二元一次方程组竞赛题集(答案+解析)

精品文档 1欢迎下载 二元一次方程组典型例题二元一次方程组典型例题 例例 1 1 已知方程组的解 x y 满足方程 5x y 3 求 k 的值 思考与分析 本题有三种解法 前两种为一般解法 后一种为巧解法 由已知方程组消去 k 得 x 与 y 的关系式 再与 5x y 3 联立组成方程组求出 x y 的值 最后将 x y 的值代入方程组中任一方程即可求出 k 的值 把 k 当做已知数 解方程组 再根据 5x y 3 建立关于 k 的方程 便可求出 k 的 值 将方程组中的两个方程相加 得 5x y 2k 11 又知 5x y 3 所以整体代入即可 求出 k 的值 把代入 得 解得 k 4 解法二 3 得 17y k 22 解法三 得 5x y 2k 11 又由 5x y 3 得 2k 11 3 解得 k 4 小结 解题时我们要以一般解法为主 特殊方法虽然巧妙 但是不容易想到 有 思考巧妙解法的时间 可能这道题我们已经用一般解法解了一半了 当然 巧妙解法很容 精品文档 2欢迎下载 易想到的话 那就应该用巧妙解 二元一次方程组能力提升讲义二元一次方程组能力提升讲义 知识提要知识提要 1 二元一次方程组的解的情况有以下三种 222 111 cybxa cybxa 当时 方程组有无数多解 两个方程等效 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 当时 方程组无解 两个方程是矛盾的 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 当 即 a1b2 a2b1 0 时 方程组有唯一的解 2 1 2 1 b b a a 这个解可用加减消元法求得 1221 2112 1221 1221 baba acac y baba bcbc x 2 方程的个数少于未知数的个数时 一般是不定解 即有无数多解 若要求整数解 可 按二元一次方程整数解的求法进行 3 求方程组中的待定系数的取值 一般是求出方程组的解 把待定系数当己知数 再 解含待定系数的不等式或加以讨论 见例 2 3 例题例题 例 1 选择一组 a c 值使方程组 1 有无数多解 2 无解 3 有唯 cyax yx 2 75 一的解 例例 2 2 解方程组 思考与分析 本例是一个含字母系数的方程组 解含字母系数的方程组同解含字母 系数的方程一样 在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时 也需要弄清字母的取值 是否为零 解 由 得 y 4 mx 把 代入 得 2x 5 4 mx 8 解得 2 5m x 12 当 2 5m 0 即 m 时 方程无解 则原方程组无解 精品文档 3欢迎下载 当 2 5m 0 即 m 时 方程解为 将代入 得 故当 m 时 原方程组的解为 例 3 a 取什么值时 方程组 的解是正数 3135yx ayx 例 4 m 取何整数值时 方程组的解 x 和 y 都是整数 14 42 yx myx 二元一次方程组的特殊解法二元一次方程组的特殊解法 1 1 二元一次方程组的常规解法 是代入消元法和加减消元法 二元一次方程组的常规解法 是代入消元法和加减消元法 这两种方法都是从 消元 这个基本思想出发 先把 二元 转化为 一元 把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程 在 消元 法中 包含了 未知 转化到 已知 的重要数学化归思想 2 2 灵活消元 灵活消元 1 1 整体代入法 整体代入法 1 1 解方程组 yx xy 1 4 2 3 231 精品文档 4欢迎下载 2 2 先消常数法 先消常数法 2 2 解方程组 4331 32152 xy xy 3 3 设参代入法 设参代入法 3 解方程组 xy x y 321 4 32 4 4 换元法 换元法 4 4 解方程组 xyxy xyxy 23 6 34 精品文档 5欢迎下载 5 5 简化系数法 简化系数法 5 5 解方程组 4331 3442 xy xy 课堂练习课堂练习 1 不解方程组 判定下列方程组解的情况 963 32 yx yx 324 32 yx yx 153 153 yx yx 2 a 取哪些正整数值 方程组的解 x 和 y 都是正整数 ayx ayx 243 52 3 要使方程组的解都是整数 k 应取哪些整数值 12yx kkyx 二元一次方程组应用探索二元一次方程组应用探索 知识链接知识链接 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 审 找 列 解 答 五步 即 1 审 通过审题 把实际问题抽象成数学问题 分析已知数和未知数 并用字母表 精品文档 6欢迎下载 示其中的两个未知数 2 找 找出能够表示题意两个相等关系 3 列 根据这两个相等关系列出必需的代数式 从而列出方程组 4 解 解这个方程组 求出两个未知数的值 5 答 在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上 写出答案 二元一次方程组是最简单的方程组 其应用广泛 尤其是生活 生产实践中的许多问 题 大多需要通过设元 布列二元一次方程组来加以解决 现将常见的几种题型归纳如下 一 数字问题一 数字问题 例 1 一个两位数 比它十位上的数与个位上的数的和大 9 如果交换十位上的数与个 位上的数 所得两位数比原两位数大 27 求这个两位数 分析 设这个两位数十位上的数为 x 个位上的数为 y 则这个两位数及新两位数及其 