武汉中考数学压轴题解析.doc

2008年武汉市中考数学压轴题评析 桂文通1试题如图1，抛物线y=ax-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.（1） 求此抛物线的解析式；（2） 若直线y=kx-1（k0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；（3） 如图2，过点E（1，-1）作EFx轴于点F。将AEF绕平面内某点旋转180后得MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求M，N的坐标.2试题解析（1）如图1， 抛物线y=ax-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点.xyTHG图1 解得抛物线的解析式y=-.（2）方法1：如图1，由y=-得B（4，0）、D（0，2）.CDAB S=（5+3）2=8设直线y=kx-1分别交AB、CD于点H、T，则H（，0）、T（，2）.直线y=kx-1平分四边形ABCD面积， S=S=4.（+1+）2=4 k=,k=时，直线y=x-1将四边形ABCD面积二等分.方法2：过点C作CGAB与点G. 由y=-得B（4，0）、D（0，2）. CDAB由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形， 设矩形ODCH的对称中心为R，则R（，1）.由矩形的中心对称性知：过R 点任一直线将它的面积平分,过R点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD面积平分.当直线y=kx-1经过点R时，得1=k-1 k=,（3）方法1：如图2，由题意知，四边形AEMN是平行四边形， ANEM且AN=EM.E（1，-1）、A（-1，0） 设M（m，n），则N（m-2，n+1）.M、N在抛物线上， 解得M（3，2），N（1，3）.方法2：xy图2如图2，由题意知AEFMNQ . MQ=AF=2，NQ=EF=1，MQN=AFE=90.设M（m，），N（n，）， 解得M（3，2），N（1，3）. 注：以上的解答是试题命题组给出的参考答案，以下的解法是笔者在试卷抽样中对学生的解法提炼出来的.这里没有考虑新旧教材的区别，仅供同行研究.方法3：如图2，设旋转中心P（m，n）， A（-1，0） E（1，-1） ,根据中点坐标公式得M（2m+1，2n） N（2m-1，2n+1）.M、N在抛物线上， 解得M（3，2），N（1，3）.方法4：如图2，由题意知，四边形AEMN是平行四边形，NMAE且MN=AE=，直线AE的解析式为y=, 可设MN的解析式为y=+b，联立方程组消去y，整理得 -4x-4+2b=0设M（、N（），由根与系数关系得 , =2b-4(=(-4=32-8b而MN=(+（）=(+（-+b）-（-+b）=(=5 32-8b=4 解得b=将b=代入方程组解得，M（3，2），N（1，3）.3试题评价从试题的编拟来看，试题简洁，设计的三个问题有层次性，体现了压轴题的选拔功能。整道试题阅读量较小，文字表达简练，不像有的压轴题表述冗长，在阅读理理解题意上增加试题的难度。试题的第（1）问比较常规，学生比较容易上手，增加了学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问出现的等腰梯形学生应该是比较熟悉的，这样可以让学生能够心平气和的思考问题，但在思维的层次上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍，第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出。这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的。并且，在问题的设置中，第（2）、（3）问是两个并列式的问题，这里也体现了试题编拟中人性化的艺术，学生如何第（2）问不会做，不影响他们解决第（3）问，真正作到人尽其才，试卷抽样发现就有一部分学生做出了第（3）问，而第（2）问没有做出来。从所考查的知识点和数学思想方法上看，考点全面，涉及到初中数学中核心内容。本题以抛物线为载体，综合了函数、方程、点的坐标、直线方程、平行四边形、等腰梯形、图形面积，图形的对称、平移与旋转，还有三角形全等和勾股定理等初中数学的主要知识点。在数学思想方法方面，渗透了数形结合和转化等数学思想，在第（2）问中，通过图形的分割将等腰梯形转化为一个矩形和两个全等的三角形，在第（3）问中将直线与抛物线的交点问题转化为方程组的问题；考查了待定系数法，第（1）是求二次函数的解析式，第（2）是求一次函数的解析式。考查了学生的思维能力、运算能力和创新意识，是一道具有一定思维深度的试题。从能力要求上看，对学生的解题能力提出了较高的要求。首先，要求考生对图形的性质能够灵活运用。