九年级数学下册第28章圆28.1圆的认识2圆的对称性课件.pptx

2 圆的对称性 1 使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形 并能运用其特有的性质推出在同一个圆中 圆心角 弧 弦之间的关系 2 能运用这些关系解决问题 培养学生善于从实验中获取知识的能力 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 想一想 将一个圆沿着任一条直径对折 两侧半圆会有什么关系 解析 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 所以两侧半圆折叠后重叠 O 利用折叠的方法即可解决上述问题 圆也是旋转对称图形 用旋转的方法可解决下面问题 将图1中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度 画出旋转之后的图形 比较前后两个图形 你能发现什么 B A 扇形AOB旋转到扇形A OB 的位置 我们可以发现 在旋转过程中 AOB A OB AB A B 图2 A B O 在一个圆中 如果圆心角相等 那么它所对的弧相等 所对的弦相等 在一个圆中 如果弧相等 那么所对的圆心角相等 所对的弦相等 在一个圆中 如果弦相等 那么所对的圆心角相等 圆心角所对的弧相等 解 2 1 45 例题 我们还知道 圆是轴对称图形 它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 1 试一试 我们如何十分简捷地将一个圆2等分 4等分 8等分 2 动手操作 观察猜想 操作 CD是圆0的直径 过直径上任一点E作弦AB CD 将圆0沿CD对折 比较图中的线段和弧 你有什么发现 猜想 3 指导论证 引申结论 已知 在 O中 CD为直径 AB为弦 且CD AB于点E 分析 直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是 O的对称轴 把 O沿直径CD折叠 由图形的重合 即可得到所求证结论 C D E O 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 判断题 1 过圆心的直线平分弦 2 垂直于弦的直线平分弦 3 O中 OE 弦AB于E 则AE BE 错 错 对 跟踪训练 证明 连结AO BO AO BO AOB为等腰三角形 AE BE CD AB CD是直径 例1 如图在 O中 直径CD交弦AB于点E AE BE求证 CD AB O C D E 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于这条弦 并且平分弦所对的弧 五个条件 1 垂直于弦 2 过圆心 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 规律 知二 推三 规律方法 例2 已知 如图在 O中 弦AB的长是8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 o A B E 解 连结OA 作OE AB于E 则OE 3cm AE BE AB 8cm AE 4cm在Rt AOE中有OA 5 cm O的半径为5cm 解后指出 从例2看出圆的半径OA 圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt AOE 把垂径定理和勾股定理结合起来 解决这类问题就显得很容易了 1 在圆中某弦长为8cm 圆的直径是10cm 则圆心到弦的距离是cm2 在圆O中弦CD 24 圆心到弦CD的距离为5 则圆O的直径是 3 如图 AB为圆O的直径 弦CD AB于E AE 16 BE 4 则CD 答案 3 答案 26 答案 16 跟踪训练 例3如图已知 O的直径为4cm 弦AB cm 求 OAB的度数 解 过O作OD AB于点D 则AD BD AB cm AD cm O的直径为4cm OA 2cm在Rt OAD中cos OAB OAB 30 你还有没有其他方法 1 安徽 中考 如图 O过点B C 圆心O在等腰直角 ABC的内部 BAC 90 OA 1 BC 6 则 O的半径为 答案 D 2 芜湖 中考 如图所示 在 O内有折线OABC 其中OA 8 AB 12 A B 60 则BC的长为 A 19B 16C 18D 20 答案 D 答案 B 3 烟台 中考 如图 ABC内接于 O D为线段AB的中点 延长OD交 O于点E 连结AE BE 则下列五个结论 AB DE AE BE OD DE AEO C 正确结论的个数是 A 2B 3C 4D 5 4 湖州 中考 如图 已知 O的直径AB 弦CD于点E 下列结论中一定正确的是 A AE OEB CE DEC OE CED AOC 60 答案 B 5 潍坊 中考 如图 AB是 O的弦 半径OC AB于D点 且AB 6cm OD 4cm 则DC的长为 A 5cmB 2 5cmC 2cmD 1cm 答案 D 规律方法 运用垂径定理及推论解决一些数学问题 最常见的辅助线是连结圆上的点与圆心构成半径 及过圆心作弦的垂线 构造直角三角形 利用勾股定理解决问题 1 对垂径定理的理解 1 证明定理的方法是典型的 叠合法 2 定理是解决有关弦的问题的重要方法 3 定理中反映的弦的中点 弦所对的两条弧的中