之间的关系可用下表表示 解方程组 109 101027 xyxy yxxy 得 1 4 x y 因此 所求的两位数是 14 点评 由于受一元一次方程先入为主的影响 不少同学习惯于只设一元 然后列一元 一次方程求解 虽然这种方法十有八九可以奏效 但对有些问题是无能为力的 象本题 如果直接设这个两位数为 x 或只设十位上的数为 x 那将很难或根本就想象不出关于 x 的 方程 一般地 与数位上的数字有关的求数问题 一般应设各个数位上的数为 元 然后 列多元方程组解之 二 利润问题二 利润问题 例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20 如果打八折出售可以盈利 10 元 问此商品的定价是多少 分析 商品的利润涉及到进价 定价和卖出价 因此 设此商品的定价为 x 元 进价 十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系 原两位数 xy10 x y10 x y x y 9 新两位数 y 10y x10y x 10 x y 27 精品文档 7欢迎下载 为 y 元 则打九折时的卖出价为 0 9x 元 获利 0 9x y 元 因此得方程 0 9x y 20 y 打 八折时的卖出价为 0 8x 元 获利 0 8x y 元 可得方程 0 8x y 10 解方程组 0 920 0 810 xyy xy 解得 200 150 x y 因此 此商品定价为 200 元 点评 商品销售盈利百分数是相对于进价而言的 不要误为是相对于定价或卖出 价 利润的计算一般有两种方法 一是 利润 卖出价 进价 二是 利润 进价 利润率 盈利百分数 特别注意 利润 和 利润率 是不同的两个概念 三 配套问题三 配套问题 例 3 某厂共有 120 名生产工人 每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个 如果 一个螺栓与两个螺母配成一套 那么每天安排多名工人生产螺栓 多少名工人生产螺母 才能使每天生产出来的产品配成最多套 分析 要使生产出来的产品配成最多套 只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套 根 据题意 每天生产的螺栓与螺母应满足关系式 每天生产的螺栓数 2 每天生产的螺母数 1 因此 设安排 人生产螺栓 人生产螺母 则每天可生产螺栓 25 个 螺母 20 个 依题意 得 120 502201 xy xy 解之 得 20 100 x y 故应安排 20 人生产螺栓 100 人生产螺母 点评 产品配套是工厂生产中基本原则之一 如何分配生产力 使生产出来的产品恰 好配套成为主管生产人员常见的问题 解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等 关系 其中两种最常见的配套问题的等量关系是 1 二合一 问题 如果 件甲产品和 件乙产品配成一套 那么甲产品数的 倍等 于乙产品数的 倍 即 ab 甲产品数乙产品数 2 三合一 问题 如果甲产品 件 乙产品 件 丙产品 件配成一套 那么各种 产品数应满足的相等关系式是 abc 甲产品数乙产品数丙产品数 四 行程问题四 行程问题 例 4 在某条高速公路上依次排列着 A B C 三个加油站 A 到 B 的距离为 120 千米 精品文档 8欢迎下载 B 到 C 的距离也是 120 千米 分别在 A C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时 以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场 正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令 后立即以相同的速度分别往 A C 两个加油站驶去 结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被 其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住 而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶 上 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少 研析 设巡逻车 犯罪团伙的车的速度分别为 x y 千米 时 则 3120 120 xy xy 整理 得 40 120 xy xy 解得 80 40 x y 因此 巡逻车的速度是 80 千米 时 犯罪团伙的车的速度是 40 千米 时 点评 相向而遇 和 同向追及 是行程问题中最常见的两种题型 在这两种题型中都 存在着一个相等关系 这个关系涉及到两者的速度 原来的距离以及行走的时间 具体表 现在 相向而遇 时 两者所走的路程之和等于它们原来的距离 同向追及 时 快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离 五 货运问题五 货运问题 典例 5 某船的载重量为 300 吨 容积为 1200 立方米 现有甲 乙两种货物要运 其 中甲种货物每吨体积为 6 立方米 乙种货物每吨的体积为 2 立方米 要充分利用这艘船的 载重和容积 甲 乙两重货物应各装多少吨 分析 充分利用这艘船的载重和容积 的意思是 货物的总重量等于船的载重量 且 货 物的体积等于船的容积 设甲种货物装 x 吨 乙种货物装 y 吨 则 