高一函数的应用题[1].doc

构建模型求解函数应用问题 一构建二次函数模型求解的应用问题.例1.某自来水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注水60吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水为120,吨（0t24）. 问多少小时后蓄水池中的水量最少. 若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问每天有几小时出现这种现象.1.简析：探求变量之间的关系，换元化归为二次函数区间上问题和二次不等式解法求解. 设t小时后蓄水池水量为y吨,则y=400+60t-120(0t24). 换元法令x=,则y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,当x=6,即t=6时，y有最小值40吨.供水6小时，水池中水最少为40吨. 由400+10x2-120x80，解得0x4,即04,解得t100),p=(0x100).其中x为正整数，又该厂每生产一件正品可盈利A元，但每生产一件次品就要损失A/3元，为了获得最大盈利，该厂日产量应为多少个？3. 简析：探求变量之间的关系，建模化归对号函数区间上的单调性解决.设日产量为x，次品数为xp，正品数为x-xp，则日盈利y=A(x-xp)-Ap(0x100,xN).当x100时,p=1,产品全为次品，工厂不盈利，不和题意，故p只能取，于是，y=A101+.问题化为f(x)=(101-x)+在（0，100）内且xN的最小值.换元令u=101-x,u(1,101),且uN,而f(x)=u+=g(u)在(1,101),且uN，利用不等式取等号条件易猜出分界点u=11.6,定义法易证f(x)=g(u)在上是减函数，在上是增函数（也可用导数法研究）,又uN，故只须算g(12),g(11)，即只须算f(89)=.故日产量为89个时可获得最大盈利.三 构建分段函数模型求解的应用问题.例4.某影院共有1000个座位，票价不分等次.根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出.为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，符合的基本条件是： 为方便在零和算帐，票价定为1元的整数倍； 影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出.试问在符合条件下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？4简析：阅读理解的基础上，构建分段函数的模型求解.当时，净收入，且，则时，；当时，净收入，解得，又则x时，.两段下易求，时，净收入最大值为4250元，时，净收入最大值为8330元.故每张票价定为22元时净收入最多.例5 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d正比例于车速v（千米/小时）的平方和车身长的积（米），且最小车距不得小于半个车身长，假定车身长为均为S（米），且当车速为50（千米/小时），车距恰好为车身长（车流量即为1小时所通过的车辆数）.问交通繁忙时，应规定怎样的车速才能使此地的车流量最大？5. 简析：理解车距和车流量概念，探求车距和车速的分段函数式，从而构建车流量和车速的分段函数，研究其最值解决.依题设，d=kv2S(k为系数)，代入待定系数有 k=(千米/小时).则车距d与车速v的关系为分段函数,而车流量y=.故车流量为车速的分段函数y= y1=,y2=.车速为50千米/小时车流量最大.四 构建指数函数模型求解的应用问题.例6某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月数关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中、c为常数），已知四月份该产品的产量为1.39万件，问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由。根据所得结果预测5月份的产量。6分析 先根据前三个月的产量，用待定系数法确定模拟函数，再用四月份产量检验哪个模拟函数更接近实际产量，5月份的产量用较好的那个模拟函数去计算。解 设二次函数为 ， ， ， ，得解之得 ，所以 . 由 ， ，得 解得 因此 ，而 ， 因作为模拟函数较好。有： （万件）所以预测 5月产量为 万件。五构建不等式模型求解的应用问题.例7.为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？7. 分析：关键在于理解题意而列出关系式，找到a与b间的等量关系.函数最小值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=(k0为比例系数)其中a、b满足2a+4b+2ab=60 要求y的最小值，只须求ab的最大值.由(a+2)(b+1)=32(a0,b0)且ab=30(a+2b)应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)4ab18，当且仅当a=2b时等号成立将a=2b代入得a=6,b=3.