向量(论文) 向量在高中数学中的几个妙用

向量在高中数学中的几个妙用 引言 平面向量是高中数学的新增内容 也是新高考的一个亮点 正因为如此 在高三专题 复习课上 我们以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣 让学生树立并应用向量 的意识 背景 向量知识在许多国家的中学数学教材中 早就成了一个基本的教学内容 在我国全面实施 新课程后 向量虽然已进入中学 但仍处于起步的阶段 向量知识 向量观点在数学 物 理等学科的很多分支有着广泛的应用 它具有代数形式和几何形式的 双重身份 能融数 形与一体 能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合 形成知识交汇点 而在高中数 学体系中 解析几何占有着很重要的地位 有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂 不妨运用向量作形与数的转化 则会大大简化过程 但实际情况是很多学生在学习中就 平面向量 解平面向量题 不会应用平面向量去解决解析几何问题 学生应用向量的意 识不强 在高中数学新课程教材中 学生学习平面向量在前 学习解析几何在后 而且教材中二者 知识整合的不多 很多学生在学习中就 平面向量 解平面向量题 不会应用平面向量去 解决解析几何问题 正因为如此 本节课这样设计 1 教育家赞可夫说 要以知识本身吸引学生学习 使学生感到认识新事物的乐趣 体 验克服困难的喜悦 教育心理学认为 思维是从提出问题开始的 美国心理学家贾德通过 实验证明 学习迁移的发生应有一个先决条件 就是学生需掌握原理 形成类比 才能让 迁移到具体的类似学习中 因此首先通过两个旧问题的引入解决 让学生体会向量的工具 性特点 体会向量解题的优越性 2 通过例 3 例 4 两个问题的探究解决 由此让学生发现 用向量法的最大优点是思 路清晰 过程简洁 有意想不到的神奇效果 著名教育家布鲁纳说过 学习的最好刺激是 对所学材料的兴趣 简单的重复将会引起学生大脑疲劳 学习兴趣衰退 这充分揭示方法 求变的重要性 如果我们能重视向量的教学 必然能引导学生拓展思路 减轻负担 向量是形与数的高度统一 它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身 是高 中数学新增加的内容 在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位 但从目前的使用情况来看 向量的作用要远远大于复数 一个复数所对应的点 只能在平面上 而向量却有平面向量和空间向量之分 这一点在与几何 尤其 是立体几何 的联系上表现得更加突出 向量在数学 力学 物理学和工程技 术中应用很广泛 它具有代数形式和几何形式的 双重身份 能融数形于一体 能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合 形成知识交汇点 向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性 平面向量就具有较强 的工具性作用 向量方法不仅可以用来解决不等式 三角 复数 物理 测量 等某些问题 还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明 平行 垂直 共 线 相切 角相等 与求值 距离 角 比值等 问题 不难看出向量法应用于 平面几何中时 它能将平面几何许多问题代数化 程序化从而得到有效的解决 体现了数学中数与形的完美结合 向量法是将几何问题代数化 用代数方法研究几何问题 用空间向量解决 立体几何中的这些问题 其独到之处 在于用向量来处理空间问题 淡化了传 统方法的有 形 到 形 的推理过程 使解题变得程序化 那么解立体几何 题时就可以用向量方法 对某些传统性较大 随机性较强的立体几何问题 引 入向量工具之后 可提供一些通法 由于向量具有几何形式和代数形式的 双重身份 使向量与几何之间有着 密切联系 向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一 它既是几何对象也 是代数对象 因而成为数形结合的桥梁 成为沟通代数 几何 三角的得力工 具 向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来 反过来 它 的理论和方法又成为解决生活实际问题和物理学重要工具 它之所以有用 关键 是它具有一套良好的运算性质 可以使复杂问题简单化 直观化 使代数问题 几何化 几何问题代数化 正是由于向量所特有的数形二重性 使它成为中学 数学知识的一个交汇点 成为联系多项内容的媒介 在高中数学教学内容中有 广泛的应用 用向量坐标法求角时要注意善于利用已知几何体的特点 寻找直线与平面 的垂直关系 再设法在平面内找到直线与直线垂直 以便建立空间直角坐标系 后方便求相关点的坐标 从上面的例子我们可以看到 向量解题的优势就在于只运用了向量公式的 简单变形就解决了一个通过繁琐的立体几何分析方能解决的问题 这是对笛卡 尔 变实际问题为数学问题 再变数学问题为方程问题 然后只需求解方程便 可使问题得以解决 这一数学哲学思想的完美体现 用向量法解决立体几何问题的方式有两种 一是直接用向量的代数式运算 二是用向量的坐标运算 一般来说 向量的坐标运算 思维量更少 运算技巧 更低 更容易掌握 因此这也是我们常用的向量方法 若所给图形不容易建立 空间直角坐标系 我们也可以用向量的代数式运算来解决问题 但其技巧性相 对较高 对学生逻辑推理能力的要求也提高了 一 向量在函数中的应用 根据复数的几何意义 在复平面上可以用向量来表示复数 这样复数的加减法 就可以看 成是向量的加减 复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到 学了向量 复数事实 上已没有太多的实质性内容 因而变选学内容也就不难理解了 另外向量所建立的数形对 应也可用来证明代数中的一些恒等式 不等式问题 只要建立一定的数模型 可以较灵活 