第四章 向量组的线性相关性总结.doc

第四章 向量组的线性相关性1 n维向量概念一、向量的概念定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的个分量,第个数称为第个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量.注2 维向量可以写成一行的形式,出可以写成一列的形式,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母 等表示列向量,用表示行向量.例1 设，求及.解 定义 设v为n维向量的集合，如果集合v非空，且集合v对于加法与数乘两种运算封闭（即若v,v，有+v；若v, kR，有kv），称v为向量空间。2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合定义3 给定向量组:,对于任何一组实数,称向量 为向量组A的一个线性组合,称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组:和向量,若存在一组实数,使得 则称向量是向量组的一个线性组合,或称向量可由向量组A线性表示.注1任一个维向量都可由维单位向量组线性表示: .注2向量可由向量组:线性表示（充要条件）方程组有解有解注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量由向量线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。二、向量组的等价1、定义定义5 设有两个维向量组,若向量组中每个向量都可由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示;若向量组与向量组可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.注1 向量组的等价是一种等价关系,即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性.2、向量组等价的条件定理1向量组可由向量组线性表示存在矩阵,使.证明 由于一个向量可由向量组线性表示可等价地表示成方程,那么若向量组可由组线性表示,则对组的任意向量有 .注2 称矩阵为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵.推论1 向量组可由向量组线性表示存在矩阵,使矩阵方程有解推论2向量组与向量组等价.例3 设,证明向量组与向量组等价.解 向量组与向量组等价.例4 设,证明向量组与向量组等价.证明 记,则由已知有. 可逆向量组可由向量组线性表示，从而两向量组等价.三、线性相关与线性无关1、向量组线性相关的概念定义1 给定向量组,若存在不全为零的数,使 则称向量组是线性相关的.否则称它为线性无关.注1 向量组线性无关当且仅当时,才有.注2 对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关.注3 只含一个向量的向量组,若,则它线性相关;若,则它线性无关.注4 任一含有零向量的向量组线性相关.注5 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.注6 两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.2、向量组线性相关的条件定理1 向量组线性相关中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明 设向量组线性相关,则有不全为零的数使不妨设,则,即可由线性表示;反之,设向量组中有一个向量可由其余个向量线性表示,不妨设为,则存在实数使 ,故.因为 这个数不全为零,所以向量组线性相关.定理2 向量组线性相关有不全为零的数使.齐次线性方程组有非零解. ,其中.推论1 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解. ,其中.推论2 个维向量组线性相关 ,其中.例3 设向量组线性无关,讨论向量组的线性相关性.解法一 设存在使,即亦即 线性无关 (1) 方程组(1)只有零解 向量组线性无关.解法二 记,设 的列向量线性相关 又 向量组线性无关.解法三 记 向量组线性无关 向量组线性无关.3、向量组线性相关的性质性质1 若向量组线性相关,则向量组也线性相关;反之, 若向量组也线性无关,则向量组也线性无关.注1 性质1的结论可以简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关.证明 记,则.由于若向量组线性相关,故,于是,从而向量组线性相关.性质2 若维向量组线性无关,则维向量组也线性无关.注2 性质2可简述为:无关组添加分量后仍无关;反言之,相关组减少分量后仍相关.证明 记,则.由于向量组线性无关,故,于是,从而向量组线性无关.性质3 当时,个维向量线性相关.注3 性质3可简述为:向量个数大于维数时必线性相关.证明 记个维向量构成矩阵,则,故向量组 线性相关.性质4 若向量组线性无关,而向量组线性相关,则向量可由向量组线性表示,且表示方式是惟一的.证明 记.由于若向量组线性无关,故,故;又由向量组线性相关知.于是,所以,方程组有唯一解.这表明向量可由向量组线性表示,且表示方式是惟一的. 例4 设向量组线性相关,而向量组线性无关,证明(1) 能由线性表示; (2) 不能由线性表示.证明 (1) 向量组线性无关 向量组线性无关 又 向量组线性相关 能由线性表示 (2) 设能由线性表示,由于能由线性表示,故设能由线性表示,矛盾.4.向量组线性相关性的几种判定向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下：1 定义法 这是判定向量组的线性相关性的基本方法，既适用于分量没有给出的抽象向量组，也适给出的具体向量组. 定义 设向量组, , (n 1) ，若数域 F 中存在不全为零的数,使得+ += 0 ，则称向量组, , 线性相关，否则，则称向量组, , . 例 1：设 =+, = +, =+, =+, 证明向量组,线性相. 证明：设存在四个数,使得+ = 0 ，将 = +, =，=+,=+,代入上式整理得 (+)+(+)+(+)+(+) = 0，则 令 = =1 ， = = 0 ，则有+ = 0，所以由线性相关的定义知：,线性相关.2利用向量组的线性相关的充要条件 向量组, , (n 2) 的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.而对于单个向量 ， 线性相关的充要条件是 = 0 . 如例 1，= + ，即4可由其余三个向量线性表出，故向量组, , 线性相关3 方程组法 方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题. 