圆的相似综合题

相似与圆综合题目练习相似与圆综合题目练习 2 2013 湛江 如图 已知 AB 是 O 的直径 P 为 O 外一点 且 OP BC P BAC 1 求证 PA 为 O 的切线 2 若 OB 5 OP 求 AC 的长 3 2013 营口 如图 点 C 是以 AB 为直径的 O 上的一点 AD 与过点 C 的切线互相垂直 垂足为点 D 1 求证 AC 平分 BAD 2 若 CD 1 AC 求 O 的半径长 4 2013 西宁 如图 O 是 ABC 的外接圆 BC 为 O 直径 作 CAD B 且点 D 在 BC 的延长线上 CE AD 于 点 E 1 求证 AD 是 O 的切线 2 若 O 的半径为 8 CE 2 求 CD 的长 6 2013 宁夏 在 Rt ABC 中 ACB 90 D 是 AB 边上的一点 以 BD 为直径作 O 交 AC 于点 E 连结 DE 并延长 与 BC 的延长线交于点 F 且 BD BF 1 求证 AC 与 O 相切 2 若 BC 6 AB 12 求 O 的面积 7 2013 黄冈 如图 AB 为 O 的直径 C 为 O 上一点 AD 和过 C 点的直线互相垂直 垂足为 D 且 AC 平分 DAB 1 求证 DC 为 O 的切线 2 若 O 的半径为 3 AD 4 求 AC 的长 9 2013 朝阳 如图 直线 AB 与 O 相切于点 A 直径 DC 的延长线交 AB 于点 B AB 8 OB 10 1 求 O 的半径 2 点 E 在 O 上 连接 AE AC EC 并且 AE AC 判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系 并证明你的结论 3 求弦 EC 的长 11 2013 巴中 如图 在平行四边形 ABCD 中 过点 A 作 AE BC 垂足为 E 连接 DE F 为线段 DE 上一点 且 AFE B 1 求证 ADF DEC 2 若 AB 8 AD 6 AF 4 求 AE 的长 12 2012 岳阳 如图所示 在 O 中 弦 AB 与弦 AC 交于点 A 弦 CD 与 AB 交于点 F 连接 BC 1 求证 AC2 AB AF 2 若 O 的半径长为 2cm B 60 求图中阴影部分面积 14 2012 陕西 如图 正三角形 ABC 的边长为 3 1 如图 正方形 EFPN 的顶点 E F 在边 AB 上 顶点 N 在边 AC 上 在正三角形 ABC 及其内部 以点 A 为位似 中心 作正方形 EFPN 的位似正方形 E F P N 且使正方形 E F P N 的面积最大 不要求写作法 2 求 1 中作出的正方形 E F P N 的边长 3 如图 在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH 使得 DE EF 在边 AB 上 点 P N 分别在边 CB CA 上 求这两个正方形面积和的最大值和最小值 并说明理由 15 2012 河南 类比 转化 从特殊到一般等思想方法 在数学学习和研究中经常用到 如下是一个案例 请 补充完整 原题 如图 1 在平行四边形 ABCD 中 点 E 是 BC 的中点 点 F 是线段 AE 上一点 BF 的延长线交射线 CD 于点 G 若 3 求的值 1 尝试探究 在图 1 中 过点 E 作 EH AB 交 BG 于点 H 则 AB 和 EH 的数量关系是 CG 和 EH 的数量关系是 的值是 2 类比延伸 如图 2 在原题的条件下 若 m m 0 则的值是 用含有 m 的代数式表示 试写出解答过 程 3 拓展迁移 如图 3 梯形 ABCD 中 DC AB 点 E 是 BC 的延长线上的一点 AE 和 BD 相交于点 F 若 a b a 0 b 0 则的值是 用含 a b 的代数式表示 初中数学组卷初中数学组卷 一 解答题 共一 解答题 共 1515 小题 小题 2 2013 湛江 如图 已知 AB 是 O 的直径 P 为 O 外一点 且 OP BC P BAC 1 求证 PA 为 O 的切线 2 若 OB 5 OP 求 AC 的长 考点 切线的判定 勾股定理 相似三角形的判定与性质 3545438 分析 1 欲证明 PA 为 O 的切线 只需证明 OA AP 2 通过相似三角形 ABC PAO 的对应边成比例来求线段 AC 的长度 解答 1 证明 AB 是 O 的直径 ACB 90 BAC B 90 又 OP BC AOP B BAC AOP 90 P BAC P AOP 90 由三角形内角和定理知 PAO 90 即 OA AP 又 OA 是的 O 的半径 PA 为 O 的切线 2 解 由 1 知 PAO 90 OB 5 OA OB 5 又 OP 在直角 APO 中 根据勾股定理知 PA 由 1 知 ACB PAO 90 BAC P ABC POA 解得 AC 8 即 AC 的长度为 8 点评 本题考查的知识点有切线的判定与性质 三角形相似的判定与性质 得到两个三角形中的两组对应角相等 进而得到两个三角形相似 是解答 2 题的关键 3 2013 营口 如图 点 C 是以 AB 为直径的 O 上的一点 AD 与过点 C 的切线互相垂直 垂足为点 D 1 求证 AC 平分 BAD 2 