阿基米德三角形与三道高考试题.docx

此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除阿基米德三角形与三道高考试题（山东省滕州市第一中学 邵明志 277500）题1（2005年江西卷，理22题）：OABPF如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.题2（2006全国卷II，理21题）：已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值题3（2007江苏卷，理19题）：ABCPQOxyl 如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点（1）若，求的值；（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由上述三道高考试题都涉及到抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的阿基米德三角形有许多有趣的性质，上述三题都是某些性质的体现，可以预见，今后围绕该三角形性质的高考试题还会出现，因此对该三角形的性质作进一步的研究是必要的、有益的下面给出阿基米德三角形的一些有趣性质，证明时均以抛物线为例，且称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，下不赘述性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴证明：设，M为弦AB中点，则过A的切线方程为，过B的切线方程为，联立方程组得解得两切线交点Q(，)，进而可知x轴.此性质即为题3考查内容性质2 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线证明：设Q(x，y)，由性质1，x=，y=， 由A、B、C三点共线知，即，将y=，代入得，即为点的轨迹方程.性质3 抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹利用两式相减法易求得以C点为中点的弦的斜率为，因此该弦与Q点的轨迹即直线平行性质4 若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点证明：如上图，设方程为，且，弦AB过点C，由性质2可知点的轨迹方程，该方程与表示同一条直线，对照可得，即弦AB过定点C（，）.性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为证明：|AB|=a，设Q到AB的距离为d，由性质1知=，设直线AB方程为：，则，即S=ad.性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为证明：由性质2，若底边过焦点，则，Q点轨迹方程为即为准线；易验证，即QAQB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点； |QM|=+=+=，而性质6即为题2所涉及性质性质7 在阿基米德三角形中，QFA=QFB证明：如图，作AA准线，BB准线，连接 QA、QB、QF、AF、BF，则，显然，FAQA，又|AA|=|AF|，由三角形全等可得QAA=QAF，QAAQAF， |QA|=|QF|，QAA=QFA，同理可证|QB|=|QF|，QBB=QFB，|QA|=|QB|，即QAB=QBA QAA=QAB+900=QBA+900=QBB,n. 摘要；大纲QFA=QFB，结论得证此性质即题1的结论，但原解答采用代数法相当复杂，这里给出的几何法简洁明了dinosaur n. 恐龙性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线角QA、QB于S、T，则QST的垂心在准线上证明：设、，易求得过B、I的切线交点T，过T向QA引垂线，其方程为，它和抛物线准线的交点纵坐标为y =，显然这个纵坐标是关于对称的，因此从S点向QB引垂线，从Q点向ST引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证性质9 |AF|BF|=|QF|2证明：|AF|BF|=+，而|QF|2=+=|AF|BF|.scoop n. 抢先获得的新闻、利润等；性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行receptionist n. 接待员；招待员证明：由性质1知Q(，)，M，易得P点坐标为，此点显然在抛物线上；过P的切线的斜率为=，结论得证thrill vt. 使激动；使胆战心惊性质11 在性质8中，连接AI、BI，则ABI的面积是QST面积的2倍great auk n. 大海雀（已灭绝）证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即QAB、TBI、SAI；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的；设BI与抛物线所围面积为，AI与抛物线所围面积为，AB与抛物线所围面积为，则=，2belong to 属于性质12 设，AQB=，则（1）（2）（3）（4）n.经典著作（5）=（6）=seed n. 种子；萌