在第（2）问中，结合点的坐标，推出四边形ABCD是等腰梯形。在此基础上方法1：求出直线y=kx-1与梯形上下底的交点坐标；方法2：充分运用等腰梯形的对称性进行图形的分割。在第（3）问中灵活运用平行四边形对边或对角线的性质。其次，要求考生对问题的条件进行适当的转化，能够将一个陌生的问题转化为自己熟悉的问题。在试卷抽样过程中，发现大量学生在解决第（3）问时，对问题中条件“将AEF绕平面内某点旋转180后得MNQ，使点M，N在抛物线上”有点不知所云，从而导致不能继续思考。其实，从解答中发现，这一条件就是等价于“在抛物线上分别找两点M、N，使AEMN为平行四边形”。正是因为改变了问题的呈现方式，从而增加了试题的难度。对学生来说，下一个障碍就是如何将几何问题转化为代数问题了。可以说：数学解题过程就是一个不停地转化过程。从抽样结果看，本题满分为12分，学生实际均分为2.9分，难度系数仅有0.25，可见此题对学生的能力要求是比较高的。从试题的解答来看，体现了关注差异、以人为本的新理念。学生个体差异表现在认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。从试题的解析中，我们可以看到在试题的编拟和设计中注重解决问题策略的多样性，每一问学生解题的入口宽，尊重了学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平，给不同的学生创造成功的机会。有利于增强学生进一步学习数学的兴趣和信心，体现了人文关怀，凸现了以人为本的新理念。在第（2）问学生可以从代数和图形特征两个角度进行思考；在第（3）问可以从平移、三角形全等、中点坐标、一元二次方程根与系数的关系等角度进行解决。比较几种解法，方法的技术含量越高，显得解决过程（往往表现为计算过程或推理过程）越简捷，例如第（3）问的方法1，这里体现了新教材中新增内容图形变换的考查，这种方法的运用也给学生的创新意识提出了更高的要求。并且该问还考虑到不同学生的能力水平的差异，设计了辅助AEF，达到让部分学生能够“跳起来就可以摘到桃子”的目的。 从初中、高中教学的衔接上看，本题有很好的发展性和导向性。从初中数学的视角来看，如上所述，本题考查了初中阶段所学的诸如函数、方程、变换、面积等重要知识点。同时又要求学生有扎实的数学功底、较强的分析问题和解决问题的能力，特别是问题的转化和联想能力。从高中数学的视角来看，本题为高中阶段进一步学习直线的斜率、向量的平移、直线与曲线的交点坐标的求法等知识埋下了“伏笔”。从追求完美来看，本题有一点小小的遗憾。从解答中，我们发现在（3）问中所求N点坐标为（1，3），而E点坐标是（1，-1），所以ENy轴，从而发现条件E点坐标有点特殊（因为导致结果有点特殊）。于是在试卷抽样中发现了如下的“投机取巧”的方法。如图3，延长EF交抛物线于N，再过D作DMNE，垂足为点Q，DQ交抛物线于点M。再连MN、AN、EM、AM，并且AM与EN交于点P。xy图3很易求得N（1，3）、Q（1，2）、M（3，2）由坐标知AEFMNQ AE=MQ MNQ=AEFAEMQ四边形AEMN是平行四边形将AEF绕平行四边形AEMN的中心P旋转180后得到的MNQ，顶点M，N在抛物线上。M（3，2），N（1，3）该方法的基本思路是先找出点的位置，再证明所找的点满足条件。上面的解法肯定是没有问题的，只是学生在无意识中发现了结论，就构造了这种“投机取巧”的方法。为完美起见，我们可以将E点的坐标改为（0，-1），这样不但可以避免上面“投机取巧”的方法，而且把辅助AEF隐藏起来了，使试题的构图更加简洁。其实，追求完美始终是试题的命制的一个永无止境的目标。 根据已知条件确定函数表达式（徐维）（1）用适当的函数关系式刻画某些实际问题中变量之间的关系; (2) 根据已知条件确定函数表达式 (3) 一次函数,反比例函数,二次函数的性质题1: 一次函数的图象过(1,4),且y随x的增大而增大，写出这个关系式。解析：答案不唯一，比如y=2x+2或y=4x题2 :二次函数图象的顶点坐标是（0，-1），写出满足函数条件的函数关系式。题3 :函数的图象过（1，4）和（2，2），试写出该函数的关系式。题4 :二次函数y=中，函数y与自变量x的部分对应值如下：x-2-10123y-16-6020m从中可以得出哪些信息。解析: 对称轴x=1 图象过原点 顶点坐标（1，2）a0 m=-6 与x轴交点坐标（0，0），（2，0）x1时,y随x的增大而减小题5:某个函数，当自变量x取值在210（含2和10）之间的数据，其对应的函数值在610（含6和10），且较大的自变量对应的函数值也较大，试根据已知条件确定其函数表达式。题1，题2为半开放设计，涉及函数的性质，其关系式的表示既可以是顶点式也可以是一般式。题3为开放性设计，三种函数均可表示。这样知识网络的建构在做题的过程中悄无声息地完成。题4为开放性设计，以表格的形式呈现，可以将一般式解出，又可直接从二次函数的对称性得出m，思维层次的考察较为合理。题5改编于安徽省2007年的压轴题，对学生的阅读能力有较高的要求，题中隐含了对函数模型的识别（一次函数，二次函数均可）。