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数学教学典型案例及评析第一节 初中数学教学典型案例及评析课例1 等腰三角形的判定师：我们已经学习了等腰三角形的性质，哪位同学来叙述一下? 生1：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合师：很好下面有这样一个问题：如图1，ABC是等腰三角形，AB=AC，一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C。同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来?大家试试看。 ABCABC图1 学生先画出残余图形，略作思索，然后独立画图画好后，学生间相互交流画法教师在全班巡视，不时参加学生间的议论最后由两名学生口答画图的方法生2：先用量角器量出的度数，然后以BC为一边，B为顶点画出，和的一边相交得到顶点A。如图2左所示。ABC图2DABC 生3：取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线，与的一边相交得到交点A，连结 AB如图2右所示 师：很好!刚才我看了一下，同学们大都想出了上面两种画法第一种方法，用角相等的方法来画第二种方法用过一边中点作垂线的方法来画，同学们，你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗? 生众：是的 师：为什么是等腰三角形呢?这就是我们今天所要学习的内容“等腰三角形的判定”，板书课题 师：要判定刚才作出的三角形是等腰三角形，应当给出证明我们先分析第一种画法，即在两角相等条件下能否判定画出的是等腰三角形?大家想一想，在这里已知是什么?求证又是什么? 生4：已知：在ABC中，求证：AB=AC 评 第一种画法正好可以得出这节课要学的判定定理，第二种画法则是今后学习线段垂直平分线性质的事实基础据了解，当时学生还有将残余图对折的第三种画法，而这又是等腰三角形对称性的体现理论源干生活，对于初学平面几何的学生来说，选择适当时机让他们从个体的实践经验中学习，可以提高其学习的主动性 在这里，等腰三角形的判定定理不是由教师给出，而是学生凭经验画图，那么画出的图形究竟是不是等腰三角形呢?产生了问题，然后从问题出发，得出判定定理这样做，学生改变了只是被动接受的状况，因此，学习的兴趣和积极性大有提高。师：考虑一下，这个问题怎样来证明，已知告诉我们的是两个角相等，要求证明的是两条线段相等。那么，要证明两条线段相等，常用什么方法?生众：三角形全等师：图上有吗?生众：没有师：那怎么办?生众：添辅助线师：同学们动手做一做，怎么添辅助线，又怎么证明？把主要证明过程写下来 学生练习，教师巡视了解情况待全班学生基本完成证明之后，教师要求学生相互议论：还有哪些不同的证明方法?全体同学对不同的证法很感兴趣，接着，教师请学生叙述自己是怎么证明的 生5：作的平分线AT，交BC于T，如图3左所示，在和中， 师；这位同学添了的平分线，通过“角角边”来证明三角形全等，从而得到AB=AC 。还有其他方法吗? 生6 ：过A点作，垂足为D。如图3中所示 ， 师：这位同学作了BC边上的高AD，两个直角三角形全等，还有其它方法吗？生7：作BC边上的中线AM，如图3右所示，用“边角边”证全等 AM是BC边上的中线，BM=CM 在和中 嗯这名同学发现不对，停顿不讲了，不少同学也纷纷指出他的错误，这是“边边角”，不能证明三角形全等评想出如此多样的证明方法，可见兴趣的力量是不可低估的“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”，由“好”和“乐”所产生的迫切追求和探索知识的热情是克服一切困难的内部动力TABCDABCMABC 图3左 图3中 图3右， 师：经过证明我们知道，刚才大家通过画图获得的那个几何命题是正确的，它可以作为“等腰三角形的判定定理”，同学们能不能用语言来正确叙述一下这条判定定理? 生8：有两个底角相等的三角形是等腰三角形教师板书 师：大家有不同意见吗?在没有说明它是等腰三角形之前，能不能讲“底角”? 生众：不能！ 教师擦去“底”字，定理变为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，然后，教师要求学生翻开课本，集体朗读课本上的判定定理：“如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 师：课本上讲的和同学们讲的似乎有些不同，但实质上是一致的同学们讲的等腰三角形没讲明是哪两条边相等，课本上讲清楚了，是相等的角所对的边相等，所以这条判定定理又简称“等角对等边”此外，能不能判定第二种画法画出的三角形也是等腰三角形呢?