《点集拓扑学》§4.2 连通性的某些简单应用.doc

4.2连通性的某些简单应用本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，bE，ab，则有 a，b=xR|axbE读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-，），（a，），a，），（-，a），(-，a （a，b），（a，b，a，b），a，b因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果ER是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一在定理412中我们证明了实数空间R是一个连通空间因为区间（a，），（，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于 根据定理415可见区间a，），（，a，a，b），（a，b和a，b都是连通的另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点如果E不是一个区间，则 ,也就是说,存在acb,使得；从而，若令 A=（，c）E，B=(c，)E则可见A和B都是E的非空开集，并且有AB=E和AB=，因此E不连通.综合以上两个方面，我们已经证明了：定理4.2.1设E是实数空间R的一个子集E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间定理4.2.2设X是一个连通空间，f:XR是一个连续映射则f(X)是R中的一个区间因此，如果x，yX，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)f(y)时，f(x)tf(y)；当f(y)f(x)时，f(y)tf(x)，存在zX使得f(z)=t证明这个定理的第一段是定理418和定理4.2.1的明显推论以下证明第二段设x，yX如果f（x）f（y），则没有什么要证明的现在设f（x）f（y），并且不失一般性，设f（x）f（y）由于f（X）是一个区间，所以f（x），f（y）f（X）因此对于任何t，f(x)tf(y)，有tf(X)，所以存在zX,使得f（z）=t.根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理定理4.2.3介值定理设f:a，bR是从闭区间a，b到实数空间R的一个连续映射则对于f（a）与f（b）之间的任何一个实数r，存在za，b使得f(z)=r定理4.2.4不动点定理设f:0，10，1是一个连续映射则存在z0，1使得f(z)=z证明如同数学分析中的证法那样,只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.容易证明欧氏平面中的单位圆周是连通的.这是因为如果定义映射f:R使得对于任意tR有f(t)=(cos2t,sin2t)，则易于验证f是一个连续映射，并且f(R)因此 是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的设点称为点x的对径点映射r：使得任何x,有r(x)=-x，称为对径映射对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面到自身的反射l：在单位圆周上的限制其中，映射l定义为对于任何,有l（x）-x，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射定理4.2.5Borsuk-Ulam定理设f:R是一个连续映射则在中存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x) 证明(略)我们已经知道n维欧氏空间是连通空间，下面进一步指出：定理4.2.6n1维欧氏空间的子集-0是一个连通子集，其中0=（0，0，0）证明我们只证明n2的情形根据定理419，中的子集(-，0)R和（0，）R都是连通的由于所以根据定理415，Rn中的子集A=0，）R-0是连通的；同理，子集B=(-，0R-0是连通的由于AB以及AB=-0，因此根据定理4.16可见，-0是连通的一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理4.2.6可以得到进一步的改善（参见习题第4题）定理4.2.7欧氏平面和实数空间R不同胚证明假设与R同胚，并且设f:R是一个同胚因此对于连续映射我们有但根据定理4.2.6，-0是连通的，而根据定理4.2.1，R-f(0)是不连通的这与定理418矛盾定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例定理4.2.4，定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4.2.8Brouwer不动点定理设f：是一个连续映射，其中是n维球体则存在z使得f（z）=z定理4.2.9BorsukUlam定理设f：是一个连续映射，其中nm，则存在x使得f（x）=f（-x