函数的单调性与极值、最值1.doc

圆梦教育培训学校专题训练 招生热线：2997800 圆梦教育培训学校专题训练 招生热线：2997800 函数的单调性与极值、最值1、 函数的单调性1、 函数的单调性的定义：设函数y=f(x)的定义域为I 增函数定义：如果对于定义域I内的某个区间A内任意的两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间I上是增函数，I称为y=f(x)的单调递增区间。减函数定义：如果对于定义域I内的某个区间A内任意的两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间I上是减函数，I称为y=f(x)的单调递减区间。2、 导数发判断单调性：一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果，则函数y=f(x)在这个区间内为增函数；如果，则函数y=f(x)在这个区间内为减函数。 用导数法求单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导；（3）由（或），解出相应的x的范围。当时，f(x)在相应区间上是增函数；当时，f(x)在相应的区间上是减函数。 注意：（1）在某个区间内（）是函数f(x)在此区间内为增（减）函数的充分条件，而不是必要条件。如果出现个别点使，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性。（2）一般地，可导函数f(x)在区间（a，b）内是增（减）函数的充要条件是：对任意的，都有（），且在区间（a，b）的任何子区间内都不恒等于零。特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到。典例分析： （ ） 5、求下列函数单调区间（1） （2）（3） （4） 二、极值 1、函数的定义：一般地，设函数y=f(x)在及其附近有定义，如果f()的值比附近所有各点的函数值都大，就说f()是函数y=f(x)的一个极大值；如果f()的值比附近所有各点的函数值都小，就说f()是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称为极值。 2、求可导函数极值的步骤注意：函数可以有极值，也可以没有极值，如果有极值，可能有一个，也可能有多个，每个极值都是就该极值附近而言。 极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小。 若函数f(x)在区间（a，b）内有极值，那么f(x)在区间（a，b）内绝不是单调函数，即在区间（a，b）内的单调函数没有极值。 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ()=0是可导函数f(x)在处取得极值的必要不充分条件。也就是说是极值点的充分条件是在点的两侧导数异号，而不是f ()=0。此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。典例分析：1、求下列函数的极值。（1） 三、最值 1、最值定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域I,如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在I，使得f()=M。那么，我们称M函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域I,如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在I，使得f()=M。那么，我们称M函数y=f(x)的最小值。 2、求函数的最大（小）值的方法(1)利用已知函数的性质求函数的最大(小)值，如二次函数；(2)利用函数图像求函数的最大(小)值；(3)利用函数的单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增，在区间b,c上单调递减，则函数y=f(x)在区间a,c上的最大值是f(b)；如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减，在区间b,c上单调递减，则函数y=f(x)在区间a,c上的最小值是f(b)； 3、导数法求最值 求可导函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤： (1)求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值) (2)将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 注意：函数的极值比一定是最值，最值不一定是极值。函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数最值表示函数在一个区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较。 典例分析： 。 课堂练习 。 。 。 。 课后练习1、设函数，则（ ）A.在（，+）单调增加B.在（，+）单调减少C.在（1，1）单调减少，其余区间单调增加D.在（1，1）单调增加，其余区间单调减少2、若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（ ）A.极大值一定是最大值，极小值一定是最小值B.极大值必大于极小值C.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值D.极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值3、.函数有极值的充要条件是（ ）A. B. C. D. 。 。 12、设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为4，（1）求的值；（2）求函数的递减区间。13、是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，）上递增。14、设函数（1）若导数；并证明有两个不同的极值点；（2）若不等式成立，求的取值范围。15、已知过函数的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为3。（1）求的值；（2