对于各分量都给出的向量组, , 线性相关的充要条件是以, , 的列向量齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关. 例 2：讨论向量组 = (1,-2,5), =(0,2,-5), = (-1,0,2)的线性相关性. 解：以, 为系数的齐次线性方程组是 -2+3 = 0 & 0+2-5= 0 & -1+0+2= 0 解之得 =2=， =3=(其中，为任意常数)，故, 线性相关.4. 矩阵秩法 矩阵秩法就是将向量组构成矩阵，利用矩阵的初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵. 当矩阵的秩小于向量的个数，向量线性相关；当矩阵的秩等于向量的个数，向量线性无关.5 行列式值法 若向量组, ,是由 n 个n维向量所组成的向量组，且向量组, , 所构成的矩阵为A = (, , ) ，即 A 为 n阶方阵. 则 （1）当 A = 0，则向量组, , 线性相关； （2）当 A 0，则向量组, , 线性无关.3极大线性无关组一、定义1.最大线性无关组：在向量组A：中，存在部分向量组满足：（1）线性无关；（2）对于向量组A中任一个向量as，都有，as线性相关。则称是的一个最大线性无关组，2.向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中是的一个最大线性无关组，则称的秩为，记为。例：求向量组的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。分析：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出：定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩；矩阵的行向量组的秩等于。解：所以，是的一个最大线性无关组。（当然易见亦是的一个最大线性无关组）为了把用线性表示，把再变成行最简形矩阵易见。（初等变换前后列向量组之间的线性表示形式是保持不变的）2注意（1）向量组最大无关组一般不惟一；（2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一；（3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身；（4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法： 由的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n维向量组 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：若，向量组线性相关；若，向量组线性无关（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示但应注意，若矩阵与矩阵行（或列）等价，则的行（或列）向量组与的行（或列）向量组等价。3性质（1）单位坐标向量组是的一个最大无关组；（2）向量组（I）与它的最大无关组是等价的；（3）同一向量组的任意两个最大无关组是等价的；（4）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同；（5）等价的向量组具有相同的秩；（6）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩3.求秩与极大无关组的常用方法方法1 将向量组排成矩阵：(列向量组时)或(行向量组时) (*)并求的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵中找非零的阶子式，则包含的个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如(*)式，并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或)，则(或)中非零行(或列)的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的一个极大无关组，其中是(或)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列(或行).方法3 当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为，再取一个与的对应分量不成比例的向量作为，又取一个不能由和线性表出的向量作为，继续进行下去便可求得向量组的极大无关组.对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组()可由向量组()线性表示，则()的秩不超过()的秩”，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等.4线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1、齐次线性方程组解的性质性质1 如果是方程的解向量,则也是它的解;性质2 如果是方程的解向量,为实数,则也是它的解.注1 一般地,如果是方程的解向量,为实数,则也是它的解.2、齐次线性方程组的基础解系定义1 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该方程组的基础解系.定理1 设,则元齐次线性方程组的基础解系含个向量.(1) 方程组的解集中的任一向量可由线性表示;(2) 线性无关.所以是解集的最大无关组,即是方程的基础解系.即齐次线性方程组的基础解系含个向量.3、齐次线性方程组的基础解系的求法定理1给出了求齐次线性方程组基础解的一种方法.即先求出齐次线性方程组的通解,再根据通解写出基础解系.实际上,可根据以下方法先求出基础解系,再写出其通解:例1 求齐次线性方程组的基础解系和通解第一步 将系数矩阵的用初等行变换化为行最简形为解 第二步 根据矩阵写出原方程的同解方程 原方程组的同解方程为第三步 依次让自由未知量取下列组数依次令得,于是方程组的基础解系为第四步 写出方程组的通解. 方程组的通解为例2 求齐次线性方程组的基础解系和通解解 原方程组的同解方程为依次令得,于是方程组的基础解系为 方程组的通解为 ()二、非齐次线性方程组解的结构1、非齐次线性方程组解的性质性质3 如果是方程的解,则是对应的齐次线性方程组的解;性质4 如果是方程的解,而是对应的齐次线性方程组的解,则也是方程的解.例3 设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.定理2 设是非齐次线性方程组的一个特解, 是其对应的齐次线性方程组的基础解系, 则方程组的任何一个解均可表示为.2、非齐次线性方程组的通解的求法例4 求解方程组解 第一步 用初等行变换将增广矩阵化为行最简形得第二步 如果,则方程无解;如果,则方