故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a+4b+2ab=60,得,记(0a30)则要求y的最小值只须求u的最大值.由，令u=0得a=6且当0a6时，u0，当6u30时u0,在a=6时取最大值，此时b=3.从而当且仅当a=6，b=3时,y=取最小值.答案：1.简析：探求变量之间的关系，换元化归为二次函数区间上问题和二次不等式解法求解. 设t小时后蓄水池水量为y吨,则y=400+60t-120(0t24). 换元法令x=,则y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,当x=6,即t=6时，y有最小值40吨.供水6小时，水池中水最少为40吨. 由400+10x2-120x80，解得0x4,即04,解得t,故每天有8小时供水紧张.2. 简析：探求变量之间的关系，目标函数易求运输成本：y=s (),(0,c),化为f(v)= s ()在 (0,c)上的最小值，借助不等式取等号条件猜出分界点，定义法易证f(v)在上递减， 在上递增（也可用导数法研究）。 讨论c 和的大小，分两类研究.当c时,f(v)min =f (c),此时v=c； 当c时, f(v)min =f()，此时v= .3. 简析：探求变量之间的关系，建模化归对号函数区间上的单调性解决.设日产量为x，次品数为xp，正品数为x-xp，则日盈利y=A(x-xp)-Ap(0x100,xN).当x100时,p=1,产品全为次品，工厂不盈利，不和题意，故p只能取，于是，y=A101+.问题化为f(x)=(101-x)+在（0，100）内且xN的最小值.换元令u=101-x,u(1,101),且uN,而f(x)=u+=g(u)在(1,101),且uN，利用不等式取等号条件易猜出分界点u=11.6,定义法易证f(x)=g(u)在上是减函数，在上是增函数（也可用导数法研究）,又uN，故只须算g(12),g(11)，即只须算f(89)=.故日产量为89个时可获得最大盈利.4简析：阅读理解的基础上，构建分段函数的模型求解.当时，净收入，且，则时，；当时，净收入，解得，又则x时，.两段下易求，时，净收入最大值为4250元，时，净收入最大值为8330元.故每张票价定为22元时净收入最多.5. 简析：理解车距和车流量概念，探求车距和车速的分段函数式，从而构建车流量和车速的分段函数，研究其最值解决.依题设，d=kv2S(k为系数)，代入待定系数有 k=(千米/小时).则车距d与车速v的关系为分段函数,而车流量y=.故车流量为车速的分段函数y= y1=,y2=.车速为50千米/小时车流量最大.6分析 先根据前三个月的产量，用待定系数法确定模拟函数，再用四月份产量检验哪个模拟函数更接近实际产量，5月份的产量用较好的那个模拟函数去计算。解 设二次函数为 ， ， ， ，得解之得 ，所以 . 由 ， ，得 解得 因此 ，而 ， 因作为模拟函数较好。有： （万件）所以预测 5月产量为 万件。.7. 分析：关键在于理解题意而列出关系式，找到a与b间的等量关系.函数最小值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=(k0为比例系数)其中a、b满足2a+4b+2ab=60 要求y的最小值，只须求ab的最大值.由(a+2)(b+1)=32(a0,b0)且ab=30(a+2b)应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)4ab18，当且仅当a=2b时等号成立将a=2b代入得a=6,b=3.故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a+4b+2ab=60,得,记(0a30)则要求y的最小值只须求u的最大值.由，令u=0得a=6且当0a6时，u0，当6u30时u0,在a=6时取最大值，此时b=3.从而当且仅当a=6，b=3时,y=取最小值.函数的奇偶性的典型例题2009.11.28一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数的定义域内任意一个： 是偶函数；奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；、可逆性： 是偶函数；奇函数；、等价性：、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，判断步骤如下：、 定义域是否关于原点对称；、 数量关系哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 、 、 、 、 、 、解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x-1,1),g(x)=x(x-2,2)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间-1，1上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例1：已知偶函数在轴右则时的图像如图（一）试画出函数轴右则的图像。2-111-2XY图（二）0121XY图（一）七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函