最优捕捞策略.doc

此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除最优捕捞策略 唐春华 吴荣秋 朱平平【摘要】 本文建立了捕捞鳀鱼的优化策略模型，使此资源可持续开发且年收获量最大；并对某渔业公司提出捕捞建议，使总收获量最大。首先，以年为周期从离散的角度入手，利用递推的方法建立了一个初等线性递推模型并得到最优解。其次，考虑到鱼死亡时间的连续性，建立了相应的微分方程和差分方程模型，使得模型更具一般化。接着，我们以递推模型为基础，建立了生产能力约束条件下的捕捞模型。最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并提出了相应的改进方法。【关键词】微分方程 捕捞强度系数 离散 连续一、 一、 问题的重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业）的开发必须适度。一种合理简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 假设某种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。 渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。以及对某承包这种鱼捕捞业务的渔业公司，提出最优捕捞策略。同时提供了一种可再生资源的开发思路与管理模型。二、 二、 问题分析因为通常使用的鱼网只能捕捞3、4龄鱼，所以年收获量（捕捞总重量）是由3、4龄鱼的捕捞条数决定。由于3、4龄鱼的年捕捞量与其各自的条数成正比（比例系数称为捕捞强度系数ki）,同时按照题意要求：实现可持续收获，即每年开始捕捞时渔场中3、4龄鱼各自的条数应该是一个固定不变的量，那末年收获量实质是由捕捞强度系数决定的量，因此可以把本题就转化为约束极值问题。通常情况下，渔业管理以一年为一个周期，则称“捕捞产卵”为一个周期（每年的1到8月“捕捞”，后4月“产卵”），为满足可持续收获这一约束条件，可将问题看作多阶段。又因为上一年产卵成活1龄鱼的多少直接影响这一年2龄鱼的多少，这一年2龄鱼的多少直接影响下一年3龄鱼的多少即各个阶段的各年龄组鱼群的数量存在必然联系，所以依据这些关系，我们可以从“离散”入手建立一系列的方程，然后在此基础上，利用微分方程处理“连续”的情况，逐步求得最优解。三、 三、基本假设和符号说明（一）基本假设1、 1、 鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分布；2、 2、 1龄鱼、2龄鱼可以在一年即一个周期的任意时间内死亡；3、 3、 3龄鱼、4龄鱼死亡时间相对集中，在产卵之后、下一年开始捕获之前；4、 4、 成活的i龄鱼每经过一年即一个周期变为()龄鱼 ，而4龄鱼不变；5、 5、 假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T年初第i+1年龄组的鱼的条数。6、 6、 各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化；7、 7、 只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略；（二）符号说明符号意义说明单位Fi(T)第T年初 i龄鱼的总条数, 未知量条第T年t时间的 i龄鱼的条数, 未知量条S年收获量（年捕捞总量）未知量克捕捞强度系数（i=3,4）未知量r鱼的自然死亡率已知量1/年n平均每条4龄鱼的产卵量已知量个t时间 ，可以取（0，1）区间的任意实数变量年T时间 ，可以取任意自然数变量年四、 四、 模型建立及求解（一） （一） 模型1 首先，我们把整个过程以年为单位离散化来处理，通过假设使得1、2、3龄组的鱼群可能经不同时间成长变化为2、3、4龄组的鱼群，同时使得3、4龄鱼捕获期与产卵期分离且死亡时间集中。对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则， （1-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则 （1-2） 对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则， （1-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则， （1-4）题目要求“实现可持续捕获”，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年的条数，建立等式如下， （1-5）根据题目已知条件，“只能捕获3龄鱼和4龄鱼，捕获强度系数之比为0.42：1”，则 （1-6）由于题目要求在“实现可持续捕获”前提下达到最高的捕获量，且“只能捕获3龄鱼和4龄鱼”，则年收获量等于3、4龄鱼捕获的条数与各自的平均重量乘积的和，建立函数关系为max （1-7）把（1）至（6）式作为约束条件，（7）式作为目标函数，即max s.t （1-1） （1-2） （1-3） （1-4） （1-5） （1-6）根据已知条件：r=0.8，n=1.109105 ,解方程得到： k4=0.97, k3=0.4074，最后3龄鱼的数目约为4龄鱼的8.3868倍，其中3龄鱼的数目为 2.5142109条，4龄鱼的数目为 2.9978108条。