若 CD 1 AC 求 O 的半径长 考点 切线的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 3545438 专题 压轴题 分析 1 连接 OC 先由 OA OC 可得 ACO CAO 再由切线的性质得出 OC CD 根据垂直于同一直线的两直 线平行得到 AD CO 由平行线的性质得 DAC ACO 等量代换后可得 DAC CAO 即 AC 平分 BAD 2 解法一 如图 2 过点 O 作 OE AC 于 E 先在 Rt ADC 中 由勾股定理求出 AD 3 由垂径定理求 出 AE 再根据两角对应相等的两三角形相似证明 AEO ADC 由相似三角形对应边成比例得到 求出 AO 即 O 的半径为 解法二 如图 2 连接 BC 先在 Rt ADC 中 由勾股定理求出 AD 3 再根据两角对应相等的两三角形相似证明 ABC ACD 由相似三角形对应边成比例得到 求 出 AB 则 O 的半径为 解答 1 证明 连接 OC OA OC ACO CAO CD 切 O 于 C OC CD 又 AD CD AD CO DAC ACO DAC CAO 即 AC 平分 BAD 2 解法一 如图 2 过点 O 作 OE AC 于 E 在 Rt ADC 中 AD 3 OE AC AE AC CAO DAC AEO ADC 90 AEO ADC 即 AO 即 O 的半径为 解法二 如图 2 连接 BC 在 Rt ADC 中 AD 3 AB 是 O 直径 ACB 90 CAB DAC ACB ADC 90 ABC ACD 即 AB 即 O 的半径为 点评 本题考查了等腰三角形 平行线的性质 勾股定理 垂径定理 切线的性质 相似三角形的判定与性 质 此题难度适中 注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用 4 2013 西宁 如图 O 是 ABC 的外接圆 BC 为 O 直径 作 CAD B 且点 D 在 BC 的延长线上 CE AD 于 点 E 1 求证 AD 是 O 的切线 2 若 O 的半径为 8 CE 2 求 CD 的长 考点 切线的判定 解分式方程 相似三角形的判定与性质 3545438 分析 1 首先连接 OA 由 BC 为 O 直径 CE AD CAD B 易求得 CAD OAC 90 即 OAD 90 则可证 得 AD 是 O 的切线 2 易证得 CED OAD 然后设 CD x 则 OD x 8 由相似三角形的对应边成比例 可得方程 继而求得答案 解答 1 证明 连接 OA BC 为 O 的直径 BAC 90 B ACB 90 OA OC OAC OCA CAD B CAD OAC 90 即 OAD 90 OA AD 点 A 在圆上 AD 是 O 的切线 2 解 CE AD CED OAD 90 CE OA CED OAD CE 2 设 CD x 则 OD x 8 即 解得 x 经检验 x 是原分式方程的解 所以 CD 点评 此题考查了切线的判定 相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质 此题难度适中 注意掌握辅助 线的作法 注意掌握方程思想与数形结合思想的应用 5 2013 绍兴 在 ABC 中 CAB 90 AD BC 于点 D 点 E 为 AB 的中点 EC 与 AD 交于点 G 点 F 在 BC 上 1 如图 1 AC AB 1 2 EF CB 求证 EF CD 2 如图 2 AC AB 1 EF CE 求 EF EG 的值 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 3545438 专题 压轴题 分析 1 根据同角的余角相等得出 CAD B 根据 AC AB 1 2 及点 E 为 AB 的中点 得出 AC BE 再利用 AAS 证明 ACD BEF 即可得出 EF CD 2 作 EH AD 于 H EQ BC 于 Q 先证明四边形 EQDH 是矩形 得出 QEH 90 则 FEQ GEH 再由两角 对应相等的两三角形相似证明 EFQ EGH 得出 EF EG EQ EH 然后在 BEQ 中 根据正弦函数的定义得 出 EQ BE 在 AEH 中 根据余弦函数的定义得出 EH AE 又 BE AE 进而求出 EF EG 的值 解答 1 证明 如图 1 在 ABC 中 CAB 90 AD BC 于点 D CAD B 90 ACB AC AB 1 2 AB 2AC 点 E 为 AB 的中点 AB 2BE AC BE 在 ACD 与 BEF 中 ACD BEF CD EF 即 EF CD 2 解 如图 2 作 EH AD 于 H EQ BC 于 Q EH AD EQ BC AD BC 四边形 EQDH 是矩形 QEH 90 FEQ GEH 90 QEG 又 EQF EHG 90 EFQ EGH EF EG EQ EH AC AB 1 CAB 90 B 30 在 BEQ 中 BQE 90 sin B EQ BE 在 AEH 中 AHE 90 AEH B 30 cos AEH EH AE 点 E 为 AB 的中点 BE AE EF EG EQ EH