这个问题留给大家课后去考虑有了这条判定定理，今后我们证明线段相等，又多了一种方法：在一个三角形中，如果角相等了，就可以得到所对的边也相等下面我们一起应用这条定理来研究一些题目：先看第一个题目： 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 想一想，题设是什么?结论又是什么?如何写成已知、求证的形式? 生9：题设是“三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边”，结论是“这个三角形是等腰三角形” 12CA BECA B D 图4左 图4右师：结合图4左，具体说一下 生9：已知：求证：AB=AC 师：这个题目要求证明一个三角形中的两条边相等，应该怎样证? 生众：只要证两个角相等 师：题目已知是，能不能使已知的两个角相等和要证明的两个角相等建立联系?思考一下请同学们回答 不少学生举手要求回答，此时教师指定一名学生口述 生10：AEBC (已知)，(两直线平行，同位角相等)，(两直线平行，内错角相等)； (已知)， (等量代换)，AB=AC(等角对等边) 教师随学生口述板书 师：很好。本题要求证ABC的两边AB=AC，其实只要证明，由已知的角平分线性质就容易证出。接下来，我们研究第二个题目： 如图4右，ABC中， BD=CE，求证。 这个题目是证明两个角相等，看清和在图中的位置。请同学们画画、想想，如何充分利用已知条件。 学生在图上比划，简要地记下证明的思路 师：就做到这里，请哪位同学把你思考的主要过程讲一讲? 生11：要证明，就必须先证明AD=AE，要得到AD=AE，我是通过三角形全等的方法来解决的。 师：哪两个三角形? 生11：ABD和ACE。 师：你用什么方法证它们全等? 生11：我是用“边角边”的方法。AB=AC，BD=CE。 师：条件中没有AB=AC啊！ 生11：这在ABC中由可得。师：这位同学根据已知条件，利用刚才学到的判定定理“等角对等边”得出了AB=AC，再结合已知条件BD=CE，用这三条件推出了ABD和ACE全等，于是AD= AE，最后在ADE中利用等腰三角形的性质定理“等边对等角”得出。教师边讲边板书下列思路方法一师：还有没有不同的方法？生12：要证，可以用等角的补角来证，就是先证师：是怎么得来的?生12：是用三角形全等，就是得出的。师：这位同学的思路是：教师板书方法二。师：还有其他方法吗? 生13：用全等三角形的对应角来证。师：哪两个三角形全等?生13：。 师：这两个三角形为什么全等? 生13 ：因为BD=CE，所以BD+DE=CE+ED，就是BE=CD，加上，AB=AC，所以三角形全等。 师：对，很好！这位同学先由等式性质得出BE=CD，然后根据，结合今天学习的等腰三角形的判定定理得AB=AC，最后利用“边角边”得ABE与ACD全等，马上得出对应角相等。板书 方法三（略） 师：很好！这道题同学们想出了很多方法，第一种方法：把和理解为同一个三角形的两个内角，用“等边对等角”的思路结合三角形全等得到。第二种方法：通过等角的补角来证，也是结合三角形全等得到。第三种方法：是把和直接看作两个全等三角形的对应角证出想出的方法多，说明同学们能够从不同的途径去考虑问题。 评 这两道基本例题编排得很好。第一道题比较容易做，是等腰三角形判定定理的简单应用。它安排在练习的开头，让所有学生都能顺利完成，由浅入深是必要的。第二道题则进了一层，证明时既要应用判定定理，又要应用性质定理，绕了个弯，而且可有几条证明途径，这可以了解学生灵活运用以往学过知识的能力。在数学教学中，配置合适的习题，并且有效地利用它们，对于学生在课堂上独立地、积极地进行认识活动具有重要作用，值得引起注意。 ABCOABCOE F 图5左 图5右师：下面我们一起来研究第三个题目：如图5左所示，在ABC中，已知，BO平分，CO平分，请同学们想想看，在这张图上，由这两个已知条件，你能导出什么结论? 生14：可以得出。师：能不能从道理上说明一下?生14：因为，BO平分，CO平分，根据等量的一半相等，可以得到。另外还可以得到OB=OC，理由是“等角对等边”。 师：好！现在把这个题目变化一下，大家看清楚，就在这张图上，过O作一条直线EF和边BC平行，与AB交于E，与AC交于F，如图5右所示。 请同学们考虑两个问题：仔细寻找一下，这张图中有几个等腰三角形?为什么?添上去的这条线段EF和图中的线段 EB、FC之间有没有关系?如果有，是怎样一种关系? 