高中数学难题.doc

1.已知函数f(x)=(4x+k2x+1)/(4x+2x+1) （1）若对任意的xR，f(x)0恒成立，求实数k的取值范围（2）若f(x)的最小值为-3，求实数k的值（3）若对任意实数x1,x2,x3，均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边边长的三角形，求实数k的取值范围。1. 可设2x=t t0 则令f（x）0对于x为R成立即为一个二次函数实根分布问题有k大于-2按第一小题的思路可化简f（t）=1+（k-1）/（t+1/t+1）用基本不等式可解出最值，再把-3带入可得k=-11 题意即为f（x）最大值与最小值 min min max可组成三角形（1）f（x）=（4x+k2x+1）/（4x+2x+1） ）=（4x+（k-1）2x+2x+1）/（4x+2x+1）=1+【（k-1）2x/（4x+2x+1）】 =1+【（k-1）/（2x+1+2（-x）】0所以（k-1）/（2x+1+2（-x）-1；k-（2x+2（-x），且2x+2（-x）=2（因为2x0且2（-x）0），当且仅当2x=2（-x）是取得等号所以k-2（2）f（x）=（4x+k2x+1）/（4x+2x+1） ）=1+【（k-1）2x/（4x+2x+1）】=1+【（k-1）/（2x+1+2（-x）】k1时，令分母（2x+1+2（-x）最大时，f（x）最小，但（2x+1+2（-x）最大为无穷，不合题意；k1时，令分母（2x+1+2（-x）最小时，f（x）最小，所以分母应为3，可得1+【（k-1）/3】=-3所以k=-11（3）由题意f（x1）-f（x3）f（x2）f（x1）+f（x3）且f（x1），f（x2），f（x3）均大于零；f（x1）-f（x3）的最大值为f（x）max-f（x）min；f（x1）+f（x3）的最小值为2f（x）min；于是得f（x）max-f（x）minf（x）2f（x）min；f（x）max-f（x）min=f（x）min；f（x）max=2f（x）min；由于f（x）0，故，f（x）min一定存在，故f（x）max一定存在；故1+【（k-1）/（2x+1+2（-x）】存在最大值，故k=1，此时f（x）max=1+（k-1）/3；f（x）min=1（因为分母2x+1+2（-x）可取无穷大，故f（x）在x趋于无穷大时，趋于1）于是，1+（k-1）/3=2，即k=4又因为已经知道k=1所以1=k=4已知函数f（x）=（4x+k2x+1）/（4x+2x+1） （1）若对任意的xR，f（x）0恒成立，求实数k的取值范围（2）若f（x）的最小值为-3，求实数k的值（3）若对任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，求实数k的取值范围2. f的任意3个函数值为边可构成三角形，即任意两个函数值h（t1），h（t2）之和会大于第三个函数 值h（t3），则只要满足2h（t）minh（t）max即可1）.k-10时，h（t）增函数，h（t）min=h（tmin）=h（2）=1+（k-1）/3；当t时，h（t）max趋近于但小于Lim h（t） =1，因为（k-1）/（t+1）0恒成立；则，1+（k-1）/3=1/2Lim h（t）=1/2， 得k=-1/2；加上前提条件k1，则-1/2k12）.k-1=0时，h（t）=1恒成立，构成等边三角形3）.k-10时，h（t）减函数，则h（t）max=h（tmin）=h（2）=1+（k-1）/3；当t时，h（t）min趋近于但大于Lim h（t） =1，因为（k-1）/（t+1）0恒成立；2h（t）minh（t）max，即2Lim h（t）=h（t）max，2=1+（k-1）/3，则k=4；加上前提条件则1k=4综上所述，-1/2k=41）令t=2x0，则f=（t2+kt+1）/（t2+t+1）=（t+k/2）2+1-k2/4/（t2+t+1）因为分母t2+t+10+0+1=1，故分子需恒大于0，k=0时显然成立k0时，因为t0， 分子的最小值为当t=-k/2时取得，为1-k2/40， 故有-2k0综合得：k-22） 同1），t2+kt+1=ft2+ft+f（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0delta=（f-k）2-4（f-1）2=（2f-k-1）（1-k）=0，f有最小值，则有f=（k+1）/2， 1-k0故有（k+1）/2=3， 得：k=53）依题意，表明f（x）恒大于0，且其最大值M小于最小值m的2倍由1）k-2，由2）f=（k+1）/2同时，（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0的两根积=1， 因此两根须都为正根故两根和=-（f-k）/（f-1）0， 得：k1时，1fk； 此时m=（k+1）/2， M=k， 得：M2m， 符合-2k1时，kf1； 此时m=（k+1）/2， M=1， 得：M2m，符合k=1时，f（x）=1， 也符合综合得：k-21）令t=2x0，则f=（t2+kt+1）/（t2+t+1）=（t+k/2）2+1-k2/4/（t2+t+1）因为分母t2+t+10+0+1=1，故分子需恒大于0，k=0时显然成立k0时，因为t0， 分子的最小值为当t=-k/2时取得，为1-k2/40， 故有-2k0综合得：k-22） 同1），t2+kt+1=ft2+ft+f（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0delta=（f-k）2-4（f-1）2=（2f-k-1）（1-k）=0，f有最小值，则有f=（k+1）/2， 1-k0故有（k+1）/2=3， 得：k=53）依题意，表明f（x）恒大于0，且其最大值M小于最小值m的2倍由1）k-2，由2）f=（k+1）/2同时，（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0的两根积=1， 因此两根须都为正根故两根和=-（f-k）/（f-1）0， 得：k1时，1fk； 此时m=（k+1）/2， M=k， 得：M2m， 符合-2k1时，kf1； 此时m=（k+1）/2， M=1， 得：M2m，符合k=1时，f（x）=1， 也符合综合得：k-22.