BE AE 1 点评 本题考查了相似三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 矩形的判定和性质 解直角三角形 综 合性较强 有一定难度 解题的关键是作辅助线 构造相似三角形 并且证明四边形 EQDH 是矩形 6 2013 宁夏 在 Rt ABC 中 ACB 90 D 是 AB 边上的一点 以 BD 为直径作 O 交 AC 于点 E 连结 DE 并延长 与 BC 的延长线交于点 F 且 BD BF 1 求证 AC 与 O 相切 2 若 BC 6 AB 12 求 O 的面积 考点 切线的判定 相似三角形的判定与性质 3545438 分析 1 连接 OE 求出 ODE F DEO 推出 OE BC 得出 OE AC 根据切线的判定推出即可 2 证 AEO ACB 得出关于 r 的方程 求出 r 即可 解答 证明 1 连接 OE OD OE ODE OED BD BF ODE F OED F OE BF AEO ACB 90 AC 与 O 相切 2 解 由 1 知 AEO ACB 又 A A AOE ABC 设 O 的半径为 r 则 解得 r 4 O 的面积 42 16 点评 本题考查了等腰三角形的性质 切线的判定 平行线的性质和判定 相似三角形的性质和判定的应用 主 要考查学生的推理和计算能力 用了方程思想 7 2013 黄冈 如图 AB 为 O 的直径 C 为 O 上一点 AD 和过 C 点的直线互相垂直 垂足为 D 且 AC 平分 DAB 1 求证 DC 为 O 的切线 2 若 O 的半径为 3 AD 4 求 AC 的长 考点 切线的判定 相似三角形的判定与性质 3545438 分析 1 连接 OC 由 OA OC 可以得到 OAC OCA 然后利用角平分线的性质可以证明 DAC OCA 接着利用 平行线的判定即可得到 OC AD 然后就得到 OC CD 由此即可证明直线 CD 与 O 相切于 C 点 2 连接 BC 根据圆周角定理的推理得到 ACB 90 又 DAC OAC 由此可以得到 ADC ACB 然后利 用相似三角形的性质即可解决问题 解答 1 证明 连接 OC OA OC OAC OCA AC 平分 DAB DAC OAC DAC OCA OC AD AD CD OC CD 直线 CD 与 O 相切于点 C 2 解 连接 BC 则 ACB 90 DAC OAC ADC ACB 90 ADC ACB AC2 AD AB O 的半径为 3 AD 4 AB 6 AC 2 点评 此题主要考查了切线的性质与判定 解题时 首先利用切线的判定证明切线 然后利用切线的想这已知条 件证明三角形相似即可解决问题 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 1 求出三角形全等的条件 1 E 是解 题的关键 2 i 根据两次三角形相似求出 AP BF 是解题的关键 ii 判断出路径为三角形的中位线 是解题的关键 9 2013 朝阳 如图 直线 AB 与 O 相切于点 A 直径 DC 的延长线交 AB 于点 B AB 8 OB 10 1 求 O 的半径 2 点 E 在 O 上 连接 AE AC EC 并且 AE AC 判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系 并证明你的结论 3 求弦 EC 的长 考点 切线的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 3545438 分析 1 连接 OA 交 EC 于 F 根据切线性质得出 OAB 90 根据勾股定理求出即可 2 根据 AE AC 推出弧 AE 弧 AC 根据垂径定理求出 OA EC 根据平行线判定推出即可 3 证 OFC OAB 求出 FC 根据垂径定理得出 EC 2FC 代入求出即可 解答 1 解 连接 AO 交 EC 于 F AB 切 O 于 A OA AB OAB 90 在 Rt OAB 中 由勾股定理得 OA 6 答 O 的半径是 6 2 直线 EC 与 AB 的位置关系是 EC AB 证明 AE AC 弧 AE 弧 AC OA 过 O OA EC OA AB EC AB 3 解 EC AB OFC OAB FC OA EC OA 过 O EC 2FC 点评 本题考查了勾股定理 相似三角形的性质和判定 切线性质 垂径定理 圆周角定理的应用 主要考查学 生综合运用性质进行推理的能力 10 2013 百色 如图 在等腰梯形 ABCD 中 DC AB E 是 DC 延长线上的点 连接 AE 交 BC 于点 F 1 求证 ABF ECF 2 如果 AD 5cm AB 8cm CF 2cm 求 CE 的长 考点 相似三角形的判定与性质 等腰梯形的性质 3545438 分析 1 由 两直线平行 内错角相等 推知 B ECF BAF E 则由 两角法 证得结论 2 利用 1 中的相似三角形的对应边成比例得到 即 所以 CE cm 解答 1 证明 DC AB B ECF BAF E ABF ECF 2 解 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AD 