如果从二次函数的性质入手，选用顶点式还是一般式将是思维水平的考验。课堂实践证明，这样的教学设计效果明显，不仅如此，最可贵的是自己有了这样一次独特的教学经历，对后续教学设计研究的思维方式有了突破。函数图象的对称性(王振武)1.已知二次函数的图像如图，有下列4个结论：， ， ， xy其中正确的结论有（ ）A1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是( ) Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y2 3已知二次函数（是常数），与的部分对应值如下表，当满足的条件是 时，01230204.已知点（2，5）、（4，5）是抛物线上的两点，则的值为 如图，已知抛物线y=a-2ax+b与轴交A，B两点，与轴交于点，ABC的面积为24.ABCOxy5.如图,反比例函数与直线交于C,D两点,求.用函数思想解决动态问题(袁俊峰)数学思想方法是数学的灵魂, 力图通过数学思想方法的考查，体现能力立意。对数学能力和数学素养的考查，往往表现对数学思想方法上。新课改后的中考数学压轴题已从传统的考察知识点多、难度大、复杂程度高的综合题型，逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上讲：（1）运动中的极端化思想；（2）方程思想；（3）函数思想；（4）数形结合思想；（5）分类思想；（6）转化思想等。客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生利用函数的思想解决一些几何问题的能力，同时为后续的高中甚至大学学习解析几何奠定相应的基础。动态问题是近几年来各地中考试题中出现得较多的一种题型这类集几何、代数知识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力其解题策略是“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”，抓住要害，各个击破 下面我就用函数思想解决动态问题举两个例子加以说明。【例1】（2008年武汉四月）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，且A（4，0），OC2OB.（1）求次抛物线的解析式；（2）如图1，作矩形ABDE，使DE过点C，点P是AB边上的一动点，连接PE，作PHPE交BD于点H。设线段PB的长为x，线段BH的长为。当P点运动时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围，在同一直角坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中的部分有何关系？（3）如图2，在（1）的抛物线中，点T为其顶点，L为抛物线上一动点（不与T重合），取点N（1，0），作MNLN且（点M、N、L按逆时针顺序）。当点L在抛物线上运动时，直线AM、TL是否存在某种确定的位置关系？若存在，写出并证明你的结论；若不存在，请说明理由。【思路点拨】（1）；（2）AEPPBH,，（0x6）与原抛物线形状相同，将（1）中的抛物线向右平移4个单位即得到；（3）TLAM,TNL=ANM, 且,LNTAMNAQCPB图（1）【例2】（2008年山东青岛）已知：如图（1），在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；AQCPB图（2）（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证APQ ABC；（2）过点P作PHAC于H（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQP C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。图BAQPCH解：（1）在RtABC中，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若PQBC，则APQ ABC， （2）过点P作PHAC于HAPH ABC， （3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ， 解得：若PQ把ABC面积平分，则， 即3t=3 t=1代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分P BAQPC图MN（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQP C是菱形，那么PQPCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ， ，解得：当时，四边形PQP C 是菱形 此时，在RtPMC中，菱形PQP C边长为【例3】（2008年山东德州）如图（1）,在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx （1）用含x的代数式表示NP的面积S； （2）当x为何值时，O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMNPOABCMNDOABCMNPO 图（1） 图（2） 图（3）【思路点拨】（1）证AMN ABC；（2）设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQBC 于Q，证BMQBCA；（3）先找到图形娈化的分界点，2。