定积分在经济学中的应用论文.doc

定积分在经济学中的应用 国会2班 李怡雯 1420110513内容摘要：一直以来，定积分都是大学数学中的重要内容，它是解决实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，所以本文对定积分的概念以及它在经济学上的应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上的应用进行了举例分析。关键词： 定积分 微分 经济学 边际函数 投资1.定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数P(x)在区间I 上可导，其边际函数为P(x)，a, x I ，则总有函数当 x 从a 变到b 时，P(x)的改变量为将 x 改为产量Q，且a=0 时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得其中即为固定成本，为可变成本 （ 因为）例 1。 已知某公司独家生产某产品，销售Q 单位商品时，边际收入函数为（元/单位）（a0,b0,c0）求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解 ：(1)总收入函数为=(2)设产品的价格为P，则，得需求函数为2 .利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。例2 已知某产品总产量的变化率为 ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。解 所求的总产量为(件)3 .利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。解 总成本函数为 = 总收益函数为R( x ) = 500x总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = = 400- 2x令= 0, 得x= 200因为 ( 200) 0所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400 200-1000=39000( 元) 。4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余 在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=与P= , 此时函数P=也称为需求函数, 而P=也称为供给函数。需求曲线(函数) P=与供给曲线(函数) P=的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P= 购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在 Q, Q+内消费者消费量近似为, 故消费者的总消费量为,它是需求曲线P=在与Q*之间的曲边梯形OQ*的面积, 如图如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为 它是曲边三角形的面积。如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, 是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额, 故生产者剩余为它是曲边三角形的面积。例4. 设某产品的需求函数是P=。如果价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。解 已知需求函数P=,首先求出对应于P* = 10 的Q*值, 令 = 10, 得Q* = 10000。于是消费者剩余为 = =(30Q-=66666.67(元)。例5.设需求函数Q8-，供给函数Q，求消费者剩余和生产者剩余.解:首先求出均衡价格与供需量.得 15，3.令8-0，得P124，令0，得9，代入(3)、(4)式得CS，PS.5. 利用定积分计算资本现值和投资对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在t时刻收入流的变化率为f(t)(单位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在0，T这一段时间内的收入流的变化率为f(t)，连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段，相应地将区间0，T平均分割成长度为t的小区间.当t很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数，在t与t+t之间收入的近似值为f(t)t，相应收入的现值为f(t)e-rtt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限，可求总收入的现值为现值，类似地可求得总收入的终值为终值.例6 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求:( 1) 该投资的纯收入贴现值;( 2) 收回该笔投资的时间为多少?解 ( 1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为Y= 从而投资所获得的纯收入的贴现值为 ( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由得T =即收回投资的时间为T=总结 定积分在数学中占重要