5cm AB 8cm CF 2cm BF 3cm 由 1 知 ABF ECF 即 CE cm 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 等腰梯形的性质 等腰梯形的两腰相等 11 2013 巴中 如图 在平行四边形 ABCD 中 过点 A 作 AE BC 垂足为 E 连接 DE F 为线段 DE 上一点 且 AFE B 1 求证 ADF DEC 2 若 AB 8 AD 6 AF 4 求 AE 的长 考点 相似三角形的判定与性质 勾股定理 平行四边形的性质 3545438 专题 压轴题 分析 1 利用对应两角相等 证明两个三角形相似 ADF DEC 2 利用 ADF DEC 可以求出线段 DE 的长度 然后在在 Rt ADE 中 利用勾股定理求出线段 AE 的长 度 解答 1 证明 ABCD AB CD AD BC C B 180 ADF DEC AFD AFE 180 AFE B AFD C 在 ADF 与 DEC 中 ADF DEC 2 解 ABCD CD AB 8 由 1 知 ADF DEC DE 12 在 Rt ADE 中 由勾股定理得 AE 6 点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质和勾股定理三个知识点 题目难度不大 注 意仔细分析题意 认真计算 避免出错 12 2012 岳阳 如图所示 在 O 中 弦 AB 与弦 AC 交于点 A 弦 CD 与 AB 交于点 F 连接 BC 1 求证 AC2 AB AF 2 若 O 的半径长为 2cm B 60 求图中阴影部分面积 考点 扇形面积的计算 圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 3545438 专题 几何综合题 分析 1 由 利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等 再由一对公共角相等 利用两对对应角相 等的两三角形相似可得出 ACF 与 ABC 相似 根据相似得比例可得证 2 连接 OA OC 利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍 由 B 为 60 求出 AOC 为 120 过 O 作 OE 垂直于 AC 垂足为点 E 由 OA OC 利用三线合一得到 OE 为角平分线 可得出 AOE 为 60 在 Rt AOE 中 由 OA 及 cos60 的值 利用锐角三角函数定义求出 OE 的长 在 Rt AOE 中 利用勾股定理求出 AE 的长 进而求出 AC 的长 由扇形 AOC 的面积 AOC 的面积表示出阴影部分的面积 利用扇形的面积公式及三角 形的面积公式即可求出阴影部分的面积 解答 1 证明 ACD ABC 又 BAC CAF ACF ABC 即 AC2 AB AF 2 解 连接 OA OC 过 O 作 OE AC 垂足为点 E 如图所示 ABC 60 AOC 120 又 OA OC AOE COE 120 60 在 Rt AOE 中 OA 2cm OE OAcos60 1cm AE cm AC 2AE 2cm 则 S阴影 S扇形 OAC S AOC 2 1 cm2 点评 此题考查了扇形面积的求法 涉及的知识有 相似三角形的判定与性质 弧 圆心角及弦之间的关系 等 腰三角形的性质 勾股定理 以及锐角三角函数定义 熟练掌握性质及定理是解本题的关键 14 2012 陕西 如图 正三角形 ABC 的边长为 3 1 如图 正方形 EFPN 的顶点 E F 在边 AB 上 顶点 N 在边 AC 上 在正三角形 ABC 及其内部 以点 A 为位似 中心 作正方形 EFPN 的位似正方形 E F P N 且使正方形 E F P N 的面积最大 不要求写作法 2 求 1 中作出的正方形 E F P N 的边长 3 如图 在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH 使得 DE EF 在边 AB 上 点 P N 分别在边 CB CA 上 求这两个正方形面积和的最大值和最小值 并说明理由 考点 位似变换 等边三角形的性质 勾股定理 正方形的性质 3545438 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 利用位似图形的性质 作出正方形 EFPN 的位似正方形 E F P N 如答图 所示 2 根据正三角形 正方形 直角三角形相关线段之间的关系 利用等式 E F AE BF AB 列方程求得正 方形 E F P N 的边长 3 设正方形 DEMN 正方形 EFPH 的边长分别为 m n m n 求得面积和的表达式为 S m n 2 可见 S 的大小只与 m n 的差有关 当 m n 时 S 取得最小值 当 m 最大而 n 最小时 S 取得最大值 m 最大 n 最小的情形见第 1 2 问 解答 解 1 如图 正方形 E F P N 即为所求 2 设正方形 E F P N 的边长为 x ABC 为正三角形 AE BF x E F AE BF AB x x x 3 x 即 x 3 3