数学：运动变化型问题专题复习（苏科版九年级）.doc

七彩教育网 本资料来源于七彩教育网 数学：运动变化型问题专题复习（苏科版九年级）【考点导航】运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型【答题锦囊】 例1 如图在RtABC中，C90，AC12，BC16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ设运动时间为t（秒）（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，请简要说明理由APCQBDAPCQBDM图1【思路点拨】因为关于直线对称的两个三角形全等，所以四边形PCQD的面积y=2SPCQ，考虑到CQ4t，PC123t，可建立y与t的函数关系式；要判定四边形PQBA是梯形，需知道PQAB，根据题意，当时，有PQAB，于是可列方程；第（3）、（4）小题是存在性探索题，先假设存在符合条件的结论，然后从假设出发利用相似三角形的性质列方程进行求解【标准解答】由题意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =PCQ与PDQ关于直线PQ对称，y=2SPCQ 当时，有PQAB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t，解得t2当t2秒时，四边形PQBA是梯形 设存在时刻t，使得PDAB，延长PD交BC于点M，如图1，若PDAB，则QMD=B，又QDM=C=90，RtQMDRtABC，从而，QD=CQ=4t，AC12，AB=20，QM= 若PDAB，则，得，解得t当t秒时，PDAB（4）存在时刻t，使得PDAB时间段为：2t3例 如图2，直角梯形ABCD中，ABCD，A=900，AB=6，AD=4，DC=3，动点从点出发，沿ADCB方向移动，动点从点出发，在边上移动设点移动的路程为，点移动的路程为，线段PQ平分梯形ABCD的周长（1）求与的函数关系式，并求出的取值范围；（2）当PQAC时，求的值；（3）当不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由ECDQP图2【思路点拨】作梯形ABCD的高CE，进而求出它的周长为18，因为线段PQ平分梯形ABCD的周长，所以解答第（2）小题，先依题意画出图形，则图形由“动”变“静”，再设法列方程组求解【标准解答】过作于，则CD=AE=3，CE=4，可得BC=5，所以梯形ABCD的周长为18 PQ平分ABCD的周长，所以， 因为，所以， 所求关系式为： 依题意，只能在边上， ，即，即， 解方程组 得梯形的面积为18当不在边上，则， （）当时，在边上， 如果线段能平分梯形的面积，则有. 可得：解得（舍去） （）当时，点在边上，此时 如果线段能平分梯形的面积，则有， 可得此方程组无解所以当时，线段能平分梯形的面积例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B.(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；xyOAPB图3(2)在O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)因为P点是切点，所以无论线段AB 发生怎样的变化，圆心O到直线AB的距离始终是OP 抓住这一点，易得线段AB长的最小值；(2)要注意以Q、O、A、P为顶点的平行四边形有三种可能，但只有两种可能符合条件【标准解答】 (1)线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP 因为AB切O于P，所以OPAB，取AB的中点C，则 当时，OC最短，即AB最短，此时 (2)设存在符合条件的点Q，如图4，设四边形APOQ为平行四边形，则四边形APOQ为矩形又因为，所以四边形APOQ为正方形，所以，在RtOQA中，xyOAQP图4根据，得Q点坐标为(). 如图，设四边形APQO为平行四边形.因为OQPA，所以，又因为，所以，因为PQOA，所以轴设轴于点H，在RtOHQ中，根据，得Q点坐标为()xyOAQPxyOAQP图5图6所以符合条件的点Q的坐标为()或()例 如图7，一张三角形纸片ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图7所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.当平移到如图7所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.图7【思路点拨】根据图形平移的性质，可知AD1=C1D1=C2D2=BD2，所以AD2=BD1，因为AD1C1和BD2 C2是等腰三角形，所以AD2F和BD1 E也是等腰三角形与重叠部分是一个不规则的几何图形，因此将它转化成规则图形.探究其中的数量关系，建立与的函数模型.在的基础上，将之转化成方程问题.【标准解答】.因为，所以.又因为，CD是斜边上的中线，所以，即所以，所以所以，错误！不能通过编辑域代码创建对象。.同理：错误！不能通过编辑域代码创建对象。.又因为错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。.所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。因为在错误！不能通过编辑域代码创建对象。中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以由勾股定理，得错误！不能通过编辑域代码创建对象。即错误！不能通过编辑域代码创建对象。又因为错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。.所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。在错误！不能通过编辑域代码创建对象。中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。到错误！不能通过编辑域代码创建对象。的距离就是错误！不能通过编辑域代码创建对象。的错误！不能通过编辑域代码创建对象。边上的高，为错误！不能通过编辑域代码创建对象。.设的边上的高为，由探究，得，所以.所以.又因为，所以.又因为，.所以 ，而所以.(3)存在.当时，即整理，得解得，.即当或时，重叠部分的面积等于原面积的.【中考预测】如图8，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm， EGF90，O是EFG斜边上的中点如图8，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC ?（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）图8如图9，在平面直角坐标系中，两个函数y=x，的图象交于点A动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ/x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S（1）求点A的坐标（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN和OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_图9如图10,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图10如图11，在锐角中，于点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）（1）分别求出当与时，与的函数关系式；（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？图11如图12，在中，C=900，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动过点P作PEBC交AD于点E，连结EQ设动点运动时间为x秒（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设的面积为，求与月份的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，为直角三角形图12如图13，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒在轴上取两点作等边（1）求直线的解析式；（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；（3）如果取的中点，以为边在内部作如图14所示的矩形，点在线段上设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值图13图14如图15，已知中，过点作，且，连接交于点（1）求的长；（2）以点为圆心，为半径作A，试判断与A是否相切，并说明理由；（3）如图16，过点作，垂足为以点为圆心，为半径作A；以点为圆心，为半径作C若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A和C相切，且使点在A的内部，点在A的外部，求和的变化范围ABCPEEABCP图15图168.已知抛物线，经过点A（0，5）和点B（3，2）（1）求抛物线的解析式；（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动过程中，是否存在P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若Q的半径为r，点Q在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值.如图17，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cms的速度移动，点Q从点O开始沿y轴向点B以2cms的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm.如果P，Q分别从A，O同时出发.设POQ的面积等于y,运动时间为x，写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大值；几秒后POQ与AOB相似；几秒后以PQ为直径的圆与直线AB相切.ABxyOPQ图17612如图18，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB8cm，CD2cm，AD6cm点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止)设P、Q同时出发并运动了t秒(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；图18(2)试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。参考答案（1）RtEFGRtABC ，FG3cm 当P为FG的中点时，OPEG ，EGAC ，OPAC x 31.5（s）当x为1.5s时，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），FH（x5）过点O作ODFP ，垂足为 D 点O为EF中点，ODEG2cmFP3x ，S四边形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP（x5）（x5）2（3x ）x2x3 （0x3（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324则S四边形OAHPSABCx2x3686x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，当x（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324（1）由，可得A（4，4）。（2）点P在y=x上，OP=t，则点P坐标为（）.点Q的纵坐标为，并且点Q在上.点Q的坐标为（）.PQ.当.当时，.当点P到达A点时，.当时， （3）有最大值，最大值应在中，当时，S的最大值为12.（4）.（1）直线AB解析式为：y=x+ （2）方法一：设点坐标为（x，x+），那么ODx，CDx+ 由题意： ，解得（舍去）.（，）.方法二：,，由OA=OB，得BAO30，AD=CDCDAD可得CDAD=，ODC（，）（）当OBPRt时，如图若BOPOBA，则BOPBAO=30，BP=OB=3，（3，） 若BPOOBA，则BPOBAO=30,OP=OB=1（1，）当OPBRt时 过点P作OPBC于点P(如图)，此时PBOOBA，BOPBAO30过点P作PMOA于点M方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP 在RtPO中，OPM30， OMOP；PMOM（，）方法二：设（x ，x+），得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABOC=x+x，解得x此时，（，） 若POBOBA(如图)，则OBP=BAO30，POM30PMOM（，）.（1）当时，由折叠得到的落在内部如图（1），重叠部分为 ，即又 （2） 当时，由折叠得到的有一部分落在外，如图（2），重叠部分为梯形 又 （2）当时，的最大值：；当时，由 可知：当时，的最大值： ，当时，有最大值：（图1）（图2）（1）在，（2），当点Q在BD上运动x秒后，DQ21.25x,则 即y与x的函数解析式为：，其中自变量的取值范围是：0x1.6(3)分两种情况讨论：当 当综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，为直角三角形。（1）直线的解析式为：（2）方法一，是等边三角形，方法二，如图1，过分别作轴于，轴于，可求得，当点与点重合时，（3）当时，见图2设交于点，重叠部分为直角梯形，作于，随的增大而增大，当时，当时，见图3设交于点，交于点，交于点，重叠部分为五边形方法一，作于，（图3）（图4），方法二，由题意可得，再计算（图4），当时，有最大值，当时，即与 重合，设交于点，交于点，重叠部分为等腰梯形，见图4，综上所述：当时，；当时，；当时，的最大值是（1）在中， ， ， （2）与A相切 在中， ，与A相切 （3）因为，所以的变化范围为 当A与C外切时，所以 的变化范围为；当A与C内切时