高等数学训练之导数与微分.doc

第二讲 导数与微分1 重要内容一 定义1 导数的定义 若存在，则，其中 变化；若存在，则， ；若存在，则，其中 变化； 若存在，则， 。 2 约分定义 或者二 性质1 存在2 可导可微连续有极限三 应用斜率，曲率（半径），弧长（弧微分）四 设在处连续，则在处可导。特殊：在不可导； 在处可导。讨论：在处可导性思路：讨论是否为0。（，则不可导）2 题型与例题分析题型一：利用导数定义解题 1 已知极限求导数或已知导数求极限；2 讨论分段函数在分界点处的可导性；3 抽象函数没有给出的导函数存在，讨论在处的可导性，或求；4 涉及例1：设f(x)是可导的偶函数，它在的某邻域内满足，求在处的切线方程。分析：为奇函数，方程， 。解： 即： 切线方程为： 例2：设f(x)在的某邻域内连续，在处可导，则在处 ：（A） 可导，且导数为（B） 可导，且导数为（C） 可导，且导数为（D） 不可导 分析：若，导数为 若，设，则的一个邻域使导数为： 设，同理可得导数为：-导数为： 故选：B 例3：设f(x)在的某邻域内一阶可导，且则，使得曲线 :（A） 在内向上凹（B） 在内向下凹（C） 在内，在内（D） 在内，在内 分析： ，在内有 故在内；在内。故选：D 例4：设f(x)在内有一阶连续导数。且证明： 对于，。唯一的，使。 。 证明：由拉氏中值定理：，使。连续，且或者单调，是唯一的。即有： 例5：设在内有定义，且，。证明：。 证明： 令， ， 例6：设f(x)有连续的二阶导数，且，求曲线在处的曲率半径。 分析： 解： 又 注意条件：题型二：分段函数的导数： 例7：函数的不可导点为： 分析：令，则； ， ； ， ； ， ；所以不可导点为： 例8：设。讨论在处的可导性。 解：。 当时，存在，且为0；当时，当时，在处连续。 例9：设连续。，且。求，并讨论 在处的连续性。 解：，。 令。则 又； 当时， 并讨论 在处的连续性。 例10：设在内有定义，有，当时，有。问：是否存在？分析：， 解：当， 不存在。题型三：利用公式或法则求导。 关键：复合求导！ 与的区别： 例11：设，求，解： 令 ， ； 例12：设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长。求解： 题型四：高阶导数 求，数学归纳法 求：A：数学归纳法；B：函数幂级数展开 例13：，求。 解： 例14：设任意阶可导。且，求。解：证明：假定时， 成立，则， 当时， 假设成立，结论正确。 题型五：讨论方程根的个数 ，使得 结论：设在内有且。 则方程在内有唯一实根。 例15：确定方程的根的个数，并指出范围 分析：。 解：有。 ， 所以有一个根； 当时，有3个根：； 当时，有2个根： 当时，有1个根：。 变形：已知方程有两个实根，讨论参数的取值范围。 例16：设当时，方程有唯一实根，求的取值范围。 分析： 分离参数： 解： ，。 当时， 无根； 当时， 是唯一根； 当且时，有唯一根。的取值范围是；或者。 例17：设在内二阶可导。且，。又存在使得。问在内有几个实根。 分析：存在，使，找，使。 解：存在