然后 分两种情况讨论求的最大值： 当02时， 当24时。ABCMNP图 （1）O解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即 ANx =（04） ABCMND图（ 2）OQ（2）如图（2），设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 过M点作MQBC 于Q，则 在RtBMQ与RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ， x 当x时，O与直线BC相切 （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点ABCMNP图 （3）O MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当02时， 当2时， 当24时，设PM，PN分别交BC于E，FABCMNP图 （ 4）OEF 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 又PEF ACB 当24时， 当时，满足24， 综上所述，当时，值最大，最大值是2反思：纵观全国各省、市的中考数学试题，它的压轴题均是借鉴于上年各地的中考试题演变而来。所以，研究上年各地的中考试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。只有这样，学生能力才能得以培养，解题方法、技巧才能得以掌握，学生才能顺利地解答未来中考的压轴题。二次函数基本信息的获取与利用(童绥宝)函数概念的理解和函数思想方法的建立是初中函数教学的重点，也是学生高中继续学习的必备知识，对学生的后续学习极其重要，函数基本信息的获取和利用是基础，也是中考的重点考查对象，在复习中应引起重视。一 由解析式获取信息1 对称轴的确定：如y =3ax22ax+1隐含着对称轴为x=。2 与坐标轴的交点：如y=3ax2-2ax+1 与y轴的交点为（0，1）；y=2ax2-3x过原点；y=ax2-2ax-3a的对称轴以及与x轴的交点均可获取。二 由图像获取信息1 由开口方向确定a的符号。2 由对称轴的位置确定b的符号。3 由图象与y轴的交点位置确定c的取值。4 利用对称性由图象与x轴的两交点确定的取值范围。5 对称性的运用： （1）由图象与x轴的一个交点和对称轴可确定另一交点。 （2）与y轴交点的坐标和对称轴确定平行弦的长及平行弦与抛物线的另一交点的坐标。6 函数值的取值范围的确定。 抛物线与面积(李静)1、(03年中考)已知二次函数解析式为y=-2x-3, 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。问：是否存在直线y=kx+b交抛物线于P、Q两点，使y轴平分CPQ的面积，若存在，求出k、b满足的条件。若不存在，说明理由。答：存在k=-2，b-3使y轴平分CPQ的面积。解：过P作PMy轴于M，QNy轴于NXYy轴平分CPQ的面积=PM=QN -=联立-（2+k）x-3-b=0+=2+k=0 k=-2又=-3-b0 b-3反思： 这类题其实根据所给出的几何特性：y轴平分CPQ面积，将等分面积的问题转化为线段相等的问题，即P、Q到y轴的距离相等，再将线段相等转化为点的坐标关系，即：-=建立方程，得出本题的解，完成了从形到数的转化。XY2（06年中考）已知：二次函数的图象交x轴于、两点，交y轴正半轴于点C，且。（1）求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D(0，)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。 解：（1）y=x2-4x+3（2）过点（0，）的直线与抛物线交于M（）、N（）两点，与x轴交于点E,使得点M、N关于点E对称，设直线MN的解析式：y=kx+则有由4+k=0 k=-4 y=-4x+替换问题：是否存在一条直线交抛物线于P、Q两点，使得线段PQ被x轴或者y轴平分？是否存在一条直线交抛物线于P、Q两点，使得以PQ为直径的圆心在x轴或者y轴上？