学生思考一两分钟后，教师要求他们相互讨论，顿时气氛热烈。有些学生认为有两个或三个等腰三角形，另一些学生则认为共有五个等腰三角形，还高兴地把自己的理由说给其他同学听。在讨论线段EF时，不同意见更多了。有的说O是线段EF的中点，因此EF是EB或FC的两倍，还有的说EF等于EB、FC的和教师在各个讨论组之间巡视，并参加一些小组讨论 师：好！讨论到这里，请同学们发表意见。先回答第一个问题：图中有几个等腰三角形? 生15：有五个。 师：哪五个? 生15：ABC、OBC、AEF、EOB、FOC。 回答略 师：很好！大多数同学都看出有五个等腰三角形。第二个问题：添上去的线段EF和EB、FC之间有没有关系?如果有，是怎样一种关系? 生16：有关系，EO、FO、EB、FC这四条线段都相等。 师：讲讲理由看。 生16：因为ABC是等腰三角形，所以。AB：AC；因为AEF是等腰三角形，所以AE=AF。利用等式性质就可以得到 EB=FC。又因为EOB和FOC都是等腰三角形，所以EB=EO，FC=FO。这样EO、FO、EB、FC四条线段就都相等了。 师：大家听懂没有?这位同学用了四个等腰三角形，也就是通过四组对边相等并结合等式性质推得结论。还有其他的方法吗?请同学们回去思考。根据这四条线段相等，EF和EB、FC的关系是怎样的?噢！他还没有讲完 生16：EF是EB或FC的2倍。 师：很好。四条线段相等了，EF就是EB或FC的2倍。 生16：还有，EF=EB+FC。 师：对!还可以得到EF=EB+FC。我们把这个题目再改变一下，原来、是相等的，现在变成不相等，但是，BO、CO还是、的平分线，还是EF/BC。认真想一想，这个图形中还有没有等腰三角形?若有，又有几个?EF和EB、 FC之间还有没有关系?如果有，又是怎样一种关系? 生17：没有等腰三角形。师：他认为这图上没有了，同学们再仔细观察一下，究竟有没有?生众：有的。师：有哪几个?生18：EOB和FOC。师：理由?生18：因为两直线平行，内错角相等，得到EOB=OBC，因为BO是角平分线，所以EBO=OBC，所以EOB=EBO，EBO是等腰三角形。FOC也是等腰三角形的道理是一样的。 师：噢！还有等腰三角形，不过由五个变成了两个。第二个问题，线段EF和EB、FC之间还有没有关系? 生19：仍有EF=EB+FC这个关系。 师：对，仍有这一种关系，在等腰三角形EOB中，EO=EB，在等腰三角形FOC中，FO=FC，合起来就是EF=EB+FC。这个题目，从原来两个角相等，变成了不等，但是角平分线和平行线这两个条件没有改变。EOB、FOC还是等腰三角形，所以还是保持着EF=EB+FC的关系。 评 这道讨论题比前面两道题目要求更高一些。第一，它要求学生能根据已知条件自行推测可能的结论。第二，通过图形的变化、引申，让学生在条件变化时观察论证结论的变化。这些做法，可逐步培养学生举一反三、灵活转换的基本能力，发展学生的思维，提高课堂教学的时间利用率。课后，我们曾以不同类型的题目进行当堂效果测验，平均分为89.51，可见适当的变式练习，是使学生熟练掌握解题技能技巧的有效措施之一。 师：今天这节课我们学习了什么呢?第一，我们学习了等腰三角形的判定定理：“等角对等边”。它与前面我们学过的等腰三角形的性质定理：“等边对等角”，都是说同一个三角形边角之间的一种相依关系，即在一个三角形中，边等可以得到角等，角等可以得到边等。今天初步应用判定定理研究了一些题目。第二，这个判定定，理是同学们通过画图、估计，然后加以证明，由自己得出来的，在证明定理和应用定理时，同学们都注意从几种途径来思考，得到了很多解法。在第三个练习中，同学们不仅能够根据已知条件自行推测可能的结论，而且能在已知条件发生变化时，观察结论的变化，这些都是训练我们思维能力的有效方法。请同学们在平时作业中也要多进行这种尝试。 今天的课外作业：课本第83页，习题八3，7A组的2、3、4、5、6题。还有刚才讲的思考题：第二种画法得到的是不是等腰三角形?为什么?思考题不必做在作业本上，评 该课例是上海市青浦县一位数学教师的课堂教学实例，曾获得上海市青年教师教学比赛大奖，是上海市青浦县“顾冷沅教改实验小组”总结出的一种新型数学教学方法“尝试指导，效果回授法”。这种方法有利于调动学生学习积极性，激发学生的主动精神，发展能力。青浦县在以此种教学方法改革为枢纽的教改实验中，已取得了实践与理论认识升华的双丰收。他们在全县范围内大面积提高了初中数学教学质量。 编者注2这种方法的程序是：诱导尝试变式归纳回授调节。具体做法是： (1)启发诱导，创设问题情境 教师根据教材的重点和难点，编制问题，使学生产生认知冲突，在强烈的求知欲望下，在注意力高度集中、思想最活跃的状态中进行尝试学习。 (2)尝试探求知识 教师指导学生开展尝试活动。学生通过阅读、观察、实验、联想、归纳和推演等方法，尝试探求新知识和新方法，解决提出的问题。 (3)尝试变式练习 通过变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论；变换问题的形式或内容；配置与新知识有关的实际应用题，让学生进行变式训练，培养学生举一反三、灵活应变、独立思考的能力。 (4)归纳结论，纳入知识系统 组织和指导学生归纳概括知识和技能的一般结论，结合必要的讲解，揭示这些结论在教材整体中的相互关系和结构上的统一性，揭示新旧知识之间的内在联系，完善学生认知结构。 (5)回授尝试效果，组织质疑和讲解 教师通过观察、交谈、提问、分析、课内巡视、课堂练习和考查考试等反馈方法，及时了解学生掌握知识情况，回授尝试效果，有针对性地进行质疑和讲解。 (6)单元教学效果的回授和调节。 在单元学完之后，再次进行教学反馈，给那些对这段内容学习有困难的学生，予以个别指导和帮助。 上述几个教学环节相辅相成，组成了一个有特色的教学结构，而反馈调节更是贯穿课堂教学始终。有人为此指出，这种教学方法还是一种基本教学模式。需要指出的是，这种教学方法当然需要借鉴，但是蕴含在教学方法中的原理，如情意原理、序进原理、活动原理和反馈原理更是需要认真学习和领会的。本节课除了具有前面已经评述过的创设问题情境、激发学习兴趣以及组织尝试练习等特点外，还采用了讲、议、练结合的方法。教师通过观察、提问、巡视、谈话等活动，及时了解学生的学习、练习过程，随时反馈调节教法，尽量做到个别辅导，把学生的思维发展与学习效果结合起来。课例2三角形全等的判定 教学目标1. 通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性.2. 比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法,初步培养学生的逻辑推理能力.3. 初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法.4. 掌握证明三角形全等问题的规范书写格式.教学重点和难点应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式.教学过程设计一、 实例演示，发现公理1 教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式.2 在此过程中应启发学生注意以下几点：（1） 可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm,可将ABC绕A点转到B与C重合；由于BAD=CAE=120，保证AD能与AE重合；由AD=AE=5cm,可得到D与E重合.因此BAD可与CAE重合,说明BADCAE. （2）每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法用全等三角形的性质来判定.（3）由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.3.画图加以巩固.教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象.二、提出公理 1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS的含义2强调以下两点： （1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等 （2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上 3板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程 如图3-50，在ABC与ABC中,（指明范围） 三、应用举例、变式练习 1充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习， 例1已知：如图 3-51， ABCB，ABDCBD求证：ABDCBD 分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BDBD得到 说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等 （2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）分析：ABDCBD因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD （3）可将此题做条种变式练习：练习1（改变结论）如图 3-51，已知 ABCB，ABDCBD.