特殊四边形的证明证明.doc

邹美玲数学教学资料1102贝利恩教育一对一个性化教育发展中心 Shenzhen Brilliant Education Center 证明1平行四边形的识别方法：(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5) 对角线互相平分的四边形是平行四边形eg：1.已知：如图，ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AECF求证：四边形BEDF是平行四边形课堂练习一、选择题1. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，AC、BD相交于点0若AC=6，则线段AO的长度等于_2. 已知ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）A. 4 B. 12 C. 24 D. 283.在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D的坐标为（ ） A（7，2） B. （5，4） C.（1，2） D. （2，1）4.如图，在平行四边形ABCD中，B80，AE平分BAD交BC于点E，CFAE交AE于点F，则1（）A40 B50 C60 D805.如图，在平行四边形ABCD中，B=80，AE平分BAD交BC于点E，CFAE交AE于点F，则1=（）A、40B、50 C、60D、806.将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积则这样的折纸方法共有（）A、1种B、2种 C、4种D、无数种7.如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（）A48cm B36cm C24cm D18cm8.如图所示，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且ABAD，则下列式子不正确的是（ ）A.ACBD B.AB=CD C.BO=OD D.BAD=BCD二、填空题1.已知ABCD的周长为28，自顶点A作AEDC于点E，AFBC于点F若AE3，AF4，则CECF（ ）3.如图，ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分BCD，AB=3，则BC的长为64.如图，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是 .5.在ABCD中，AB6cm，BC8cm，则ABCD的周长为 cm6.在中，已知A=110，则D= 7.已知ABCD的周长为28，自顶点A作AEDC于点E，AFBC于点F. 若AE=3，AF=4，则 CE-CF= . 8.如图，在ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BEDF，若EBF45，则EDF的度数是45度9.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有3对三、解答题1）如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，1=2.求证：ABECDF.解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，B=D，AB=CD，在：ABE与CDF中，ABECDF（ASA）2.如图，在ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BAE=DCF求证：BE=DF解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABE=CDF，又已知BAE=DCF，ABEDCF，BE=DF点评：此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等3.如图，是平行四边形的对角线上的点，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.BCDEFA 解答：猜想：. 证明： 四边形ABCD是平行四边形 ， 在和 ， ，即 .4.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 解答：解：是菱形理由如下：PEAB，PFAD，且PE=PF，AC是DAB的角平分线，DAC=CAE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCA=CAB，DAC=DCA，DA=DC，平行四边形ABCD是菱形点评：此题主要考查了菱形的判定，证明DAC=DCA是解此题的关键5.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O（1）过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于H；（2）在（1）的图中，找出一个与BHF全等的三角形，并证明你的结论解答：解：（1）如图：（2）结论：BHFCOF理由是：ACBH，FBH=FCO，又BF=CF，BFH=CFO，BHFCOF（ASA）6.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BEDF求证：BE=DF解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD，BCAD，（2分）ACB=DAC，（3分）BEDF，BEC=AFD，（4分）CBEADF，（5分）BE=DF（6分）点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质7.在ABCD中，E、F分别是ABCD的中点，连接AF、CE（1）求证：BECDFA；（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD，B=D，AB=CD，E、F分别是ABCD的中点，BE=DF=AE=CF，在BEC和DFA中，BE=DF，B=D，BC=AD，BECDFA（2）答：四边形AECF是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AE=CF，四边形AECF是平行四边形，AC=BC，E是AB的中点，CEAB，AEC=90，平行四边形AECF是矩形8. .如图，是平行四边形的对角线上的点，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.BCDEFA解答：猜想：. 证明： 四边形ABCD是平行四边形 ， 在和 ， ，即 .9.如图5所示，在菱形ABCD中，ABC 60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DEBE图5解答：ABCD是菱形，AD/BC，ABBCCDDA又ABC 60，BCACADDEACACED为平行四边形CEADBC，DEACDECEBC，DEBE点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件10.如图，已知D是ABC的边AB上一点，CEAB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明解答：线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等证明：CEAB，DAO=ECO，OA=OC，ADOECO，AD=CE，四边形ADCE是平行四边形，CD AE，CD =AE11.