第一章-集合与充要条件.ppt

第一章集合与充要条件 第一节集合及其概念第二节集合的基本运算第三节充要条件 考试要求 知识解读 实操演练 巩固练习 知识解读 实操演练 巩固练习 知识解读 实操演练 巩固练习 1 理解集合 元素及其关系 理解空集的概念 考试要求 2 掌握集合的表示法及子集 真子集 相等之间的关系 3 理解交集 并集和补集等运算 4 了解充要条件的含义 知识解读 实操演练 巩固练习 第一节集合及其概念 一 集合的有关概念 一 含义 把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合 知识解读 构成集合的每个对象叫做集合的元素 一般用大写字母表示集合 用小写字母表示元素 集合中的元素具有确定性 互异性 无序性三个特征 二 元素与集合的关系 若是集合的元素 就说属于 记作 若不是集合的元素 就说不属于 记作 三 表示法 把集合的元素一一列举出来 并用逗号隔开写在大括号内 这种表示集合的方法叫做列举法 一般形式为 把集合中的元素的共同特性描述出来 写在大括号内 这种表示集合的方法叫做描述法 一般形式为或 四 特殊的集合 不含有任何元素的集合叫做空集 用 表示 只含有一个元素的集合叫做单元素集 记为 五 常见数集 全体自然数的集合叫做自然数集 常用表示 全体整数的集合叫做整数集 常用表示 全体有理数的集合叫做有理数集 常用表示 全体实数的集合叫做实数集 常用表示 有时用表示正实数集 用表示负实数集 或表示非零自然数集 六 分类 含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 二 集合与集合的关系 一 子集 如果集合的任一个元素都是集合中的元素 那么集合叫做集合的子集 记作或 读作 真包含于 或 真包含 由子集的定义可知 二 真子集 如果集合是集合的子集 并且中至少有一个元素不属于 那么集合叫做集合的真子集 记作或 由真子集的定义可知 三 集合的相等 如果两个集合 的元素完全相同 那么就说这两个集合相等 记作 读作 等于 性质 含有个元素的集合的所有子集个数为 真子集个数为 如 集合的子集个数为 真子集个数为 非空真子集个数为 评析 演示 用适当的方法表示下列集合 1 大于且小于的自然数集 2 绝对值大于的数 3 全体奇数构成的集合 4 方程组的解集 实操演练 解 1 2 3 4 有限集常用列举法表示 无限集常用描述法表示 用描述法表示集合过程中需要注意书写格式问题 解题方法 练习 用描述法表示下列集合 1 绝对值不大于的整数的全体 2 不等式的解集 3 矩形全体构成的集合 4 方程的解集 演示 用适当的符号填空 1 2 3 4 5 6 分析 1 因为为元素 为集合 所以应填 3 因为为元素 为空集 所以应填为 4 因为 所以 2 因为 均为集合 且的元素都在内 且中的元素不在内 所以应填 6 因为方程的实数解为 故 集合的元素都在内 的元素不在 内 所以应 5 因为方程无实数根 故 判断元素与集合或集合与集合的关系的常规方法是首先分清是元素与集合关系还是集合与集合关系 如果是元素与集合关系 则关键看元素是否在集合内或满足集合的特性 如演示1 1 4 如果是集合与集合关系 则根据子集 真子集与相等的概念来判断 如演示1 2 3 5 6 解题方法 练习 用适当的符号填空 1 2 3 4 5 6 演示 写出集合的所有子集和真子集 由子集与真子集的概念可知 除空集外 集合的子集 真子集与非空真子集的元素必需是 据此按规律写出所有的子集 真子集与非空真子集 分析 集合的所有子集为 集合的所有真子集为 集合的所有非空真子集为 解 写出有限集合的子集与真子集的常规方法是已知有限集合的部分或全部元素组成的新集合即为此有限集合的所有子集 但写出子集的过程中 应从空集开始 分别有规律地选取一个元素 二个元素 直到本身为止 上述所有子集 除了本身其余的集合即为有限集合的真子集 再除掉空集 余下的即为非空真子集 解题方法 练习 已知 写出满足条件的所有集合 1 用适当的方法表示下列集合 1 大于等于且小于的整数集 2 绝对值不小于的数 3 全体偶数构成的集合 4 直角平面坐标中第一象限的点集 2 用适当的符号填空 