高中数学第一章推理与证明章末综合测评北师大版选修.docx

(一)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是() A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，归纳出所有三角形的内角和都是180C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.B.C.D.【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2y2r2的面积r2，猜出椭圆1的面积SabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是() A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设，应将5k12k1变形为()A.(5k2k)45k2kB.5(5k2k)32kC.(52)(5k2k)D.2(5k2k)35k【解析】5k12k15k52k25k52k52k52k25(5k2k)32k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n_时等式成立.()A.k1B.k2C.2k2D.2(k2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，nk(k2且k为偶数)的下一个偶数为nk2，故选B.【答案】B7.(2016昌平模拟)已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b4b5b6b7b8b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()A.a1a2a3a929B.a1a2a3a929C.a1a2a3a929D.a1a2a3a929【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1a2a929.【答案】D8.(2016北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以和的情况一样多，和的情况完全随机.和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】B9.在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n0，则lg ；(2)22.【证明】(1)当a，b0时，有，lglg，lg lg ab.(2)要证22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230cos260sin 30cos 60，sin220cos250sin 20cos 50，sin215cos245sin 15cos 45.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2sin sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.19.(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.(1)求证：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】(1)证明：因为PMBB1，PNBB1，又PMPNP，所以BB1平面PMN，所以BB1MN.又CC1BB1，所以CC1MN.(2)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABBAS2BCCBS2ACCA2SBCCBSACCAcos .其中为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角.证明如下：因为CC1平面PMN，所以上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中，因为PM2PN2MN22PNMNcosMNP，所以PM2CCPN2CCMN2CC2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP，由于S BCCBPNCC1，S ACCAMNCC1，S ABBAPMBB1PMCC1，所以S2 ABBAS2 BCCBS2 ACCA2S BCCBS ACCAcos .20.(本小题满分12分)(2014江苏高考)如图4，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：图4(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.21.(本小题满分12分)在数列an中，a11，a2，且an1(n2).(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；(2)设bn， 求证：对任意的nN，都有b1b2bn. 【解】(1)容易求得：a3，a4.故可以猜想an，nN.下面利用数学归纳法加以证明：显然当n1，2，3，4时，结论成立，假设当nk(k4，kN)时，结论也成立，即ak.那么当nk1时，由题设与归纳假设可知：ak1.即当nk1时，结论也成立，综上，对任意nN，an成立.(2)证明：bn()，所以b1b2bn(1)()()()(1)，所以只需要证明(1)13n13n2102(显然成立)，所以对任意的nN，都有b1b2bn.22.(本小题满分12分)(2016江苏高考)记U1，2，100，对数列an(nN)和U的子集T，若T，定义ST0；若Tt1，t2，tk，定义STat1at2atk.例如：T1，3，66时，STa1a3a66.现设an(nN)是公比为3的等比数列，且当T2，4时，ST30.(1)求数列an的通项公式； (2)对任意正整数k(1k100)，若T1，2，k，求证：ST0，nN，所以STa1a2ak133k1(3k1)3k.因此，STak1.(3)证明：下面分三种情况证明.若D是C的子集，则SCSCDSCSDSDSD2SD.若C是D的子集，则SCSCDSCSC2SC2SD.若D不是C的子集，且C不是D的子集.令ECUD，FDUC，则