3、（05年中考）已知：y=-x-2,与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，问：在第一象限是否存在一点P使=6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由。方法一：过P作STAC交x轴于T、交y 轴于T点=6 AT=6OT=5 T（5，0）AC解析式：y=-2x-2YXPT：y=-2x+bT（5，0）带入：b=10PT解析式：y= -2 x +10联立 XYP（3，4）方法二：过P分别作X轴，y轴的平分线 过A作y轴平分线 过C作x轴平行 相交于S、T、M点设P（a,b）则：62a+b=10 又 由可得：P（3，4）反比例函数的几何意义(何亚琴)反比例函数的几何意义：反比例函数的图像上任意一点A作x轴、y轴,的垂线AB、AC，垂足分别为B、C，所得的长方形ABOC的面积,基本图形一：利用几何意义求K的值1如图，A点为平面直角坐标系中一点，过A点作ABX轴于B点，作ACy轴于C点,反比例函数的图像与AB交于点Q，与AC交于点P，已知Q点为AB的中点，四边形AQOP的面积为4，求k的值2、如图,直线y=kx-b的交双曲线于A点，分别交x轴、y轴于C、D两点，过A点作ABx轴于B点，若ABO的面积与ABC的面积都是1，求k的值3、如图，直线交双曲线于A、B，过A点作AEx轴于E，过B点作BFy轴于F，连接AF，则的面积是1求k的值二：利用几何意义求图形的面积1、如图：反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点（1）求出A、B两点的坐标（2）过A点作ACAB交x轴于C点，连接BC，求三角形ABC的面积三：利用几何意义求待定系数的值1、如图，直线与双曲线交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，BCx轴于C，ADy轴于D，若ADF, BCE, AOB面积的和等于EFO面积的，求b的值四：利用几何意义解函数综合题1、如图，在双曲线的图像上有一点A，过A点向x轴作垂线，垂足为B，连接OA，所得等腰直角三角形ABO的面积为2（1）求k的值（2）在函数图像上有一点P（P点始终在A点的左侧），过P点向x轴作垂线PQ，垂足为Q, PQ与AO交于点N，连接OP，的面积与四边形ABQN的面积是什么关系？（3）在(2)的条件下，是否存在一点P，使得的面积是的面积的？（4）利用（3）问中求出的P点坐标，计算四边形ABOP的面积二次函数与特殊四边形(李衡)二次函数与几何问题是最常见的代数与几何的综合问题，一般来说难度也是最大的。这一类综合题融汇的知识点多，选拔功能强，故历年来全国各省、市常常将这类综合题作为压轴题来考察。而几何问题往往离不开特殊四边形，无论是考察周长，面积或是点的坐标，二次函数与特殊四边形结合的一类型代数与几何的综合问题都是近几年来各地中考压轴题的热点问题。就拿武汉市近两年中考、调考题来说，去年(2008年)中考压轴题的第二问就出现二次函数与等腰梯形相结合的综合问题；而前年（2007年）中考压轴题的第二问则出现了二次函数与正方形相结合的综合问题；又如去年（2008年）四月调考中压轴题的第二问则出现了二次函数与矩形的综合问题。以上三个题目正好代表了近几年中考中出现得较多的二次函数与特殊四边形相结合的综合问题的三种题型。一特殊四边形作为条件给出，然后利用特殊四边形的性质结合二次函数解析式或图像来解决问题。例1（武汉市2008年四月调考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，且A（4，0），OC2OB.（1）求次抛物线的解析式；（2）如图1，作矩形ABDE，使DE过点C，点P是AB边上的一动点，连接PE，作PHPE交BD于点H。设线段PB的长为x，线段BH的长为。当P点运动时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围，在同一直角坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中的部分有何关系？说明：本题第二问以抛物线与X轴的两交点为顶点作出矩形ABDE，根据抛物线解析式可求出矩形的长和宽，利用矩形的性质可证明相似三角形，得到两对直角边对应成比例，从而得到X与之间的函数关系式。例2例2. （梅州市2008年中考）如图所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）。说明：本题直接把等腰梯形作为条件，根据等腰梯形的性质求出A、D、C三点的坐标，进而求的过A、D、C三点的抛物线的解析式。yxODECFAB例3.（沈阳市2008年中考题）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式。说明：将矩形和矩形的旋转变换作为条件，即在图中出现两个全等的且对应边夹角为的矩形。利用矩形和旋转的性质即可判断点E在轴上，并可求出三点坐标，从而求出抛物线解析式。