（二） （二） 模型2因为3、4龄鱼的死亡时间与1、2龄鱼同样具有不确定性：可以为一年的任意时间点，而模型1是在假定3、4龄鱼的死亡时间在一个确定的时间范围内建立的，所以在模型2中我们重点对模型1的这一部分进行整改。思路为：先考虑第T年（T为一个确定值）内的任意t时刻（ t(0,1) ）3、4龄鱼的条数，然后把T也作为变量，递推出第T+1年的情况。首先，我们假设3、4龄鱼可以在一年的任意时间点死亡，把第T年（这里T为定值）的t时刻3、4龄鱼各自的条数看作t的连续函数。在时间内的变化量，等于它的变化率（假定为）与以及三者的积，由此建立微分方程如下， （2-1）然后，考虑的取值。第一， 由题目已知鱼的自然死亡率 r，则定义（1r）为自然存活率，是的一个因子；第二， 在一定水域范围内所能容纳的各种鱼群总数是有限的（定义为Mi）。根据鱼类饲养知识，Mi与鱼的增长是负相关的，当Ni=Mi时，Ni不再增长，则可以构造作为的一个因子； 第三，因为一年内前8个月存在捕捞情况，而后4个月没有，则应该分段的来处理的取值。前者存在一个因子，而后者没有；第四，由于T一个固定值，所以暂时不考虑（i-1）类鱼的转化为i龄鱼;综上所诉，得到以下微分方程式， ( （2-2） 通过以上微分方程可以求得关于t的连续函数：令为第T年的初始状态， （2-3）将、代入目标函数有：（2-4）st： 下面采用逐步搜索法求解S的最大值及相应的捕捞系数k4, 结果为：，S=357646(吨)（三） （三） 模型3 通过前面的分析可知：从整体上看，各龄鱼的数目在不同年份是一个离散模型。因此，以年为单位把鱼生长期按年龄离散化，可得到一个离散模型： 该式子用来描述第i龄鱼在第T+1年的数目与 第i龄鱼在第T年的数目之间的函数关系，这实际上是一个差分方程。假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T年初第i+1年龄组的鱼的条数。 对于题目中的第二问，要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，可以理解为捕捞5年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续捕捞时鱼群的年龄组成。由于只有3、4龄鱼可产卵繁殖为1龄鱼，且只有3、4龄鱼可被捕捞，所以3、4龄鱼的数量变化对1龄鱼影响最大，即1龄鱼对捕捞策略的贡献最大。因此，只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可。这样，上述离散模型变为： 结合模型1，考虑每年的捕捞强度系数不相同的情况，分别表示第T年的捕捞强度系数，对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则， （3-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则 （3-2）对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则， （3-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则， （3-4）根据前面的分析，要使5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，则只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可。既满足以下关系式： （3-5）根据题目已知条件，“只能捕获3龄鱼和4龄鱼，捕获强度系数之比为0.42：1”，则 （3-6）由于题目要求在“实现可持续捕获”前提下达到最高的捕获量且“只能捕获3龄鱼和4龄鱼”，则年收获量等于3、4龄鱼捕获的条数与各自的平均重量乘积的和，建立函数关系为max （3-7）分别取T=1,2,3,4,5把（1）至（6）式作为约束条件，（7）式作为目标函数，即max s.t T=1,2,3,4,5 （3-1） （3-2） （3-3） （3-4） （3-5） （3-6）根据已知条件：r=0.8，n=1.109105 , ，该模型的结果如下：4龄鱼的捕捞强度系数1.001.000.700.100.10其中每年的收获量3.7410112.4710111.8610113.0210102.851010其中，各鱼群的数量分别为：1.21801011 2.43601010 4.8719109 1.1380109五、 五、 模型的检验 模型1、2分别从离散、连续两个角度来建立模型的。从模型建立的方法上看：模型1离实际情况比较远，是在相当理想的状态下建立的；模型2考虑得较为复杂，考虑；到在实际中鱼类的死亡，是不可能在一个比较集中的时间的，考虑了在实际中鱼的死亡是一个渐渐的过程，这样在时间是一个连续的过程，我们运用了微分方程、差分方程等知识，而且把很多比较实际的因素考虑在内，因此，相比较而言，模型2更具有普遍意义。通过计算，我们得到两个模型的计算结果近似相等，由此判断出两个模型都具有一定的可行性。对于第三个模型主要是解决第二个问题的六、 六、 模型的评议、改进 （一 ）连续模型的离散化问题本模型是从渔业生产中“捕捞产卵”各个周期的变化情况入手，逐步深入进行分析，通过两个模型求得在实现可持续生产前提下的捕捞量最大，并对某渔业公司提出了捕捞策略，满足了题目要求。