地给出证题方法 例如 求函数的最大值xxy263 解 令向量 可得 2 1 a 3 3 xxb 3 a6 b 所以2363cos bababay 当且仅当两向量同向即时 等号 成立 此时 1cos ab 即 即时2331 xx1 x 所以当时 1 x23 max y 二 向量在解三角形中的应用二 向量在解三角形中的应用 当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时 表示三角函数就是平面向量 利用 向量的有关知识可以导出部分诱导公式 由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的 这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用 一个最有力的证据就是教材中所 提供的余弦定理的证明 只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的 运算性质得出要证的结论 它比用综合法提供的证明要简便得多 向量的数量积的定义 将向量与三角函数融为一体 体现了向量的模与三角函数之间 的关系 为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件 例如 勾股定理的证明 即在直角三角形 ABC 中 C 900 求证 222 ABACBC 证明 因为 AC BC 所以 0AC BC 又 两边平方得 ABACCB 22222 2ABACAC CBCBACCB 即 222 ABACBC 评注 对照老教材 勾股定理推导变得简单 回避了许多细节的讨论 优势不言而喻 类似的命题还很多 证明恒等式 例例 7 7 求证 cos coscossinsin A B C 分析分析 由等式右边联想到向量的数量积 令 cos sin cos sin ab 则 且易知与的夹角为 则1 1ab a b cos a ba b cos 又 则问题得证 coscossinsina b 三 向量在不等式中的应用 例 9 如果 则的取值范围是多少 2 2 2 4 2 2 2 9 解 设 由知 2 2 2 2 4 9 36 6 6 四 向量在处理解析几何中的应用 由于向量作为一种有向线段 本身就是有向直线上的一段 且向量的坐标可以用起点 终点的坐标来表示 使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的 联系 平面直角坐标系内两点间的距离公式 也就是平面内相应的向量的长度公式 分一 条线段成定比的分点坐标 可根据相应的两个向量的坐标直接求得 用直线的方向向量 a b 表示直线方向比直线的斜率更具有一般性 且斜率实际是方向量在 a 0 时的特殊情 形 另外向量的平移也可用来化简二次曲线 即通过移动图形的变换来达到化简二次曲线 的目的 实际上与解析几何中移轴变换达到同样的效果 平面向量作为一种有向线段 本身就是线段的一段 其坐标用起点和终点坐标表示 因此向量与平面解析几何有着密切联系 在解析几何中 它可使过去许多形式逻辑的证明 转化为数值的计算 化复杂为简单 成为解决问题的一种重要手段和方法 1 向量处理解析几何中的夹角问题 例 8 200 年全国高考 14 题 椭圆的焦点为 1 49 22 yx 1 F 点 P 为其上一动点 当为钝角时 点 P 的横坐标 2 F 21PF F 的取值范围是多少 解 易知 a 3 b 2 故 523 22 c 0 5 0 5 21 FF 设 P x y 则 由是钝角 12 5 5 PFxy PFxy 21PF F 得 12 0PF PF A 即0 5 5 2 yxx05 22 yx 又点 P x y 在椭圆上 所以由 和 解得05 22 yx1 49 22 yx 5 9 2 x 5 53 5 53 x 2 平面向量与解析几何中的共线问题 三点共线是解析几何中的常见问题之一 用向量法解决共线问题的思路显 得直接了当 一般方法是根据向量共线的充要条件 只要在三点中任意两点间 存在倍数关系就行了 就是说三点 A B C 共线 仅要或ABAC 成立 用坐标表示 如果三点共线 ABBCR 332211 yxCyxByxA 有 消去得 13131212 yyxxyyxx 或 0 12131312 yyxxyyxx 1313 11 12 13 12 yyxx yy yy xx xx 例 9 2001 年全国高考 19 题 设抛物线 的焦点为 F 经过 0 2 2 ppxy 点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 点 C 在抛物线的准线上 且 BC x 轴 求证 直线 AC 经过原点 O 解 如图 9 设 由 BC x 轴得 0 2 2211 p FyxByxA 2 2 y p C 1122112 222 ppp FAxyFBxyOAx yOCy 与共线 FA FB 而代入上式得0 2 2 1221 y p xy p x p y x p y x 2 2 2 2 2 2 1 1 2 21 pyy 又0 222222 2 111 21 12 2 1 121 y p y p y p y p yy y p y p y y p yx 与是共线向量 即 A C 三点共线 OA OC O 直线 AC 经过原点 O 3 3 轨迹问题 轨迹问题 例例 9 9 已知一个圆的直径两端点为 求此圆方程 1122 A x yB xy 解解 设为圆上异于的点 由圆周角定理得 若是与点 P x y A BAP BP P x y 或重合的点 则 或 故都有 0 成立 从而ABAP 0 BP 0 AP BP 此即为所求圆方程 1122 0 xxyyxxyy 例例 1010 求过圆上的点的切线方程 22 5 6 10 xy 6 9 M 解解 如图 设是所求切线上的任意一点 则 N x yMN 6 9 xy 因为 1 3 O M MN O M 所以 即 此即为所求切线的方程 即使是重MN O M 0 6 3 9 0 xy N M 合时 仍有 因为此时 MN O M 0MN 0 总之 平面向量