现代数学与中学数学应用1.doc

撰写有关现代数学在中学数学教学中的应用论文一篇字数不少于2000字现代数学思想在中学数学教学中的应用本文介绍了现代数学思想方法的概念、起源、发展及其重要性，并阐述了中学数学教学的现状及发展趋势，说明了用现代数学思想方法在中学数学教学中的三个阶段，即模糊阶段、清晰形成阶段以及掌握应用阶段。并以二项式定理的教学为例介绍了用现代数学思想方法在这三个阶段中的具体实施步骤。现代数学思想方法的渗透能够更全面地培养学生的数学能力、创造能力、思维品质和科学观念。使学生从本质上把握公式的意义并能熟练应用于习题中去，从而真正地提高学生的逻辑思维能力。关键词：现代数学思想 中学数学教学 逻辑思维 教学方法一现代数学思想方法概述当今的时代是科学飞速发展，新技术迅猛增长的时代，是知识爆炸，信息高速发达的时代。现代社会的发展对人才智能提出了更高的要求，也引起了数学教学的任务和性质的根本变革。当前，更新旧的教学观念和教学思想，改进旧的教学方法，促进数学的学习和人才的成长已成为数学教学改革的重要任务。因此，加强对数学思想方法教学的研究具有极大地指导和推动作用。1.数学思想方法的含义从教学角度来看，数学知识不仅仅指它所包含的数学内容，如概念、定理、公式、法则等等，还包括由这些内容所反映出来的数学思想方法。数学思想是人脑对数学对象的本质属性与内在联系的问题概括，间接的反映过程。数学方法是进行科学抽象的一种方法，它运用数学概念、符号、公式、理论对所研究的对象进行量与结构的分析，并对其结果进行判断，以便从量与形及其之间关系上去认识研究对象的运动变化规律。数学思想和数学方法都是人类思维的结晶，都以一定的原型具体的问题、范例或活动过程作为形成与发展的背景。相比较而言，数学思想更具有普适性与可创造性，其理论的味道更浓一些；数学方法则表现出更多的可操作性与程序性，实践的味道更浓一些。数学方法经常表现为实现某种数学思想的手段；对于方法的有意识选择，往往体现出对于某种数学思想的自觉运用与深度理解。数学思想方法是人们对数学深刻理解的反映，它直接支配着数学的实践活动。任何数学事实的理解，数学概念的掌握，数学方法的运用，数学理论的建立，无一不是数学思想方法的体现与运用。因此可以说，数学思想方法是对数学概念、方法和理论的本质认识。数学思想方法是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动力。2现代数学思想方法的起源与发展数学是一种古老而又年轻的文化，数学教学则是延续人类数学文化的社会活动。和语文一样，数学也是学校的主课，而且每次教学革命多是从数学开始的，可见数学是极其重要的。就“纯粹数学”而言，数学有其严格的定义和特征：数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学；它具有抽象性、严谨性、广泛应用性等特点。数学的抽象性源于数学的研究对象是形式化的思想材料，数学的严谨性是数学成为相对精确科学的标志，数学的广泛应用性是数学不断发展的动力与源泉。然而，现代数学思想则是数学的本质与灵魂。从19世纪20年代到现在，是近代和现代数学时期。在此期间，数学各分支都达到了比较完善的程度，数学的研究对象发生了重大变化，向着更加一般化、抽象化和多样化的方向发展。出现了许多具有划时代意义的数学思想方法。例如，俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼从否定欧氏几何第五公设出发，分别创立了“罗氏几何”与“黎氏几何”，导致了现代公理化方法的诞生；法国数学家伽罗华从全新的观念出发引入了“群”的概念，创立了群论的思想方法。非欧几何与群论的出现，是数学史上具有划时代意义的事件，也是数学思想方法发展到新阶段的里程碑。然而，由于历史的原因，在数学教学实践中，过分强调数学的抽象性使得很多学生认为数学难学；过分强调数学的严谨性使生动活泼的数学思想淹没在形式演绎的海洋里；对数学的应用性重视不够，使数学变成了解题、考试的工具等现象在中学数学教学中依然普遍存在。这严重影响了数学思想方法的发展，因此，改变公众的数学观念，加强现代数学思想方法的教学已是使人类正确认识数学的本质和推动数学思想方法发展的当务之急。