对于本文所建立的连续的微分方程模型，当考虑多年情况下，各年龄鱼群的转换关系时，应当以年为单位将其离散化，这样才符合鱼群捕捞和繁殖的季节性。具体处理方法为：令T为变量，而t为某固定值，把鱼生长期按年龄离散化，可得到一个离散模型： 该式子用来描述第i龄鱼在第T+1年的数目与 第i龄鱼在第T年的数目之间的函数关系，这实际上是一个差分方程。我们采用莱斯利模型来反映这种函数关系，即： 其中L为莱斯利矩阵，它用来反映鱼的生育率与存活率对第i龄鱼的数目的变化情况。根据题意可确定L为： L= （为i龄鱼的繁殖率，即平均每条i龄鱼在一年内繁殖的鱼数，为i龄鱼的鱼的存活率，即i龄鱼经过一年后到i+1龄鱼的数目与原鱼数之比。 由于时间有限，对于该模型我们只是提供了一个思路，具体方法可参照莱斯利人口模型。（二）对鱼群增长模式的考虑在渔业上，鱼群的增长一般有三种模式：纯补偿型、补偿失调型、极端补偿失调型。这三种模式如下图：（横轴表示一定时间鱼群的数目，纵轴表示鱼群相应的变化情况） 1、纯补偿型2、补偿失调型3、极端补偿失调型。本文所建立的模型都是纯补偿型的鱼群增长模式，也是最简单的一种。但对于其它两种模式考虑比较复杂。但这种考虑是完全有必要的，因为如果只按纯补偿型来考虑，则会出现鱼群在较短时间内全部灭绝，这显然是不合理的。（三）对实际鱼群捕捞问题的考虑 实际的捕捞问题远远比本题复杂的多，但很多因素在实际的鱼业资源管理上且极为重要。如经济上的利润与税收问题，鱼的捕捞成本与鱼的价格问题，捕捞行为所产生的资金与贴现问题，垄断与竞争问题，多种鱼群的捕捞问题等。对于这些问题还可做很多工作。（四）对其它问题的考虑本题是在没有考虑饲养技术、不同网眼下的捕捞强度、环境变化等重要因素的影响，使得模型存在一定的局限性，在推广过程中我们可以考虑从以下几个方面进行整改：1、 1、 此渔业公司可以采用一些技术措施如提高饲料质量、管理员的素质等，使该种鱼的平均体重增加，从而在总捕捞量不变的前提下提高总产量；由于采用技术会提高饲养成本，则可以对目标函数进行修改，求解最佳方案；2、 2、 在考虑不同网眼的捕捞强度时，可以通过一系列的转化，使能够用13mm网眼的捕捞强度表示；3、 3、 环境因素可以考虑构造一个类似于模型2中的复合变量，作为变化率的系数；4、 4、 参考文献1、徐全智等 数学建模入门 四川 电子科技大学出版社 1996年2、寿纪麟 数学建模方法与范例 西安 西安交通大学出版社 1993年3、李本亭 鯷鱼 海洋世界 1997年第1期 附录一1、b=0 0 0 0 0;k=0 0 0 0 0;sss=0;for i=1:10 k(1)=i/10; for j=1:10 k(2)=j/10; for g=1:10 k(3)=g/10; for l=1:10 k(4)=l/10; for m=1:10 k(5)=m/10; if (f4(k)sss) b=k;sss=f5(k); end end end end endUnit 3endrespond vi. 回答；响应；做出反应bsss2、n1=122*109;n2=29.7*109;n3=10.1*109;n4=3.29*109;s=0;k=0.01;ss=1015;male adj. 男性的；雄性的while (ss1011) k=k+0.01;s=0;movement n. 移动；运动；动作 for i=1:5lose sight of 看不见 s=s+f2(n3,k)*17.86+f2(n4,k)*22.99;axe n. 斧；斧子 a=n1;b=n2;c=n3;d=n4;album n. 相册；集邮册；唱片 n1=(f1(c,0.42*k)*55450+f1(d,k)*110900)*1.22*1011/(f1(c,0.42*k)*55450+f1(d,k)*110900+1.22*1011);perspective n. 透视画法；透视图； n2=f1(a,0); n3=f1(b,0);seal n. 海豹；封条；印章 n4=f1(c,0.42*k)+f1(d,k); endss=(n1-122*109)2+(n2-29.7*109)2+(n3-10.1*109)2+(n4-3.29*109)2;idiom n. 习语；成语ends3、function y=a(k)n3=0;n4=0;s1=0.1;s2=0.1;y=0;while (s10.001)&(s20.001) a=n3;b=n4; n3=(n3-0.42*k)*55450*1.22*1011/(n3*(1-0.42*k)*55450+1.22*1011)+(n4*(1-k)*110900*1.22*1011/(n4*(1-k)*110900+1.22*1011)/125; n4=(n3*(1-0.42*k)+n4*(1-k)/5; s1=abs(n3-a);s2=abs(n4-b);endy=n3*0.42*k*17.86+n4*k*22.99;n3n44、s=109;bi=0;for i=1:100 k=i/100; if abs(fish_prob(k)-s)s s=fish_prob(k);bi=k; endendbisfunction y=a(k)n1=122*109;n2=29.7*109;n3=10.1*109