设外接圆半径为R，则：(cosB/sinC)*向量AB+(cosC/sinB)*向量AC=2m*向量AO可化为：(cosB/sinC)*(向量OB-向量OA)+(cosC/sinB)*(向量OC-OA)=-2m*向量OA （*）易知向量OB与OA的夹角为2C，向量OC与OA的夹角为2B，向量OA与OA的夹角为0，|向量OA|=|向量OB|向量OC|=R则对(*)式左右分别与向量OA作数量积，可得：(cosB/sinC)*(向量OB*向量OA向量OA*向量OA)+(cosC/sinB)*(向量OC*向量OA向量OA*向量OA)=2m*(向量OA*向量OA)即(cosB/sinC)*R2(cos2C -1)+(cosC/sinB)*R2(cos2B -1)=-2m*R22sin2C*cosB/sinC +2sin2B*cosC/sinB=2msinC*cosB+sinB*cosC=msin(B+C)=m因为sinAsin-(B+C)=sin(B+C)且A=所以m=sinA=sin已知函数设f(x)=1+x-(x2)/2+(x3)/3-(x4)/4+.+(x2011)/2011已知函数f(x)=1+x-(x2)/2+(x3)/3-(x4)/4+.+(x2011)/2011,g(x)=1-x+(x2)/2-(x3)/3+(x4)/4-.-(x2011)/2011,设F(x)=f(x+3)*g(x-3),且函数F(x)的零点均在区间a,b(a0，若x不等于-1，则f(x)=(1+x2011)/(1+x)0，所以f(x)在R上单调递增，f(-1)=-1/2-1/3-.-1/20110，所以f(x)=0有唯一实数解，解在区间(-1，0)上，所以f(x+3)=0的解在(-4，-3)上g(x)=-1+x-x2+x3-.-x2010=-f(x)0，f(2)=-1+(22/2-23/3)+(24/4-25/5)+.(22010/2010-22011/2011) 注意到n=2时，2n/n-2(n+1)/(n+1)=(1-n)*2n/(n*(n+1)0，故而f(2)0 从而g(x)有唯一实数解，解在区间(1，2)上，故g(x-3)的实数解在(4,5)上综合上面的 f(x+3)*g(x-3)=0的解在(-4，-3)并上(4，5)上 由于a,b为整数，故b-a最小时a=-4，b=5，b-a最小值为91.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA，（）求点P的轨迹C的方程；（）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足SPQA=2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。解：（）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由得，整理得轨迹C的方程为（且）。（）设，由可知直线PQOA，则，故，即，由O、M、P三点共线可知，与共线，由（）知，故，同理，由与共线，即，由（）知，故，将代入上式得，整理得，由得，由，得到，因为PQOA，所以，由，得，P的坐标为（1，1）。例5、已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，（）若函数（x）= f（x）-，求函数（x）的单调区间；（）设直线l为函数的图象上一点A（x0，f（x0）处的切线证明：在区间（1，+）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切。解：（），且，函数的单调递增区间为（0，1）和（1，+）。（），切线l的方程为，即， 设直线l与曲线y=g（x）相切于点，直线l也为， 即，由得，下证：在区间（1，+）上存在且唯一，由（）可知，在区间（1，+）上递增，又，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一；故结论成立。4、对于函数y=f（x），如果存在区间m，n，同时满足下列条件：f（x）在m，n内是单调的；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n则称m，n是该函数的“和谐区间”若函数f（x）= a+1a - 1x (a0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（ 12 ， 52 ）D（1，3）由题意可得函数f（x）= a+1a - 1x (a0)在区间m，n是单调的，所以m，n（-，0）或m，n（0，+），则f（m）=m，f（n）=n，故m、n是方程 a+1a - 1x =x的两个同号的实数根，即方程ax2-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn= aa =10，故只需=（a+1）2-4a20，解得- 13 a1，结合a0，可得0a1故选A5、对于区间m，n上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意xm，n均有|f（x）g（x）|1，则称f（x）与g（x）在m，n上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在m，n上是非接近的现有两个函数f1（x）=loga（x3a）与（a0且a1），f1（x）与f2（x）在给定区间a+2，a+3上都有意义，（1）求a的取值范围；（2）问f1（x）与f2（x）在给定区间a+2，a+3上是否为接近的？请说明理由 解：（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有要使f1（x）与f2（x）在给定区间a+2，a+3上都有意义，等价于：所以0a1（2）f1（x）与f2（x）在给定区间a+2，a+3上是接近的，对于任意xa+2，a+3恒成立设h（x）=（x2a）2a2，xa+2，a+3，且其对称轴x=2a2在区间a+2，a+3的左边所以，当时，f1（x）与f2（x）在给定区间a+2，a+3上是接近的；当时，f1（x）与f2（x）在给定区间a+2，a+3上是非接近的7 已知曲线E：x2=4y，过F(0,1）作两条互相垂直的直线分别交曲线于A,B,C,D四点，设弦AB,CD的中点分别为M,N解：由题意，可设直线AB和CD的解析式为：y=kx+1,y=-1/kx+1，点M、N的坐标分别为(xm,ym),(xn,yn)将y=kx+1,y=-1/kx+1分别代入x=4y得：x-4kx-4=0和x+4/kx-4=0，由根与系数关系得xm=2k,ym=2k+1；xn=-2/k,yn=2/k+1则M(2k,2k+1)，N(-2