正由于这样，现代数学思想方法在中学数学教学中的地位越来越突出，目前，数学方法论已成为中小学新课程中十分重要的教学内容。如今，中学数学教学在很多方面尚有待于进一步研究与完善，在这里，仅从现代数学思想方法在中学数学教学中的作用为切入点，阐述对中学数学教学的认识与理解。3.现代数学思想方法教学的意义纵观数学发展的历史可以清楚地看到，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及方法的创新有关。因此，掌握数学思想方法并努力开拓新的数学思想方法是数学创造的巨大动力。正是在这个意义上，研究现代数学思想方法在中学数学教学中的应用对促进数学的发展具有重大意义。恩格斯指出，数学是“研究思想事物”的科学，数学的研究对象是一种抽象的思维创造物。人们正是在这个抽象的数学王国中不断地研究和发现数学结构内部的固有联系和规律，揭示数学的知识和方法。数学的思想方法提供了思维活动的路线、程序和方式，具有“训练思维的体操”的作用，因此，加强数学思想方法的学习与研究对于发挥数学的思维功能大有裨益。掌握数学思想方法的基本知识，不仅有助于加深对数学知识的理解，而且有助于掌握数学理论和数学方法的精神实质，从而提高分析和解决实际问题的能力。另外，人们对数学思想方法的不断研究和改革，为在数学教学中全面培养学生的数学能力奠定了基础，因此，研究数学思想方法的教学对于促进数学的学习是大有裨益的。二中学数学教学的发展在国内外的数学教育领域中，中学数学教学改革始终在进行着。作为未来的中学数学教师，系统地了解中学数学教学的现状和今后发展的趋势，有助于加深对教学目的和教学内容的理解。1.中学数学教学的现状千百年来传统的教学以“传道，授业，解惑”为根本宗旨，以传授作为教学的根本目标，这种陈旧的教学思想是在一代代旧的教学观念和教学模式的相继沿袭中形成的，又由于历史的积累和相互的联系而变得相当稳固。在当前的数学教学中，传统的教学思想仍然有许多表现：第一，重教轻学，教学活动以教师为中心，不研究学生的学习规律；第二，重知识轻能力，片面强调知识教学，单纯追求升学率，忽视学生能力特别是创造能力的培养；第三，重结果轻过程，数学教学停留在数学结果的教学上，不注意体现知识的发生过程，不注重揭示蕴含在知识中的数学思想和数学方法；第四，重智力因素，轻非智力因素，教学中忽视非智力因素对学习活动的定向、激励、强化、教育等作用，以致造成学生数学学习兴趣下降，缺乏顽强的毅力和勤奋踏实的作风等问题，影响了学生德智体美劳的全面发展。现代数学论认为，中学数学教学的任务是“形成和发展学生具有思维特点的智力活动结构”，也就是说，现代中学数学教学不仅要向学生传授知识，而且要培养数学能力，特别是发展他们的逻辑思维能力。我国中学数学教学改革要吸收国际的经验，同时，必须从自己的实际情况出发。我国的方块字中存在着许多几何图形，小学中乘法的口诀等都蕴含了丰富的数学思想，我国的中学数学教学是一种在儒家文化下的数学教学，在这种社会背景下，形成了自己独特的一种考试文化，因此，在吸收国际数学教学改革的有益经验的同时，还要充分考虑我国的文化特点，对于构建具有时代特色和中国特色的数学教学体系是非常重要的。2.中学数学教学的发展趋势我国中学数学新课程标准指出：“（数学的）内容思想和方法在自然科学和社会科学的学习、研究与应用中都有重大的作用”，“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、公式、定理、数学的思想与方法等）”。在数学概念、命题、问题解决等各种数学活动中，通过充分展示概念形成，命题发现，思路探求，问题解决的思维过程，提炼出数学的思想方法，揭示数学发现和发展的规律，不仅有利于加强基础知识的教学和基本技能的训练，而且可以培养学生分析和解决实际问题的数学能力，促进他们思维能力的不断提高。由此可见，善于提炼数学的思想方法，在教学中揭示数学思维活动过程，既是现代数学教学的要求，又是数学教学的艺术。而深刻地理解和正确地分析数学思维过程，善于把握数学的思想与方法则是中学数学教师的基本功。理解数学的本质和规律，理解数学的思维过程和思想方法，从而改善数学教师的业务素质和知识结构，提高其驾驭教材的能力。正是在这个意义上，研究现代数学思想方法在中学数学教学中的应用对于更新教学思想和促进中学数学教学的改革具有深刻的现实意义。教学的根本目的在于提高民族的素质。