九年级数学上册一元二次方程根的判别式判别式的八种应用素材新青岛版.docx

判别式的八种应用 一、求方程(组)的解及解的取值范围例1 若x22xy26y100，x，y为实数求x，y(原初中代数第四册第207页3(2)题)解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数 224(y26y10)4(y3)20即(y3)20，于是y3，进而得x1例2 已知a，b，c为实数，满足abc0，abc8，求c的取值范围(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)解：abc0，abc8，例3 已知实数x，y，z满足x6y，z2xy9，求x，y的值证明：x+y6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a26az290的两个实数根，则有364(z29)4z20，即z20因z为实数，z0，从而0，故上述关于a的方程有相等实根，即xy3二、判断三角形形状例4 若三角形的三边a，b，c满足a(ab)b(bc)c(ca)0试判断三角形形状证明：将原式变形为b2(ac)ba2c3ac0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根，(ac)24(a2c2ac)0整理得3(ac)20，即(ac)20，故ac，把ac代入原式，得bc，从而有abc，所以三角形为等边三角形三、求某些字母的值例5 k为何值时，(x1)(x3)(x5)(x7)k是一完全平方式解：原式(x28x7)(x28x78)k(x28x7)28(x28x7)k令(x28x7)28(x28x7)k0，因原式是完全平方式，则其根的判别式，824k0，即k16例6 如果x2y2mx5y6能分解成两个一次因式的积，试求m的值解：令x2mx(y25y6)0，则关于x的方程的根的判别式4y220ym224欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“”是一完全平方式，从而有4y220ym2240的根的判别式m21，即m1例7 a为有理数，问：b为何值时，方程x24ax4x3a22a4b0的根是有理数解：方程整理为x24(1a)x(3a22a4b)0它的判别式4(a26a4b4)，由于4(a26a4b4)是有理数a的二次三项式即 4(a26a4b4)0的根的判别式四、证明不等式令y(a2b2c2)x22(abc)x3，易知y(ax1)2(bx1)2(cx1)20因为a2b2c20，且对任意的x值y0，故有4(abc)243(a2b2c2)0，所以(abc)23(a2b2c2)五、求函数的最大值最小值 解：令x2-x+1=0，它的判别式=-30，可见x为一切实数时，有x2-x+10，原式变形为(1y)x2(y5)x(1y)0，要使x为实数，则有(y5)24(1y)20六、证明实数存在性问题例10 若ab2(cd)，a，b，c，d均为实数，求证方程x2axc0和x2bxd0至少有一个方程有实根证明：假设方程x2axc0和x2bxd0都没有实根从而有a2b22ab，即(ab)20，与(ab)20矛盾，因此假设不成立，原题得证七、在解三角形中的应用例11 在ABC中，AC1，AB2，求B的范围解：设BCx，由余弦定理得1x22222xcosB，即x24cosBx30八、在平面几何中的应用例12 如图1,已知：ABC中