如图，在ABCD中，E，F分别是BC，AD中点（1）求证：ABECDF；（2）当BC=2AB=4，且ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，AD=CB，B=D，E，F分别是BC，AD中点，DF=DA，BE=CB，DF=BE，AB=DC，B=D，ABECDF（2）证明：过A作AHBC于H，BC=2AB=4，且ABE的面积为，BE=AB=2，EBAH=，AH=，sinB=，B=60，AB=BE=AE，E，F分别是BC，AD中点，AF=CE=AE，ABECDF，CF=AE，AE=CE=CF=AF，四边形AECF是菱形12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AF=CE，BH=DG，求证：AGHE答案：(3)证明：平行四边形ABCD中，OA=OC， 由已知：AF=CE AFOA= CE OC OF=OE 同理得：OG=OH 四边形EGFH是平行四边形 GFHE 13如图，在ABCD中，E,F分别是BC，AD中点。（1）求证：ABECDF（2）当BC=2AB=4，且ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形。解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD, BC=AD, B=C. E,F分别是BC，AD中点, BE=BC,DF=AD BE=DF 又AB=CD, B=C ABECDF （SAS）（2）作AHBC交BC于H，则SABE=BE.AH= AH= BC=2AB=4AB=2sinA=/2A=600 BE=ABABE是等边三角形AE=BE=EC由（1）BE=DF AF=CE，又ADBC 四边形AECF是平行四边形 四边形AECF是菱形14.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是ABC、ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F求证：AE=CF解答：证明：平行四边形ABCD中，ADBC，AD=BC，ACB=CADBE、DF分别是ABC、ADC的平分线，BEC=ABE+BAE=FDC+FCD=DFA，BECDFA，CE=AF15.如图，分别延长ABCD的边BADC到点EH，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交ADBC于点FG求证：AEFCHG解答：证明：在ABCD中，ABCD，AB=CD，E=H，EAF=D，ADBC，EAF=HCG，AE=AB，CH=CD，AE=CH，AEFCHG（ASA）16.如图，已知E、F是ABCD对角线AC上的两点，且BEAC，DFAC（1）求证：ABECDF；（2）请写出图中除ABECDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BAEFCD，又BEAC，DFAC，AEBCFD90，ABECDF（AAS）（2）答：ABCCDA，BCEDAF17.如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接DE延长DE交AB的延长线于点F求证：AB=BF解答：解：由ABCD是平行四边形得ABCD，CDE=F，C=EBF又E为BC的中点，DECFEB，DC=FB又AB=CD，AB=BF18.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BEAC，垂足为E，DFAC，垂足为F求证：DF=BE解答：证明：四边形ABCD是平行四边形BC=AD，BCADBCA=DACBEAC，DEACCEB=AFD=90CEBAFDBE=DF19.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F（1）证明：DFA=FAB；（2）证明：ABEFCE解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，DFAB，DFA=FAB；（2）E为BC中点，EC=EB，在ABE与FCE中，ABEFCE2. 菱形的性质以及判定性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）菱形的四条边都相等.3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角. （对角线把它分成四个直角三角形）4）既是轴对称图形又是中心对称图形 5）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2）四条边都相等的四边形是菱形.3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用. Eg：2已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形课堂练习一、选择题1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A对角线互相垂直B对角线相等C对角线互相平分D对角互补解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项错误；B、菱形和矩形的对角线都相等；故本选项正确；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项正确；D、菱形对角相等，但不互补；故本选项正确；故选A2.在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，菱形的周长=AB4=20cm；故选C3.如图，在菱形ABCD中，BAD=60，BD=4，则菱形ABCD的周长是_解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，BAD=60，ABD是等边三角形，AB=AD=BD=4，菱形ABCD的周长是：44=16故答案为：165.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14 C、28D、24解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AOBO，AB=5，周长L=4AB=20，故选A6如图为菱形ABCD与ABE的重迭情形，其中D在BE上若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（） A、8B、9C、11D、12解：连接AC，设AC交BD于O点，四边形ABCD为菱形，ACBD，且BO=DO=8，在AOD中，AOD=90，AO=15，在AOE中，AOE=90，OE=20，又OD=8，DE=OEOD=208=12故选D7.如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且ADHE若A=60，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为何？（） A、6B、8 C、102D、10+2解：四边形ABCD为菱形且A=60ADE=18060=120，又ADHEDEH=180120=60，作DMHE于M点，则DEM为306090的三角形，又DE=4EM=2，DM=2，且四边形EFGH为正方形H=I=90，即四边形IDMH为矩形ID=HM=52=3，梯形HEDI面积=8故选B8.如图，菱形ABCD的周长是16，A=60，则对角线BD的长度为（ ）A2 B C4D 解：菱形ABCD的周长是16，AB=AD=CD=BC=4，A=60，ABD是等边三角形，AB=AD=BD=4对角线BD的长度为4故选C9.