中学数学教学应努力实现“数学为大众”，使教学中的数学成为“大众数学”。“大众数学”能够更全面地培养学生的数学能力。“大众数学”意义下的数学能力的培养不再仅仅局限于三大数学能力，而会更多地注重多种数学能力的培养，强调数学运用意识、数学观念和数学创造能力的培养。“大众数学”下的数学教学更加重视学生数学素质和数学修养以及道德品质的培养，“大众数学”下的数学教学能更有效地培养学生坚韧与自信、宽容与理解、正直与忠诚的意志品质。三.数学思想方法的学习过程数学思想方法的学习过程大致分为：数学思想方法学习的模糊阶段； 数学思想方法学习的清晰形成阶段； 数学思想方法学习的掌握应用阶段。1.数学思想方法学习的模糊阶段 在这个阶段，学生往往只注意了具体数学知识的学习，注意了具体知识的增长，而未必注意到联结这些知识的数学思想以及由此产生的解决问题的数学方法。即使有所意识，这种意识也只是模糊、不清晰的。例如，学生在学习了“集合”部分的一道课本例题：写出集合a，b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。之后，教师要求学生把题中的条件“二元集a，b”改成“三元集a，b，c”，问题不变。学生完成了改编题后，教师要学生猜一猜：一个n元集的所有子集的个数？所有真子集的个数？在这个学习过程中，学生一记住了：一个n元集的所有子集是2n个，所有真子集是2n一1个，而对这个过程所隐含的数学思想方法“归纳性猜想”，没有什么领会。2. 数学思想方法学习的清晰形成阶段学生在循序渐进的具体数学知识学习过程中，数学思想方法学习从模糊阶段逐渐过渡到清晰阶段，即学生对数学思想方法的认识己经明朗，开始理解具体知识的发生、应用过程中所体现的数学思想及方法策略，并能在教师的有意识的渗透介绍下，概括、总结、形成相应的数学思想方法。例如，学生在学习“数列”一章的第一节内容时，这节课的难点是观察数列的前几项归纳出数列的通项公式，比如：写出下面数列的一个通项公式： 3，33，333，3333，33333，。他们在做这种题型时，一般这样考虑：先观察前几项的特征（当前几项的特征不明显或难以用数学符号表达时，需对前几项进行变形），找出它们的共同规律，归纳猜想出数列的通项公式，并给求出的通项公式中的n赋特殊值来验证公式的正确性。 学生在做了大量的题型之后，对归纳性猜想思想方法清晰了。此时教师应抓住时机帮助学生形成归纳性猜想思想方法：（1）理解归纳性猜想思想方法的含义。研究一般性问题时，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳猜想出一般情况的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳性猜想思想方法。归纳猜想是探索问题、发现数学定理(或公式)的重要思想方法之一。特殊化与一般化构成了整个归纳过程的基础。具体地说，归纳本身显然是一个一般化的过程：另外我们又应通过进一步考察其他的特例(这是一个特殊化过程)去对经一般化所得出的猜想进行检验或改进。（2）初步掌握归纳性猜想思想方法的操作步骤。首先，观察几个简单的、个别的、特殊的情况的相似性；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般情况(结论、定理或公式)；最后我们又应对所得出的一般情况进行检验，即应进一步考察其他的特例，如果在所有考察过的例子里，这一猜测都是正确的，我们对它的信心就增强了，而如果出现了不正确的情况，我们就应对原来的猜测进行改进。（3）了解归纳性猜想思想方法的使用范围和局限性。一般与自然数n有关的命题可使用该方法；用归纳性猜想思想方法得出的结论未必都是正确的，只有经过严格证明的结论才是正确的。3.数学思想方法学习的掌握应用阶段数学思想方法学习的进一步的要求是深入理解与应用。这就要求学生能依据题意，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题解决。在这个阶段我们结合实例论述“归纳性猜想思想方法”的学习。