鸡兔同笼问题的数学问题分析.doc

鸡兔同笼问题的数学问题分析 “鸡兔同笼问题”是我国古代的一道数学名题，在上海教材中被安排在四年级下学期，但在二年级学“列表枚举法”时学生已初步接触过这个问题，有的三年级学生在外面补课时已经会套用“假设法”的解题模式，有的则从家长那里学会了用方程解答.有趣的是，数据较小时，一年级学生用“画图法”也能解决这种问题.这就是四年级学生关于“鸡兔同笼问题”的“数学现实”一锅不折不扣的“夹生饭”. 笔者尝试以“课程实施三放三收”的策略引导学生走进他们“生活中的数学”，一起来烧烧这锅“夹生饭”. 一、一放一收：呈现“原生态” 1.重心下移：呈现“原生态” 上课伊始，老师出示了一只陶瓷储蓄罐，轻轻一摇，里面的硬币哗哗作响. 师：储蓄罐里有2分硬币和5分硬币共8枚，每种硬币各几枚？（PPT呈现） 生：这道题有好几种可能，好象缺少条件. 师：要补上什么条件？ 生：要知道储蓄罐里一共有多少钱. 师：好的，现在补上“一共有3角4分钱”，能做吗？ （学生有的沉思，有的动笔写写算算，有的则一脸茫然.） 师：这类问题，早在1500年前，我们的老祖宗在一本叫孙子算经的书中就有专门的记载.这就是我们今天要研究的古代数学名题：鸡兔同笼问题. PPT出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足.鸡有几只？兔有几只？ （学生似乎被点醒，有的若有所思，有的若有所悟，有的则依然沉默.） 【设计意图：储蓄罐里的“硬币问题”学生也许陌生，但这只是一个悬念，一个引子；而似曾相识的古代名题对部分学生则是某种点拨与唤醒，能初步激活部分学生的学习经验，找到思考问题的起点.】 2.重心下移：让“差异”成为资源 师：脚为什么比头多呀？ 生：因为一只鸡有2只脚，一只兔有4只脚. 师：鸡和兔的只数都是未知的.想一想，怎么办？有困难的也可以同桌商量商量，再动笔试试看. 巡视发现，有以下几种具有代表性的解法. （1）有的学生通过列表枚举，找到了答案. （2）也有学生列出了算式： （22-82）（4-2）=3（只），8-3=5（只） 师：你是怎样想的？ 生：假设8只全部是鸡，应该是16条腿，比题目里告诉我们的少了6条，每少2条腿，说明有一只兔被当成了鸡 （能说得清道理的只是数学上的少数尖子，不少学生还是半懂不懂的.） 师：其实，这道题一年级的小朋友们也会做，他们用的是“画图的方法”.（PPT动态演示画图的过程.）谁能说说一年级同学是怎么想的？ （原本半懂不懂的学生从直观的画图过程中明白了算理） 生：一年级同学也是先假设8只全部是鸡，画上16条腿，再把多出来的6条腿添给三只鸡，就变成了三只兔. 师：比较一下，你有什么发现？ 生：方法不同，但结果都是5只鸡和3只兔. 生：都用到了假设法. 师：你更喜欢哪种方法？ 生：我喜欢“图画法”，比算式好懂，列表比较麻烦. 生：但“图画法”也有麻烦的时候，如果是800只脚呢？还是假设法比较好. 【设计意图：“声一无听，色一无文，味一无果，物一无讲.”国语郑语.如同植物的多样性能让杂花生树一样，在课堂教学中，让学生原生态地呈现的各种方法成为一种教育资源，这些方法相互验证，相互启迪，往往能进一步激活孩子们的思维.】 3.重心下移：聚焦困惑，突破难点 师：明明假设的是鸡，怎么求出来的却是兔呢？ （学生一时难以回答，片刻沉静后，学生从PPT上的画图法中找到了解释） 生：因为，假设全是鸡，少算的6条腿都是“兔腿”. 生：把少算的6条兔腿换回去，就变成了兔子.所以，假设全是鸡，求出来的是兔子. 生：反过来，如果假设全是兔，求出来的是鸡. 【设计意图：为什么明明假设的是鸡，求出来的却是兔子？这历来是不少学生在理解上的一大困惑.所以，贴近学生理解上的这个难点，聚焦并放大这个环节，让学生不仅知其然，也知其所以然，从而切实突破难点.】 二、二放二收：激活“创生态” 1.关口前移：激活“创生态” 师：上面提到的几种方法都是我们现代人的解法，我们的老祖宗又是怎么解决这个问题的呢？ PPT出示古人的解法：脚数2-头数=兔数，头数-兔数=鸡数. 师：古人的方法对不对呢？大家不妨用古人的方法验证一下上面这道题. 生（兴奋地）：对的，对的，也是5只鸡，3只兔.比我们的假设法方便多了. 师：但古人是怎样想的呢？能不能发个短信或打个电话去问问？（生皆笑） 生：老师，我在一本书上看到古人用的是“抬足法”.就是让所有的鸡都抬起一条腿“金鸡独立”，让所有的兔子都抬起前腿“玉兔拜月”.这样，腿的总数就除以2.那么，每只鸡都是一条腿，每只兔都有两条腿，这时，脚数比头数多的，就是兔的只数. 师：你的知识很渊博，解释得也很清楚，很精彩. （古人的解法，一石激起千层浪） 生：老师，如果让鸡的两只翅膀着地，把鸡变成4条腿的“怪鸡”，那么（84-22）（4-2）=5是兔的只数，8-5=3是鸡的只数. 师：你为“假设全是兔”找到了一个生动形象的解释. 生：老师，如果只让所有的兔子前腿抬起来，就可以把所有的兔子都变成2条腿的“怪兔”.那么（22-82）（4-2）=3是鸡的只数，8-3=5是兔的只数. 师：这又是一个很妙的解释. 【设计意图：古人的“抬足法”犹如催化剂，催生出两翅着地的“怪鸡”和前肢举着的“怪兔”.学生的思维一旦被充分激活，任何奇思妙想都不会是一种意外.】 2.关口前移：感受数学文化的魅力 师：你们见过把鸡和兔关在同一个笼子里的吗？ 生：没有.（笑） 师：即便是鸡和兔关在同一个笼子里，直接数一下各自的头不就行了嘛，谁还会趴下去数脚呢？（生皆笑着摇头）那为什么从古到今，人们一直在研究这个问题呢？换句话说，“鸡兔同笼问题”到底有什么魅力呢？ （学生皆若有所思） 师：不仅我们中国人研究“鸡兔同笼”问题，日本人也研究这个问题，在日本叫“龟鹤同游问题”. PPT出示：龟鹤同游，数头40，数脚112.龟鹤各几只？ 问：“龟鹤同游”与“鸡兔同笼”有关系吗？ 生：有关系.龟相当于4只脚的兔子，鹤相当于2只脚的鸡. 师：也就是说“鸡兔同笼问题”不一定只指鸡和兔.那你们能不能给它重新取个名字？ 生：可以叫“鸭兔同笼问题”. 生：可以叫“鹅羊同笼问题”. 师：可以改成“兔狗同笼问题”问题吗？ 生：不可以，因为，兔狗都是4条腿. 生：“鸡兔同笼问题”不一定是指鸡和兔，而是指这一类问题. 师：哪一类问题呢？ 生：指分别有2条腿和4条腿的动物，知道共有几只头和几条脚，求两种动物各几只. 师：你们能解一下日本的“鸡兔同笼问题”吗？ 一部分学生的列式为：（112-402）（4-2）=16（只）（兔），40-16=24（只）（鸡）；但多数学生用的是古人提出的方法：1122-40=16（只）（兔），40-16=24（只）（鸡）. 