求证：AD=CD，BD平分ADC.分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；对应角相等ADB=CDB，即BD平分ADC.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等.练习2(改变条件）如图 351，已知 BD平分ABC， AB CB求证: AC 分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有ABCB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作教师板书完整证明过程如下： 以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式 （4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法 练习 3如图 3-52（c），已知 ABAE， ADAF， 1=2求证： DB=FE 分析：关键由12，利用等量公理证出BADEAF. 练习 4如图 3-52(d)，已知 A为 BC中点， AE/BD， AEBD求证： AD/CE 分析：由中点定义得出 ABAC；由 AE/BD及平行线性质得出ABD=CAE 练习 5已知：如图 3-52(e）， AE/BD， AEDB求证： AB/DE 分析：由 AE/BD及平行线性质得出ADB=DAE；由公共边 ADDA及已知证明全等 练习6已知：如图352（f），AE/BD，AEDB求证：AB/DE，ABDE 分析：通过添加辅助线连结AD，构造两个三角形去证明全等 练习 7已知：如图 3-52（g）， BAEF， DF=CA，EFD=CAB求证：B=E 分析：由DFCA及等量公理得出DACF；由EFDCAB及“等角的补角相等”得出BADEFC 练习8已知：如图352（h），BE和CD交于A，且A为BE中点，ECCD于C,BDCD于 D， CEBD求证： ACAD 分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件对顶角相等转化为已知两边的夹角B=E，这点利用“等角的余角相等”可以实现 练习 9已知如图 352（i），点 C， F， A， D在同一直线上， ACFD， CE=DB， ECCD，BDCD，垂足分别为 C和D求证：EF/AB 在下一课时中，可在图中连结EA及BF，进一步统习证明两次全等 小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径 缺边时：图中隐含公共边；中点概念；等量公理其它缺角时：图中隐含公共角；图中隐含对顶角；三角形内角和及推论角平分线定义；平行线的性质；同（等）角的补（余）角相等；等量公理；其它 例2已知：如图353，ABE和ACD均为等边三角形.求证：BD=EC 分析：先选择BD和EC所在的两个三角形ABD与AEC，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供 四、师生共同归纳小结 1证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个条件？ 2在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？五、练习与作业练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题.作业：课本第32页中第6，7，8，9，10题.课堂教学设计说明本教学设计需2课时完成.1课本第3.5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题.2本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性.3本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化.4教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练.5教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系.6本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。