在教学“数列求和”时，教师让学生猜想： 学生在前一阶段己对归纳性猜想思想方法进行概括总结，于是他们有以下的解题思路：由实际计算可以得到： =1 =9 =36 =100 =225对上述结果进行观察、比较，容易发现这样的共同点：它们都是某个自然数的平方，即： =1 =9 =36 =100 =225由此，就得到了如下的初步猜想：=某一个自然数的平方为了得出更为明确的结论，应对这些平方数的底数(l，3，6，10，15)作进一步的分析.经过试算，发现在这些底数之间存在着如下规律：1 = 13 =l + 26 = l + 2 + 310 = l+ 2+ 3 + 415 = 1 + 2+ 3+ 4 + 5由此，就获得了一个更为明确的结论：=( 1 + 2+ 3+ 4 + 5 + + n)2，而1 + 2+ 3+ 4 + 5 + = 所以 = 至此，学生已经能够灵活应用归纳性猜想思想方法了。四.数学思想方法在二项式定理教学中的应用以上介绍了现代数学思想方法在学习中的三个阶段，在这里我们以二项式定理的具体教学过程为例介绍在这三个阶段中如何进行教学。1.二项式定理在模糊阶段的教学过程在学习二项式定理时，学生开始对这个定理非常陌生，老师应该先从学过的知识入手，给出初中已学过的完全平方公式，把写成的形式，利用多项式与多项式的乘法以及组合问题将其展开，用同样的数学思想方法让学生自己得出二项式的展开式。的展开式可以看作是第一个括号里的一个字母、与第二个括号里的一个字母、相乘得到的所有项组成的，分别相乘得出项。这几项当中的次数有0次，1次，2次，于是我们把它们分成三种情况，即项，相当于从两个括号里分别选出了0个，1个和2个。当从这两个括号里选0个时，其实就是两个括号里都选了，由组合问题知共有1种情况，故这一项为 ；当从这两个括号里选1个时，其实就是从两个括号里分别选出了1个和1个，由组合问题知共有2种情况，故这一项为；当从这两个括号里选2个时，其实就是两个括号里都选了，共有1种情况，故这一项为。故完全平方公式就可以写成：用同样的数学思想方法让学生自己展开，以此类推，同学们很容易得出二项式定理的展开公式： 此时学生还处于数学思想方法学习的模糊阶段，故应给出较简单的题让他们练习进行熟悉，巩固。例如： 展开 ； 求 的展开式中的倒数第四项； 求 的展开式中 的系数。通过这些题目的训练，学生便从数学思想方法学习的模糊阶段进入清晰形成阶段。2.二项式定理在清晰形成阶段的教学过程在学生充分掌握了二项展开式之后，指出什么是二项式系数，进而介绍二项式的一些性质，如二项式系数之和为多少，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和有什么关系。给出 让学生利用在模糊阶段中学习的方法将其展开，得出让学生观察思考二项式系数的和 应为多少？学生很快会得出：如果上面展开式中的 ，等式右边就是 ，左边是 ，便得出结论 = ，即二项式系数之和为 。那么奇数项与偶数项的二项式系数之和又有什么关系呢？利用以上求二项式系数之和的方法，同学们也很容易得出：如果上面展开式中的 ，等式右边就是 ，左边就是0，将式中右边的偶数项的二项式系数移到左边，得到：从而得出结论：奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和。在学生充分地理解了什么是二项式系数，什么是系数，以及它们之间的区别和二项式系数和的性质之后，给出如下练习题： 的展开式中 的系数为_; 的展开式中的常数项为_;各项系数之和为_;二项式系数之和为_; 的展开式的第四项的二项系数是_,第四项系数是_;经过训练，学生已对二项式有了清晰的认识，对简单的题目已能轻松的完成，基本上已经熟练地掌握了二项式中的基本数学思想方法。接下来将进入数学思想方法学习的第三个阶段，即掌握应用阶段。3.二项式定理在掌握应用阶段的教学过程在此阶段，老师就应该让学生练习难度较大的题目，如： 展开式中的常数项为_; 的展开式中 的系数为_; 的展开式中常数项为_; 已知 =1+10 ，则 _; = 则 的值为_.通过这些难度较大的练习题的训练，学生就会对二项式有了更深更牢固的掌握，并能熟练的运用。4.教学过程中应注意的问题布鲁纳说过，掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。数学中含有丰富的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难