300 621200 xy xy 整理 得 300 3600 xy xy 解得 150 150 x y 因此 甲 乙两重货物应各装 150 吨 点评 由实际问题列出的方程组一般都可以再化简 因此 解实际问题的方程组时要 注意先化简 再考虑消元和解法 这样可以减少计算量 增加准确度 化简时一般是去分 母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项 合并同类项等 六 工程问题六 工程问题 例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务 要求在规定期限内完成 按照这个服 装厂原来的生产能力 每天可生产这种服装 150 套 按这样的生产进度在客户要求的期限 精品文档 9欢迎下载 内只能完成订货的 4 5 现在工厂改进了人员组织结构和生产流程 每天可生产这种工作服 200 套 这样不仅比规定时间少用 1 天 而且比订货量多生产 25 套 求订做的工作服是几 套 要求的期限是几天 分析 设订做的工作服是 x 套 要求的期限是 y 天 依题意 得 4 150 5 200125 yx yx 解得 3375 18 x y 点评 工程问题与行程问题相类似 关键要抓好三个基本量的关系 即 工作量 工作 时间 工作效率 以及它们的变式 工作时间 工作量 工作效率 工作效率 工作量 工作时间 其次注意当题目与工作量大小 多少无关时 通常用 1 表示总工作量 例例 7 7 某种商品价格为每件 元 某人身边只带有 元和 元两种面值的人民币 各若干张 买了一件这种商品 若无需找零钱 则付款方式有哪几种 指付出 元和 元 钱的张数 哪种付款方式付出的张数最少 思考与分析 本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解 我们先找 出问题中的数量关系 再找出最主要的数量关系 构建等式 然后找出已知量和未知量设 元 列方程组求解 最后 比较各个解对应的 x y 的值 即可知道哪种付款方式付出的张数最少 解 设付出 元钱的张数为 x 付出 元钱的张数为 y 则 x y 的取值均为自然数 依题意可得方程 2x 5y 33 因为 5y 个位上的数只可能是 或 所以 2x 个位上数应为 或 又因为 x 是偶数 所以 x 个位上的数是 从而此方程的解为 由得 x y 12 由得 x y 15 所以第一种付款方式 精品文档 10欢迎下载 付出的张数最少 答 付款方式有 种 分别是 付出 张 元钱和 张 元钱 付出 张 元钱 和 张 元钱 付出 张 元钱和 张 元钱 其中第一种付款方式付出的张数最少 例例 8 8 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼 每层楼有 8 间教室 这栋大楼共有 4 道门 其中两道正门大小相同 两道侧门大小也相同 安全检查中 对 4 道门进行了训练 当同时 开启一道正门和两道侧门时 2 分钟内可以通过 560 名学生 当同时开启一道正门和一道 侧门时 4 分钟可以通过 800 名学生 1 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生 2 检查中发现 紧急情况时因学生拥挤 出门的效率将降低 20 安全检查规定 在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 假设这栋教学大楼每间教 室最多有 45 名学生 问 建造的这 4 道门是否符合安全规定 请说明理由 思考与解 1 设平均每分钟一道正门可通过 x 名学生 一道侧门可以通过 y 名学生 根据题意 得 所以平均每分钟一道正门可以通过学生 120 人 一道侧门可以通过学生 80 人 2 这栋楼最多有学生 4 8 45 1440 人 拥挤时 5 分钟 4 道门能通过 5 2 120 80 1 20 1600 人 因为 1600 1440 所以建造的 4 道门符合安全规定 答 平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过 120 名学生 80 名学生 建造的这 4 道 门符合安全规定 例例 9 9 某水果批发市场香蕉的价格如下表 张强两次共购买香蕉 50 千克 第二次多于第一次 共付款 264 元 请问张强第一次 第二次分别购买香蕉多少千克 思考与分析 要想知道张强第一次 第二次分别购买香蕉多少千克 我们可以从香蕉 精品文档 11欢迎下载 的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手 通过观察图表我们可知香蕉的价格分 三段 分别是 6 元 5 元 4 元 相对应的香蕉的千克数也分为三段 我们可以假设张强两 次买的香蕉的千克数分别在某段范围内 利用分类讨论的方法求得张强第一次 第二次分 别购买香蕉的千克数 解 设张强第一次购买香蕉 x 千克 第二次购买香蕉 y 千克 由题意 得 0 x 25 当 0 x 20 y 40 时 由题意 得 当 040 时 由题意 得 与 0 x 20 y 40 相 矛盾 不合题意 舍去 当 20 x 25 时 25 y 30 此时张强用去的款项为 5x 5y 5 x y 5 50 250 264 不合题意 舍去 综合 可知 张强第一次购买香蕉 14 千克 第二次购买香蕉 36 千克 答 张强第一次 第二次分别购买香蕉 14 千克 36 千克 反思 我们在做这道题的时候 一定要考虑周全 不能说想出了一种情况就认为万事 大吉了 要进行分类讨论 考虑所