【设计意图：教者适时引入日本的“龟鹤同游”问题，并引导学生给“鸡兔同笼问题”重新取名字，进而追问，可否改成“兔狗同笼问题”，从而让学生逐步触及“鸡兔同笼问题”的数学实质.】 三、三放三收：建构一般性方法模型 1.重心上移：学生在哪里 师：现在，我们可以来解决前面“储蓄罐”里的硬币问题了储蓄罐中有2分和5分的两种硬币共8枚，一共3角4分.两种硬币各几枚？ 部分学生用的是假设法，多数学生都直接套用古人的模式：342-8=9；但马上发现：5分硬币竟然比两种硬币的总数8枚还要多，这显然是不可能的. 师：古人的方法怎么就不灵了呢？ 生：因为每只兔与鸡腿数是两倍关系，而5分与2分却不是两倍关系. 师：看来，古人的解法有一定的局限性，不能简单地套用，还是“假设法”更加管用. 教师呈现学生所使用的假设法： 假设全是2分硬币. （34-82）（5-2）=6（枚）5分 8-6=2（枚）2分 【设计意图：学生虽然基本掌握了假设法，但他们似乎更青睐古人的解法.通过“储蓄罐里硬币”问题的变式训练，让学生突破古人解法的局限性，体会到“假设法”才具有更大的普遍适用性，使学生的认识得以进一步提升和完善.】 2.重心上移：建构一般性的“数学模型” 师：现在我们再来讨论一下，“鸡兔同笼问题”有什么独特的魅力？ 生：它代表的是一类数学问题. 生：这类问题都是有两个未知量. 师：从解题方法上来看，有什么相同点？ 生：它们都用了假设法. 师：为什么都用了假设法呢？或者说，用假设法好在哪里？ 生：原来鸡和兔的只数都不知道，没法求，而假设全是某一种动物以后，问题就变得简单了. 师：（作若有所思状）噢，通过假设，两个未知量转化成一个未知量了，化难为易，不错不错！ 板书：两个未知量一个未知量 【设计意图：围绕“鸡兔同笼问题到底有什么魅力”屡屡发问，又屡屡只问不答，可谓是“一咏三叹”.不经意的点拨，适时的追问，让学生一次次跳出那只有形的“笼子”，超越各种具体的解题方法，上升为一种更具有普适性的思想方法与策略转化，从而建构起解决这类问题的更具有一般性的“数学模型”！因为，数学是一门关于“模式”的科学，探究的是解决某类问题的“通则通法”.】 【综述】 在当今这个资讯高度发达的时代，以往有些所谓的“知识”正在逐步演变为“信息”，甚至是“常识”；因此，老师们觉得现在越来越难以“搭准学生的脉”.这直接导致了当下课堂教学中的“夹生饭”现象，使得课堂上单向度的“师授生受”关系越来越难以为继，也让习惯于围绕教案上课，习惯于课程实施“线性思维”的老师们，感到自己在课堂上的主导地位和话语权受到挑战.这不仅考验着老师们的实践智慧，甚至拷问着我们曾经得心应手的某些教学模式. 首先，课堂教学中的“夹生饭”现象是社会进步特别是科技发展的必然产物，这也是新课程所倡导的“学生活中的数学”的题中之意，这种活生生的“大数学课程”，需要我们具有相应的“大数学教学观”.这就要求我们与时俱进，不断更新自己的“课程观，教学观”，虽然有时候是一种“被更新”. 其次，我们要调适某些程式化的课堂教学模式.孩子们都是带着他们已有的、参差不齐的、甚至是片面的知识经验和生活阅历来学习的.对此，无法回避，更不应“提防”.尊重和正视学生已有的生活经验和认知起点，对于学生已经有所了解的东西，不应该“装聋作哑”或“视而不见”，而是要悉心揣摩并“用活用足”这些资源.在课堂教学具体进程的不同阶段，学生的理解也动态地处于不同层次，因此，我们要适时