30导数及其应用(理_测试).doc

单元检测三导数及其应用 (时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,y=f(x)是y=f(x)的导函数.命题p:f(x0)=0;命题q:y=f(x)在x=x0处取得极值,则p是q的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知函数f(x)=ln x-x,则函数f(x)的单调减区间是().A.(-,1)B.(0,1)C.(-,0),(1,+)D.(1,+)3.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为().A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-24.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,则下列判断正确的是().A.在区间(-3,1)上y=f(x)是增函数B.在(1,3)上y=f(x)是减函数C.在(4,5)上y=f(x)是增函数D.在x=2时y=f(x)取到极小值5.直线x=,x=2,曲线y=及x轴所围成图形的面积是().A.B.C.ln 2D.2ln 26.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是().7.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且在定义域R内可导,若f(2+x)=f(2-x),当x(0,2)时,(x-2)f(x)0,设a=f,b=f,c=f(5),则().A.abcB.cabC.bcaD.ba0),则f(x)为增函数的充要条件是().A.b2-4ac0B.b0,c0C.b=0,c0D.b2-3ac09.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊接成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的小正方形的边长为().A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm10.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为().A.1B.C.D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(-,+)内无极值点,求a的取值范围.18.(12分)对于函数f(x)=bx3+ax2-3x.(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值,且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sin tcos t-2cos2t+,试求实数t的取值范围;(2)若f(x)为实数集R上的单调函数,且b-1,设点P的坐标为(a,b),试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.19.(13分)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=,求f(x)的单调区间;(2)若当x0时,f(x)0,求a的取值范围.20.(14分)已知函数f(x)=aln x+x2(a为实常数).(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+)上是增函数;(2)求函数f(x)在1,e上的最小值及相应的x的值.21.(14分)已知函数f(x)=(x0,1).(1)求函数f(x)的单调区间和值域;(2)设a1,函数g(x)=x2-3a2x-2a(x0,1),若对于任意x10,1,总存在x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题1.B解析:由p不能推出q,如函数f(x)=x3,f(0)=0,但函数f(x)在R上是增函数,f(x)在x=0处并不取得极值;由q能推出p.因此,p是q的必要而不充分条件.2.D解析:由f(x)=ln x-x,得f(x)=-1,由f(x)=-10,解得x(1,+).3.A解析:y=,曲线在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为=2.切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.C解析:由函数y=f(x)在上是减函数,上是增函数,知A错;由函数y=f(x)在(1,2)上是增函数,在(2,3)上是减函数,知B错;由函数y=f(x)在(4,5)上是增函数,知C正确;由函数y=f(x)在x=2时取到极大值,知D错.5.D解析:所求面积是dx=ln x=ln 2-ln=2ln 2,故选D.6.D解析:因为y=f(x),y=g(x)的导函数值都为正,所以两个函数都是单调递增的.从导函数的图象可知,两个函数在x0处斜率相同,可以排除B.因为y=f(x)的导函数是减函数,故y=f(x)的图象增得慢;因为y=g(x)的导函数是增函数,故y=g(x)的图象增得快.7.C解析:因为f(2+x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于x=2对称.又f(x)在定义域R内可导,当x(0,2)时,(x-2)f(x)0,所以x(0,2)时,f(x)0,函数f(x)在(0,2)上单调递减.又因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以c=f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1)=f(1),因为1,所以ff(1)f.故bc0,3a0.又f(x)为增函数,故f(x)0恒成立.只需=(2b)2-43ac0,即b2-3ac0.9.B解析:设小正方形边长为x cm,铁盒容积为y cm3,则y=(48-2x)2x=4x3-192x2+2 304x.y=12x2-384x+2 304=12(x-8)(x-24).48-2x0,0x24.当x变化时,y,y的变化情况如下表:x(0,8)8(8,24)y+0-y单调递增极大值8 192单调递减当x=8时,ymax=8 192.10.B解析:过点P作y=x-2的平行线,且与曲线y=x2-ln x相切.设P(x0,-ln x0),则有k=y=2x0-.2x0-=1,x0=1或x0=-(舍去),P(1,1),d=.二、填空题11.解析:由题图可知在(0,+)内y=f(x)恒正,则f(x)在此区间(0,+)内单调递增.又f(2a+b)0,40,则有2a+b6.13.x3-6x2+9x解析:f(x)=3ax2+2bx+c,由题意,有即解得故f(x)=x3-6x2+9x.14.12解析:因为f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)dx=f(x)dx.所以f(x)dx=6+6=12.15.解析:因为函数y=ex+2mx(xR)有大于零的极值点,所以y=ex+2m=0有大于0的实根.令y1=ex,y2=-2m,则两曲线的交点必在第一象限.由图象可得-2m1,即m0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-,+)内无极值点”等价于“f(x)=ax2+2bx+c0在(-,+)内恒成立”.由(*)式得2b=9-5a,c=4a.又=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),解得a1,9,即a的取值范围是1,9.18.解:(1)f(x)=bx3+ax2-3x,则f(x)=3bx2+2ax-3.f(x)在x=1和x=3处取得极值,x=1和x=3是f(x)=0的两个根,解得f(x)=-x2+4x-3.f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过2sin tcos t-2cos2t+,f(x)2sin tcos t-2cos2t+,对xR恒成立,而f(x)=-(x-2)2+1,其最大值为1.故2sin tcos t-2cos2t+12sin1k+tk+,kZ.(2)当b=0时,由f(x)在R上单调,知a=0.当b0时,由f(x)在R上单调f(x)0恒成立,或者f(x)0恒成立.f(x)=3bx2+2ax-3,=4a2+36b0,可得b-a2.从而知满足条件的点P(a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线y=-x2与直线y=-1所围成的封闭图形.其面积为S=dx=4.19.解:(1)a=时,f(x)=x(ex-1)-x2,f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).当x(-,-1)时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,-1),(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.(2)f(x)=x(ex-1-ax),令g(x)=ex-1-ax,g(x)=ex-a.若a1,则当x(0,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x0时,g(x)0,即f(x)0,若a1,则当x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x(0,ln a)时,g(x)0,即f(x)0,故函数f(x)在(1,+)上是增函数.(2)由题意知f(x)=(x0),当x1,e时,2x2+aa+2,a+2e2.若a-2,f(x)在1,e上非负(当且仅当a=-2,x=1时,f(x)=0),故函数f(x)在1,e上是增函数,此时f(x)min=f(1)=1.若-2e2a-2,当x=时,f(x)=0;当1x时,f(x)0,此时f(x)是减函数;当0,此时f(x)是增函数,故f(x)min=f=ln-.若a-2e2,f(x)在1,e上非正(当且仅当a=-2e2,x=e时,f(x)=0),故函数f(x)在1,e上是减函数,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上可知,当a-2时,f(x)的最小值为1,相应的x的值为1;当-2e2a0,得x,且x2.由f(x)=0,得x.又已