以 ，即 故直线解析式为 或 九. 对称型 若直线 与直线 关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）直线y=x对称，则直线l的解析式为 （4）直线 对称，则直线l的解析式为 （5）原点对称，则直线l的解析式为 例9. 若直线l与直线 关于y轴对称，则直线l的解析式为_。 解：由（2）得直线l的解析式为 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为 （3）其它（略） 十一. 几何型 例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点， ， ，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。 解：（1）由直角三角形的知识易得点A（ ，0）、B（ ，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为 ，对称轴是 （2）连结OE、OF，则 、 。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（ ， ）、F（ ， ）由待定系数法可求得一次函数解析式为 十二. 方程型 例12. 若方程 的两根分别为 ，求经过点P（ ， ）和Q（ ， ）的一次函数图像的解析式 解：由根与系数的关系得 ， ， 点P（11，3）、Q（11，11） 设过点P、Q的一次函数的解析式为 则有 解得 故这个一次函数的解析式为 十三. 综合型 例13. 已知抛物线 的顶点D在双曲线 上，直线 经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组 ，求这条直线的解析式。 解：由抛物线 的顶点D（ ）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为： ，顶点D1（1，5）及 顶点D2（ ，15） 解方程组得 ， 即C1（1，4），C2（2，1） 由题意知C点就是C1（1，4），所以过C1、D1的直线是 ；过C1、D2的直线是数学术语. 经典例题 1在直角坐标系xOY中，直线L过(1,3)和(3,1)两点，且X与轴、Y轴分别交于A、B (1) 求直线L的函数解析式; (2) 求AOB的面积. 1、 y=kx+b 则3=k+b 1=3k+b 所以k=-1,b=4 y=-x+4 2、 y=0,x=4 x=0,y=4 所以面积=442=8 2为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴。规定 每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查发现，某市场销售彩电台数y台与政府补贴款额x元之间大致满足如图、 (1)该商场销售家电的总收益为80000=160000(元) (2)依题意可设y=k1x+800,Z=k2x+200 有400k1+800=1200,200k2+200=160, 解得k1=1,k2=-. 所以k1=1,k2=-.y=x+800,z=-x+200. (3)W=yz=(x+8000)(-x+200) =-(x-100)2+162000 政府应将每台补贴款额x定为100元,总收益有最大值. 其最大值为162000元. C. 反比例函数反比例函数 反比例函数图象一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx（-1）。形如函数y=k/x（k为常数且k0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。 X是自变量，Y是X的函数 y=k/x=k1/x xy=k y=kx（-1） （即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方） y=kx(k为常数且k0，x0） 若y=k/nx此时比例系数为：k/n k 0； 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数；函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 解析式y=k/x 其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数 y=k/x=k1/x xy=k y=kx（-1） y=kx(k为常数(k0），x不等于0） 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）, 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K0）。 过反比例函数y=k/x（k0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k| 研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PMPN=|y|x|=|xy|=|k|。 所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。 单调性当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。 相交性因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。 面积在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k| 图像反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 反比例函数图像不与x轴和y轴相交。y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 对称性反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。 与正比例函数交点设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4km（不小于）0。 【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式 分析： 要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程 解： m, n是关于t的方程t2+3t+k=0的两根 m+n=-3，mn=k, 又 PO=根号13， 反比例函数图象m2+n2=13， (m+n2-2mn=13， 9-2k=13 k=-2 当 k=-2时，=9+20， k=-2符合条件， 【例2】直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求： （1）求双曲线的解析式 分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段， 设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|， 根据矩形的面积公式知|mn|=6. 1）列表 如 x.-3-2-11234.y.-4-6-1212643.2)在平面直角坐标系中标出点 3）用平滑的曲线描出点 常见画法1.当双曲线在一三象限，K0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。 2.当双曲线在二四象限，K0 所以k9且k不等于0 （2）当0k9时 两交点在第一象限所以AOB是锐角 当k0时 两交点分别在第二和第四象限所以AOB是钝角 2、已知函数y=(m-1)x(m2-m-1). （1）当m为何值时，y是x的正比例函数? （2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？ 解（1）正比例函数则x次数是1 m2-m-1=1 (m-2)(m+1)=0 m=2,m=-1 系数不等于0 m-10 所以m=2,m=-1 （2）反比例函