资源选自课例3初二平行四边形的性质与判定的综合运用习题课 教学目标1、综合运用平行四边形的性质和判定来解决几何问题 2、培养学生分析几何问题的方法 教学重难点 让学生学会证明和根据需要来构造平行四边形 教学过程复习 1、 平行四边形的性质和判定 2、 理解学习了平行四边形后，证明全等和利用平行四边形的关系 二、例题讲解 例1、 ABC中，延长中线CE至G，使EG=CE，延长中线BD至F，使DF=BD，求证：G、A、F三点共线。 证明思路： 1、 证明四边形GBCA为平行四边形BCGA 2、 证明四边形ABCF为平行四边形BCAF 因为过直线外一点A作BC的平行线只有一条 GA与AF为同一条直线 即G、A、F为三点共线 注 通过证明平行于同一条直线来证明三点共线 例2、 ABCD中，AEBD于E，CFBD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分。 证明：AEBD，G是AD中点 GE=GD= AD且GED=GDE 同理HF=HB= BC且HFB=HBF 四边形ABCD是平行四边形 ADBC， GDE=HBF GE=HF，且GED=HFB GEHF 四边形GEHF为平行四边形 EF和GH互相平分 注 结合直角三角形的性质来构造平行四边形的条件，从而证明对角线互相平分 例3、已知ABC中，AB=AC，D为AC延长线上一点，E为AB上一点，且BE=CD，求证：DE被BC平分。 证明：作EPAD交BC于P，连结EP、EC、PD EPB=ACB 又AB=AC， B=ACB B=EPB EB=EP=CD EPCD， 四边形PDCE是平行四边形 DE被BC平分 注 构造平行四边形，从而证明线段平分 例4、如图，已知RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AE平分CAB交CD于F，过F作FHAB，交BC于H。求证：CE=BH 证明：过F作FPBC，交AB于P 四边形BPFH是平行四边形 PF=BH 又CEF=90-CAE，CFE=AFD=90-DAE，AE平分CAD CEF=CFE，CF=CE 在ACF和APF中，CAF=PAF，AF=AF，ACF=B=APF， ACFAPF（AAS） CF=FP CE=BH 注 通过利用平行四边形的性质构造全等，从而证明两线段相等 例5、如图，已知ABC，以BC为边在点A的同侧作正DBC，以AC、AB为边在ABC的外部作正EAC和正FAB。求证：四边形AEDF是平行四边形。 证明: ABF为正三角形 AB=FB,1+2=60 同理,AE=AC,BC=BD,1+2=60 1=3 在BDF和BCA中， BDFBCA (SAS) FD=AC 又AE=AC FD=AE 同理，AF=ED 四边形AEDF是平行四边形 注 通过证明全等来构造平行四边形的条件 三、 课堂总结 这节课通过上述几个例题的讲解，加强了同学们对平行四边形的理解和运用的能力。 四、课后练习 另补充（作者：汤丽娟）课例4用换元法解可化为一元二次方程的分式方程课时安排：1课时教学目标：知识目标：使学生学会用换元法解可化为一元二次方程的分式方程德育目标：培养学生的辨正唯物主义观点，引导他们辨正的看待问题能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力教学重点：用换元法解可化为一元二次方程的分式方程教学难点：使用换元法，即设元与换元教学内容简介： 本节课内容是在学生已经学过用去分母法解可化为一元二次方程的分式方程的基础上学习的。用换元法转化为一元二次方程来解的分式方程的特点：主要是方程所含有的两个分式互为倒数，且分式的分子，分母一般为未知数次数不大于2的整式。用换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个较复杂的方程转化为较简单的方程的问题。教学方法：本节课采用启发式教学教学过程：分为两部分1. 复习提问解分式方程的基本思想式什么？解分式方程为什么必须验根？2. 讲授新课我们知道，解分式方程的一般方法是去分母法，但对一些特殊的分式方程，仍然用去分母法来解，难度较大，运算过程较复杂。 请大家考虑：与 (a0,b0)有什么关系？（学生回答：这两个分式的乘积等于1，所以与是互为倒数关系）。接着追问：如果设y，那么等于什么？（学生回答：=）,又追问：y与有什么关系？因为y与之积等于1，所以y与是互为倒数关系。我们共同分析下面的分式方程。例 1 解方程 分析：（1）如果用去分母法解这个分式方程，两边要同乘以得到一个难解的四次方程，因此要寻求简捷的解法（2） 我们观察分式方程中的两个分式有什么特点？