1 2 巩固练习 3 4 5 6 3 写出集合满足的集合 第二节集合的基本运算 知识解读 实操演练 巩固练习 一 交集 对于 两个给定的集合 由既属于又属于的所有公共元素所构成的集合 叫做 的交集 记作 即 知识解读 由交集的定义可知 若 则 二 并集 对于 两个给定的集合 把它们所有的元素合并在一起构成的集合 叫做 的并集 记作 即 由交集的定义可知 若 则 三 补集 在研究集合与集合之间的关系时 如果一些集合都是某一给定集合的子集 那么称这个给定的集合为这些集合的全集 通常用表示 如果是全集的一个子集 由中的所有不属于的元素构成的集合 叫做在中的补集 记作 即 由补集的定义可知 为了集合运算简便 常用公式 评析 演示 设全集 求 由交集 并集和补集的概念来求 分析 实操演练 解 因为 所以 又因 所以 或 求数集的交集的常规方法是求两个集合的公共元素 求数集的并集的常规方法是求两个集合的所有元素 重复的元素只写一次 求一个集合的补集的常规方法是全集中除了该集合元素所剩余的元素 解题方法 练习 设全集 求 演示 设全集求 借助数轴可求得集合的交 并 补集 分析 解 图 图 图 图 如图 所示 如图 所示 如图 所示 如图 所示 常利用数轴求不等式的解集的交集 并集与补集 不等式解集的交集就是数轴上表示两个集合的两条线重叠覆盖的区间部分 不等式解集的并集就是数轴上表示两个集合的所有直线覆盖的区间部分 不等式解集的补集就是数轴上无线覆盖的区间部分 解题方法 在写出交集 并集与补集的过程中需要注意端点是否包括 注意 练习 设全集 求 及 演示 已知全集 由补集的性质可得 故且 即可求出值 分析 求 解 首先根据补集的性质 及集合相等的概念建立方程或方程组 然后解这个方程或方程组 便可确定集合中未知的元素 解题方法 解得 练习 已知全集 求 演示4已知集合 求 解 求二元一次方程的交集的常规方法是求由二元一次方程构成的方程组的解集 解题方法 练习4已知全集 求 1 设全集 求 2 已知全集 设 求 3 已知全集 设 求 巩固练习 4 已知全集 求 5 已知集合 求 6 如右图所示 用交集 并集 补集表示图中的阴影部分 7 设 方程 且 求 第 题 第三节充要条件 知识解读 实操演练 巩固练习 一 充分条件与必要条件 如果条件成立能推出结论成立 就说条件是结论的充分条件 记作 读作 推出 知识解读 如果结论成立能推出条件成立 就说条件是结论的必要条件 记作 读作 推出 二 充要条件 如果 且 那么就说是的充分且必要条件 简称充要条件 记作 如果是的充要条件 那么也是的充要条件 评析 是的充要条件 又常常说成当且仅当 或与等价 以上三句表示的是同一个意义 如果 那么 演示 用充分条件 必要条件 充要条件填空 1 是的 2 是的 3 是的 4 是的 5 两个三角形的三组对边成比例是两个三角形全等的 实操演练 答案 1 由条件 成立能推出 成立 并且由结论 成立也能推出 所以应填充要条件 2 等价于或 等价于且 由条件 成立不能推出结论 而由结论 成立能推出条件 成立 所以应填必要条件 3 由条件 成立能推出结论 但由结论 成立不能推出条件 成立 所以应填充分条件 4 由条件 成立能推出结论 成立 而等价于或 由结论 成立不能推出条件 成立 所以应填充分条件 5 根据三角形全等的判定定理与性质定理可知 由条件 两个三角形的三组对应边成比例 不能推出结论 两个三角形全等 成立 但由结论 两个三角形全等 成立能推出条件 两个三角形的三组对应边成比例 所以填必要条件 如果由条件成立能推出结论成立 但由结论成立不能推出条件成立 那么条件就是结论的充分条件 如果由结论成立能推出条件成立 但由条件成立不能推出结论成立 那么条件就是结论的必要条件 如果由条件成立能推出结论成立 且由结论成立能推出条件成立 那么条件就是结论的充要条件 解题方法 练习 用充分条件 必要条件 充要条件或既非充分也非必要条件填空 1 是的 2 是的 3 方程是有实数解是判别式的 4 是的 5 有一内角为直角的平行四边形是矩形的 演示 已知是的必要条件 是的充要条件 是的充分条件 求与的关系 根据已知可得 解 即是的充分条件 是的必要条件 根据已知条件及充分条件 必要条件