高中数学基本不等式教案

1 基本不等式基本不等式 教学设计方案教学设计方案 人教版 A 版 普通高中课程标准试验教科书必修第五册 教学目标 1 知识与技能目标 1 掌握基本不等式 认识其运算结构 2 ab ab 2 了解基本不等式的几何意义及代数意义 3 能够利用基本不等式求简单的最值 2 过程与方法目标 1 经历由几何图形抽象出基本不等式的过程 2 体验数形结合思想 3 情感 态度和价值观目标 1 感悟数学的发展过程 学会用数学的眼光观察 分析事物 2 体会多角度探索 解决问题 能力培养 培养学生严谨 规范的学习能力 辩证地分析问题的能力 学以致用的能 力 分析问题 解决问题的能力 教学重点 应用数形结合的思想理解不等式 并从不同角度探索不等式的 2 ab ab 证明过程 教学难点 基本不等式等号成立条件 2 ab ab 教学方法 教师启发引导与学生自主探索相结合 教学工具 课件辅助教学 实物演示实验 教学过程设计 一 一 创设情景 引入新课创设情景 引入新课 如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标 这是根 据赵爽弦图而设计的 用课前折好的赵爽弦图示范 比较 4 个 直角三角形的面积和与大正方形的面积 你会得到怎样的相 等和 不等关系 2 赵爽弦图 1 探究图形中的不等关系 将图中的 风车 抽象成如图 在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形 设直角三角形的两条直角边长为 a b 那么正方形 的边长为 22 ab 这样 4 个直角三角形的面积的 和是 2ab 正方形的面积为 22 ab 由于 4 个直角三 角形的面积小于正方形的面积 我们就得到了一个不 等式 22 2abab 当直角三角形变为等腰直角三角形 即 a b 时 正方形 EFGH 缩为一个点 这时有 22 2abab 2 得到结论 一般的 如果 2R 22 号时取当且仅当那么 baabbaba 3 思考证明 你能给出它的证明吗 证明 因为 222 2baabba 当 22 0 0 abababab 时当时 所以 0 2 ba 即 2 22 abba 4 基本不等式 1 特别的 如果 a 0 b 0 我们用分别代替 a b 可得2abab 通常我 们把上式写作 a 0 b 0 2 ab ab 2 从不等式的性质推导基本不等式 2 ab ab 用分析法证明 3 要证 2 ab ab 1 只要证 2 baab2 要证 2 只要证 a b 0 ab2 3 要证 3 只要证 2 ab0 4 显然 4 是成立的 当且仅当 a b 时 4 中的等号成立 3 理解基本不等式 2 ab ab 的几何意义 如图所示 AB 是圆的直径 点 C 是 AB 上一点 AC a BC b 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE 连接 AD BD 你能利用这个图形得出基本不等式 2 ab ab 的几何解 释吗 引导学生发现 2 ab 表示圆的半经 ab表示半弦长 CD 得到不等关系 ab 2 ab 0 0 ba 易证 t A D t D B 那么 D2 A B 即 D ab 这个圆的半径为 2 ba 显然 它大于或等于 CD 即ab ba 2 其中当且仅 当点 C 与圆心重合 即a b时 等号成立 几何意义 半弦长不大于半径长 我们称为正数的几何平均数 称为正数的算术平均数 abba 2 ba ba 代数意义 几何平均数小于等于算术平均数 5 随堂练习 已知a b c都是正数 求证 a b b c c a abc 分析 对于此类题目 选择定理 ab ba 2 a 0 b 0 灵活变形 可求得结果 解 a b c都是正数 a b 2ab 0 b c 2bc 0 c a 2ac 0 4 a b b c c a 2ab 2bc 2ac abc 即 a b b c c a abc 课时小结 本节课 我们学习了重要不等式 22 2abab 两正数a b的算术平均数 2 ab 几何平均数 及它们的关系 ab ba 2 它们成立的条ab 件不同 前者只要求a b都是实数 而后者要求a b都是正数 它们既是不等 式变形的基本工具 又是求函数最值的重要工具 我们还可以用它们下面的等 价变形来解决问题 2 22 ba ab 2 2 ba ab 思想方法技巧 1 数形结合思想 整体与局部 2 换元法 分析法 3 配凑等技巧 板书设计 课题 3 4 基本不等式 第 1 课时 2 ab ab 1 课题导入 基本不等式的 2 ab ab 几何背景 如图是在北京召开的 第 24 界国际数学家大会 的会标 会标是根据中国 古代数学家赵爽的弦图设 计的 颜色的明暗使它看 上去象一个风车 代表中 国人民热情好客 你能在 这个图案中找出一些