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD下列结论：EGFH，四边形EFGH是矩形，HF平分EHG，EG=（BCAD），四边形EFGH是菱形其中正确的个数是（）A、1B、2 C、3D、4解：E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，AB=CD，EF=FG=GH=HE，四边形EFH是菱形，EGFH，正确；四边形EFGH是矩形，错误；HF平分EHG，正确；EG=（BCAD），只有ADBC是才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；四边形EFGH是菱形，正确综上所述，共3个正确故选C10.依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A矩形B菱形C正方形D梯形11.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（） A、3公里B、4公里C、5公里D、6公里解答：解：如图，连接AC，作CFl1，CEl2；AB=BC=CD=DA=5公里，四边形ABCD是菱形，CAE=CAF，CE=CF=4公里故选B二、填空题1.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2解：E是AB的中点，AE=1，DE丄AB，DE=菱形的面积为：2=2如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离 解：AC8，BD6，BO3，AO4，AB5AOBOABOH，OH故答案为：4.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，ABC=60，则四边形ABCD的面积等于18cm2 解：ADBC，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，纸条等宽，AB=BC，该四边形是菱形，作AEBC于EBE=3cm，AE=3cm四边形ABCD的面积=63=18cm2，7. （2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为4和1，则BC解：菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为4和1，则AB1（4）5，ABBC58.如图，菱形ABCD周长为8cmBAD=60，则AC= cm解：菱形ABCD周长为8cmBAD=60AOB为直角三角形，AB=2，OAB=30，OA=OC，OA=AC=2 故答案为211.如图，在菱形ABCD中，BAD=60，BD=4，则菱形ABCD的周长是16解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，BAD=60，ABD是等边三角形，AB=AD=BD=4，菱形ABCD的周长是：44=16三、解答题如图，ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC（1）求证：AD=EC；（2）当BAC=Rt时，求证：四边形ADCE是菱形解答：（1）证明：DEAB，AEBC，四边形ABDE是平行四边形，AEBD，且AE=BD又AD是BC边上的中线，BD=CDAECD，且AE=CD四边形ADCE是平行四边形AD=CE（2）证明：BAC=Rt，AD上斜边BC上的中线，AD=BD=CD又四边形ADCE是平行四边形四边形ADCE是菱形如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由解答：（1）证明：由题意知FDC=DCA=90，EFCA，AEF=EAC，AF=CE=AE，F=AEF=EAC=ECA又AE=EA，AECEAF，EF=CA，四边形ACEF是平行四边形（2）当B=30时，四边形ACEF是菱形理由是：B=30，ACB=90，AC=AB，DE垂直平分BC，BE=CE，又AE=CE，CE=AB ，AC=CE，四边形ACEF是菱形2如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：ACEACF ADFEBC解：证明：AC是菱形ABCD的对角线，FAC=EAC，AC=AC，AE=AF，ACEACF3.矩形的性质以及判定性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）矩形的四个角都是直角.3）矩形的对角线相等. （矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形） 4）既是轴对称图形又是中心对称图形5）矩形的面积等于长乘以宽.判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2）有三个角是直角的四边形是矩形. 3）对角线相等的平行四边形是矩形.注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.Eg：3. 如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD（对角线），再折叠使AD边落在对角线BD上，得折痕DG。若DC2，BC1，求AG的长。4.正方形的性质以及判定性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质. （正方形对角线把正方形分成四个等腰直角三角形）判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. 2）矩形+有一组邻边相等 3）菱形+有一个角是直角4）既是轴对称图形又是中心对称图形注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用. Eg：4. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则EBF的大小为（）A、15B、30C、45D、60课堂练习一、选择题2.如图，ABC中，ACB=90，ACBC，分别以ABC的边AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设AEF、BND、CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）AS1=S2=S3 BS1=S2S3 CS1=S3S2DS2=S3S1解答：解：设三角形的三边长分别为a、b、c，分别以ABC的边AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，S1=S2=S3=3.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1S2的值为（）A16B17 C18D19S1S28917二、填空题1.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF将ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到BCF，旋转角为（ 0180），则=90 解：四边形ABCD是正方形AOB=90，故=905. （2011陕西，18，6分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BEAG，DFAG，垂足分别为E、F两点求证：ADFBAE解答：证明：四边形ABCD是正方形，DA=AB，1+2=90又BEAG，DFAG1+3=90，2+4=902=3，1=4ADFBAE三、解答题1.如图，点E是正方形ABCD内一点，CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F（1）求证：ADEBCE；（2）求AFB的度数解答：（1）证明：ABCD是正方形AD=BC，ADC=BCD=90又三角形CDE是等边三角形CE=CD，EDC=ECD=60ADE=ECBADEBCE（2）解：CDE是等边三角形，CE=CD=BCCBE为等腰三角形，且顶角ECB=9060=30EBC=（18030）=75ADBCAFB=EBC=755.