二特殊四边形未作为条件直接给出，而是根据二次函数解析式或图像可以证明出，然后再利用特殊四边形的性质并结合二次函数解析式或图像来解决问题。ACOBD图1例1.（武汉市2008年中考）如图1，抛物线经过A（1，0），C（3，2）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B。求此抛物线的解析式；若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值。说明：本题中第二问要平分四边形ABCD的面积，由抛物线的轴对称性易证四边形ABCD为等腰梯形，然后就是平分等腰梯形面积的问题了，方法很多，最直接想到的是作梯形的两条高，将等腰梯形分成矩形和两个直角三角形，然后找到矩形的重心，求出其坐标，代入直线解析式即可。xlQCPAOBHRy例2.（镇江市2008中考)如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点； （2）求证：四边形为平行四边形； 平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由 说明：本题第二问要求证明菱形APQR，利用第一问结论易证平行四边形APQR，然后设出P点坐标，利用二次函数解析式表示出AP=PQ即可。而第三问即可利用菱形的性质设出P，H两点坐标，表示出直线PH的解析式，从而证明抛物线与直线PH只有一个交点P。三特殊四边形的存在性问题。则假设存在后，关键是根据条件去求出或作出或找出符合条件的形的对象，然后将特殊四边形作为条件结合二次函数解析式或图像来解决问题。O(第25题图)ABCDxy例1(武汉市2007年中考)如图，在平面直角坐标系中，RtAOBRtCDA，且A(1，0)、B(0，2)，抛物线yax2ax2经过点C。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；说明：本题第二问，解决正方形的存在性问题，可先以AB为一边按要求作出正方形ABPQ，然后再将正方形ABPQ作为条件，利用正方形的性质构造全等三角形求出P、Q两点坐标。yxODECFAB例2.（沈阳市2008年中考）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由说明：本题第三问是结合特殊四边形面积考查的一类存在性问题，解题关键在于利用同底的矩形与平行四边形面积比等于高的比求出P点的纵坐标。例3.（武汉市2008年中考）如图1，抛物线经过A（1，0），C（3，2）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B。求此抛物线的解析式；若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；如图2，过点E（1，1）作EF轴于点F，将AEF绕平面内某点旋转180后得MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标OEBDAF图2ACOBD图1说明：本题第三问看似与四边形无关，其实我们可以把它看做是平行四边形的存在性问题，即利用中心对称的性质，可以将题意理解为在抛物线上是否存在点M，N，使四边形AEMN为平行四边形。然后利用解决此类存在性问题的方法来解决。直线的平移对称和旋转(谭克英)由桂教授的最后一题，结合中考第21题的题型针对直线的对称、平移旋转，谈一下平时在教学中的一些想法和做法：我认为解决这一类问题的总体思想是：两点确定一条线，因此，找到原图象中的两个点的坐标，经过变换后的坐标，从而利用待定系数法解决此题，具体的说： 直线的平移在平移过程中，对于直线y=kx+b(k0)中，k不变，则只需要找到一个点的平移就可以了，对于上上平移，左右平移，学生对此比较熟练，对于倾斜方向平移，就不那么熟悉。xy例：巳知点C在直线y=3x+3上在第一象限内一点，与坐标轴交于点M，直线y=2x+1交Y轴于点A，交X轴于点B，将直线AB沿射线MC方向平移2个单位，求平移后的直线解析式。教学生做题时，不需要画出y=2x+1的图象，只需选取其中一点（比如点A）过此点作y=3x+3的平行线，取AA=4，利用角度的正切值求出A坐标，再代入到y=2x+b中即为解决此题。直线的对称分为六类1、关于X轴对称，则X相同，Y互为相反数。例如：y=2x+1则为-y=2x+1即y=-2x-1x2关于Y轴对称，则X互为相反数，Y相同。3、关于原点对称，则X、Y都互为相反数。4、关于平面内的任意内的任意一点对称，其实质就是中心对称，这一点成为对称中心，可以利用用中点坐标解决。5、关于平行于Y轴的直线对称。6、关于平行于X轴的直线对称直线的旋转直线旋转，改变了y=kx+b中（k0）k和b，因此需要找到两个点的变换，从而求解。例：直线y=x-3饶点（0，-2）逆时针旋转900，求直线的解析式。xy分析：建立平面直角坐标系，选取与坐标轴的两个交点A（0，-3）、B（3，0），进行求解。