抓住方程形式上的特点：方程中含有未知数的两部分的式子 与 互为倒数。（3）由于具有上述的倒数关系，因此如果设 则 （可以启发学生回答）所以原方程化简为 又可化为一元二次方程 边启发学生口述解的过程边板书，然后总结解这类题的步骤。例 2 解方程 分析：启发学生观察、分析这个分式方程，抓住方程形式上的特点：方程中含有未知数的两部分的式子 与 ，每式括号内的分式都相同，一个式子是另一个式子的平方。由于具有这两条特点，原方程可用换元法来解。解以上例题时边启发学生口述解的过程边板书，然后由学生总结解这类题的步骤。用换元法解分式方程的一般步骤：（1）以观察、分析方程的特点，寻求换元和简捷途径；（2）设辅助未知数；（3）用含有辅助未知数的代数式表示原方程中另外的代数式，把原方程化为含辅助未知数的新方程；（4）解关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；（5）把辅助未知数的值代入原设，求出原方程未知数的值；（6）验根，并做答。练习：课后习题（118页第2题），在学生解题时常在未知数系数处出现问题，在此特给予纠正并做说明。作业：课后习题（119页第3题）小结：（1）解分式方程有两种方法：去分母法，换元法（2）用换元法解分式方程换元法适合解分式方程的特点： a. 倒数型 b. 平方型解分式方程时，要善于分析，判断方程属于那种类型，然后解方程。（3）无论那种方法解分式方程都要验根。（红桥区八十中学，孙文君）第二节 高中数学教学典型案例及评析课例3 复平面上点的轨迹习题课 教学目的 通过复平面上点的轨迹习题课的教学，进一步使学生掌握复数的代数、几何、三角表示法及彼之间的联系。发展综合运用数学知识、探究问题的能力。通过复数、复平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 教学过程 (一)复 习 师：我们在高二学习了复平面上点的轨迹问题。解析几何中解决轨迹问题可以通过建立直角坐标系这条渠道来进行。由于复数有三种表示方法，复平面上点的轨迹相应也有代数形式、三角形式与几何形式的表示方法。我们首先回想一下线段垂直平分线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的复数方程。 生：(回答略)。(二)用复数的代数形式解决复平面上点的轨迹问题 问题一 若复数z适合z=1，求复数，对应点的轨迹方程。 (让学生审题并分析) 师:求点的轨迹方程的实质是什么? 生:就是求点的横坐标和纵坐标所满足的代数关系。 师:求复数对应点的轨迹方程的实质是什么呢? 生:就是求复数实部、摩部之间所满足的代数关系。 师:那么如何求复数对应点的轨迹方程呢? 生甲:设()。 生乙：我认为应设=()。 师:为什么? 生乙:在解析几何中，若求点P的轨迹方程，往往设点P的坐标为(x，y)，类似地可联想到若求复数对应点的轨迹方程，就设的实部为x，虚部为y，即。 师:这位同学的联想很好，但设并非不对，只是和我们习惯不一致，易混淆。因为这时求的不是x、y的关系，而是实部与虚部的关系，下面怎样继续深入地讨论下去呢? 生：令，），则 ， 师：这是根据复数相等条件得到与实部、虚部间的关系，而我们要求的是哪个量与哪个量的关系呢?怎么求呢? 生：要求的是实部x与虚部y之间的关系，只要在式中消去、便可得到。z=1 ，由得 。 评 这里若采用讲述法进行教学，往往会陷入平铺直叙的状况，较难激起学生思考问题的积极性，不利于学生生动活泼地学习，这节课一开始就在教师所创设的问题情境中，让学生成为探索问题的主体，使问题在浓厚的探求气氛中得到解决，学生们在教师引导下自己去层层剖析，探索复平面上点的轨迹问题的一般思考万法：如何设元，求的是哪些量之间的关系，如何寻找解决问题的突破口，如何消去参数 (三)用复数的三角和几何形式解决复平面上点的轨迹问题师：刚才的问题我们用、的代数形式，得到、b、x、y的关系，是如何消去、b的?生:利用，即z=1。 师：在已知模的条件下，复数表示方法中哪种更简单?生：设z为三角形式更好，由z=1，可令得 其余同前。 师：用三角形式表示，一是充分利用了条件z=1，二是参数消起来很自然这种解法比原来进了一步，但本质上是一致的，都是根据复数相等条件得到、b、x、y或cos、sin、x、y间关系后由z=1的条件用平方法消去参数，从而得到x、y的关系，那么，直接利用z=1消z可不可以呢? 生：可以，令 ，则z=1=1=2这就是的轨迹方程。 师：怎么和前面得到的结果形式不一样? 生丙：这样做不对 生丁：对的。