梯形等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定：1）证明两腰相等 2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形.关注：梯形中常见的几种辅助线的画法. 对角线相等的梯形是等腰梯形,但不能作为定理.补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法. Eg：5. 如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，E是BC的中点，EFAD于点F，AD=4，EF=5，则梯形ABCD的面积是（）A、40B、30 C、20D、10综合练习一、选择题1.如图，四边形ABCD中，ACa，BDb，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn下列结论正确的有（）四边形A2B2C2D2是矩形， 四边形A4B4C4D4是菱形；四边形A5B5C5D5的周长是 四边形AnBnCnDn的面积是A、B、C、D、解答：解：连接A1C1，B1D1在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ， A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC；A1D1B1C1，A1B1C1D1，四边形ABCD是平行四边形；B1D1A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；A2D2C2D2C2B2B2A2（中位线定理），四边形A2B2C2D2 是菱形；故本选项错误；由知，四边形A2B2C2D2是菱形；根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；根据中位线的性质易知，A5B5A3B3A1B1AB，B5C5B3C3B1C1BC，四边形A5B5C5D5的周长是2（a+b）；故本选项正确；四边形ABCD中，ACa，BDb，且AC丄BD，S四边形ABCDab；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn的面积是；故本选项错误；综上所述，正确；2.如图，在平行四边形 ABCD中(ABBC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：AO=BO；OE=OF； EAMEBN；EAOCNO，其中正确的是A. B. C. D.即正确6.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A、平行四边形 B、正方形 C、等腰梯形 D、矩形9. 已知正六边形的边心距为，则它的周长是（）A、6B、12 C、6 D、12解答：解：如图，在RtAOG中，OG=，AOG=30，OA=OGcos 30=2这个正六边形的周长=12二、填空题1.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF若BF=4，FC=2，则DEF的度数是60解：矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF，DF=BF=4，BFE=DFE，在RtDFC中，FC=2，DF=4，FDC=30，DFC=60，BFE=DFE=（18060）2=60，DEF=BFE=60故答案为60三、解答题1. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，过点D作DEBC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE连接BF、CD、AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2=BECE，求证四边形ABFC是矩形证明：（1）连接BD，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC，AC=BF，ACB=CBFACBF，四边形ABFC是平行四边形；（2）DE2=BECE ，DEB=DEC=90，BDEDECBDC=BFC=90，四边形ABFC是矩形2.如图5所示，在菱形ABCD中，ABC 60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DEBE图5解答：ABCD是菱形，AD/BC，ABBCCDDA又ABC 60，BCACADDEACACED为平行四边形CEADBC，DEACDECEBC，DEBE3.如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45，CD=2，BDCD过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AFABEGCDF24题图解：（1）解：BDCD，DCB=45，DBC=45=DCB，BD=CD=2，在RtBDC中BC=2，CEBE，点G为BC的中点，EG=BC=答：EG的长是（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，ABEGCDF24题答图BDCD，BECE，EBF+EFB=90，DFC+DCF=90，EFB=DFC，EBF=DCF，DB=CD，BA=CH，ABDHCD，AD=DH，ADB=HDC，ADBC，ADB=DBC=45，HDC=45，HDB=BDCHDC=45，ADB=HDB，AD=HD，DF=DF，ADFHDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+AF，CF=AB+AF点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键7.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若ABC=60，CE=2BE，试判断CDE的形状，并说明理由解答：（1）证明：如图，AE平分BAD，1=2，AB=AD，AE=AE，BAEDAE，BE=DE，ADBC，2=3=1，AB=BE，AB=BE=DE=AD，四边形ABED是菱形（2）解：CDE是直角三角形如图，过点D作DFAE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，DF=AE，AD=EF=BE，CE=2BE，BE=EF=FC，DE=EF，又ABC=60，ABDE，DEF=60，DEF是等边三角形，DF=EF=FC，CDE是直角三角形9.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，ACB=30，AB=2（1）求AC的长（2）求AOB的度数（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积解答：解（1）在矩形ABCD中，ABC=90，RtABC中，ACB=30，AC=2AB=4（2）在矩形ABCD中，AO=OA=2，又AB=2，AOB是等边三角形，AOB=60（3）由勾股定理，得BC=，所以菱形OBEC的面积是210.如图，在四边形ABCD中，DB平分ADC，ABC=120，C=60，BDC=30；延长CD到点E，连接AE，使得E=C（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若DC=12，求AD的长解答：证明：（1）ABC=120，C=60，ABC+BCD=180，ABDC，即ABED；又C=60，E= C，BDC=30，E=BDC=30，AEBD，四边形ABDE是平行四边形；解：（2）ABDC，四边形ABCD是梯形，DB