yx注意三个问题、旋转点；、旋转方向；、坐标与长度的关系。二次函数的应用(黄玉兰) 一分析数量关系型二次函数关系的应用1.（武汉市2008中考试题）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件.设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件.（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润是多少？u 分析数量关系型的应用题中，一般题设会结合实际情况给出一定的数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用，解答的关键是分析题意，正确写出数量关系。试题注重对学生的理解能力、应用能力、分析能力和综合能力的考查。（1）在教学中，我发现这类题目主要是学生理不清众多数量之间的关系这是这类题目的第一个失分点，我觉得在教学中应教会学生建立数学模型，时刻体现数形结合的思想，让各个数量之间的关系明朗化。售 价销 售 量40元150件1元10件x元10x（40+x）元（15010x）件 （2）自变量的取值范围是第2个失分点，学生易得0x5，往往忽视了x的在实际生活的意义，如x是产品的件数时，应强调x为整数。此题则题目已注明x为正整数，也应加在自变量的取值范围里。（3）求利润最大是学生的第三个失分点，在教学中应让二次函数的配方成为公式化。不断强化此程序，可收到良好的效果。具体如下：提取二次项的系数（只对含自变量的项提取）；配方：即加上一次项系数一半的平方，并注意加减归零。配成顶点式后，最值易得，但要注意自变量取值范围及其它限制条件，能否取顶点坐标。W=（15010x）（x10）=10x2+50x+1500=10（x25x）+1500 第一步=10（x25x+）+10+1500第二步=10（x）2+1562.5x=2或3，有最大值，另考虑销量最大，所以取x=2，此时定价为42元，最大利润为1560元。第三步（4）（补充说明）如变式此题：如何定价，才能获利？初看是解二次不等式（10x2+50x+15000），似乎难度很大，其实也是考察了学生的实际运用的能力，可结合二次函数的图象，将不等关系转化为相等关系，即x轴上方的图象所对应的x的取值范围。易得10x15，所以30定价45。以下也是此类二次函数的应用题，可用类似方法解决，这里不一一详解。2（2008年4月调考试题）进价为每件40元的某商品，售价为每件60元时，每星期可卖出300件。时常调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出20件，但售价不能低于每件45元。设每件降价x元（x为正整数）。（1）设每星期的销售量为y件，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润。3（2008年十校联考试题）某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销售y（万件）存在函数关系z=10y+42.5(1)求y与x的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售总额年销售产品的总进价年总开支金额）；并求出销售单价x为何值时，年获利最大？最大值为多少？（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围。在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？Y（万元）X（元）5370 900 二建模型二次函数的应用建模型二次函数要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象，性质解决实际问题，这类问题要求自己合理构造直角坐标系，建模要求高，有一定难度。1 有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点P到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？这类题目主要是引导学生合理的建立直角坐标系，以及利用设点的坐标表达线段长，特别要注意坐标表达线段长时的符号问题。2 王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=x2+x，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离洞的水平距离还有2m，（1） 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴。（2） 请求出球飞行的最大水平距离。（3） 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应