因为只要令，代入后，两个结果便完全相同了，所以这种解法不但正确，而且更简单。 师：前两种解法得到的是复数的实部与虚部所满足的代数关系式。现在得到的是关于变元的复数方程，它们从不同角度表示对应点的轨迹，形异实同，以上三种解法实质上都应用了z=1的代数关系式，那么在z=1中，复数z的几何意义是什么呢?它对我们解题又有何帮助? (学生们沉思片刻，立即活跃起来) 生：圆心在原点，半径为1的圆。当z=1，2z表示以原点为圆心，以2为半径的圆，的几何意义是将刚才得到的圆向右平移3个单位，再向下平移4个单位，即以复平面上的点3- 4i为圆心，以2为半径的圆，复数方程为 =2 评 探索问题时，必须使学生能够从不同的角度来考虑解决问题的途径，若只从单一角度、在同一个思维模式中展现其面貌就会造成思路固定、思域狭窄的毛病，因此，教学中利用数形结合，一题多解来培养学生的多维型思维是非常重要的。 (四)复平面上轨迹问题的变式探究 师：我们把题目中“求轨迹方程”改为“求轨迹”，题意是否相同? 生：求轨迹方程是求满足条件的点坐标之间的关系，而求轨迹则是求图形，求轨迹时，只要说出轨迹是什么图形就可以了。 师: 轨迹是几何形式，必须说明它的形态、所在位置(如圆心及主要数量特征，如半径等)。轨迹方程则属于代数形式。 生：“求轨迹”就要回答:“这是复平面上以点3-4i，为圆心、以 2为半径的圆。” 师：现在把题目条件z=1改为z=r（r0），结果会怎样呢？生：解法完全一样，结果是以点34i为圆心、以2r为半径的圆，即满足=2r。 师：若原题改为“=1，求z对应点的轨迹。”如何解题? 生：这很好办： 因为=，z对应点的轨迹是以点为圆心、以为半径的圆。 师：若题目改为：“设复平面上以-3、3对应的点为端点的线段为一边，周长为16的三角形的第三个顶点所对应的复数为z，求对应点的轨迹。”如何进行分析? 生：z的轨迹方程是+=10，用以上的几种解法都可以解。 师：你认为哪种解法较好? 生：我认为几何方法较好。因为z对应的轨迹是椭圆，对应的轨迹是将此椭圆绕原点按逆时针方向旋转900所得的图形，对应点的轨迹则是将旋转后的椭圆向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得的图形，这是一个在复平面上以点3-4i为中心、半长轴长为5、半短轴长为4的椭圆。 师：对这个解法和所得结论有什么不同意见? 生；由于z不能取一5、5，故不能取3+i及39i，因此所得出的轨迹中要除去(3，1)与(3，-9)两点。 师：他考虑得很仔细，这样问题就严密周到了。 (五)举 例 师：我们再来看一个问题。 问题二 若，1z。 (1)求z的对应点的轨迹； (2)求的对应点的轨迹。 (讨论过程略) (六)小 结 师：我们这节课研究了复平面上点的轨迹问题，基本解题方法有哪些?生：用代数形式或三角形式，把复数间关系表示出后再代回原条件，还可利用数形结合解题。 师：对！大致有设元法、回代法和几何法，这是复数三种表示方法在轨迹问题上的运用。复平面点的轨迹同解析几何中的轨迹问题实质上是同一个问题，对它的理解、分析和解决的基本思路也大致相同，但是，复平面上点的轨迹还可以直接写成更为简单的形式复数方程。这也是用复数解决平面点的轨迹问题的优越性。 (七)布置作业 1.若-=6，求对应点的轨迹。 2.设(k=1、2、3)为互异复数，的三个根为(k=1、2、3),且， 试判断、对应点组成的三角形的类型。评 这节课的主要特点是采用探索法进行习题课教学，注意暴露思维过程，效果显著。具体说：(1)探索法是探索或设计教学的重要方法，它是以发展探究能力为目标，以学科的基本知识结构为内容，以探索、发现为步骤的教学法。它是突出知识形成与建构过程的教学，必须把学生置于认知主体的地位，让学生自己来探索规律，在探索中建立自己有特色的认知结构。 (2)探索法要紧紧抓住“疑问”，把学生的思维引向深入，疑问可以揭示学生认识上的矛盾，可以对学生心理机制产生刺激，因此探索过程就是一个以问题为中心，不断提出问题，不断分析问题和不断解决问题的过程。根据已知与未知、新知识与旧知识、现象与本质之间的矛盾来明确探索课题，巧妙地存疑设问，用悬念激发学生情趣，促进思考。在探索中，通过师生双边信息交流，力求把各种情、趣、意因素组织起来，达到最大限度发展思维的目的，本课的“疑问”环环相扣，步步深入，从而把用代数、三角、几何诸形式解决复平面上点的轨迹问题的思路逐步展开，使学生在探索过程中建立该问题的较牢固的知识结构，使本节课的重点知识得到巩固。课例6等差数列的性质目的：使学生掌握并会运用等差数列的性质解决问题重点:等差数列的性质设数列an是等差数列,它有下列性质(1)an=am+(n-m)d (其中m、 nN*)(2)m 、n