材料非线性有限元分析中组织结构刚度阵的子结构法

材料非线性有限元分析中组织结构刚度阵的子结构法 哈尔滨工业大学学报1989年12片JOURNAL OFHARBIN D硼n OFTECHNOLOGY第6l材料非线性有限元分析中组织结构刚度阵的子结构法工程力学系闰相桥杜善义王铎摘要本文提出了材料非线性有限元分析中组织结构剐度阵的一砷有效技术，称子结构法。 并详细描述了该技术在裂纹稳定扩展中的实施问题、_-_一关键词有限元法；子结构法；断裂力学1问题的提出非线性有限元法是一种求非线性问题近似解的有效的数值方法，在工程中得到了愈来愈多的应用。 就处理材料非线性而言，此方法通常分为三种，即变刚度法，初应力法和初应变法。 变刚度法是在每次加载时用调整刚度矩阵的办法来求近似解的。 由于对每次加载，其刚度矩阵都必须重新计算，并重新用直接法或迭代法求解，因此，变刚度法的计算量一般比初应力法或初应变法大一些n。 然而，需指出的是，对于许多工程问题，譬如应力集中问题，裂纹尖端弹塑性解问题，结构的总刚度矩阵伴随着荷载的增加而发生的变化是局部的，它仅仅是由塑性区中的那些单元的刚度矩阵发生变化引起的。 如果对每一步加载，都按照单一的步骤，即对每一单元形成刚度矩阵，然后由单元的刚度矩阵组织总的刚度矩阵，显然是不合理的用初应力法或初应变法求解静力加载问题，其每一步加载均只需求解一个具有相同刚度矩阵的问题，而塑性的影响通过初应力向量或初应变向量来考虑。 然而，如果用此种方法分析裂纹的稳定扩展问题，由于裂纹扩展时，裂纹尖端的边界条件发生了变化，也就导致结构的刚度矩阵发生变化(按变带宽一维存贮口】)，但这种变化是局部的，仅仅是由裂纹尖端附近的几个单元的刚度矩阵的变化引起的。 如果按单一的步骤，即先对每一单元形成刚度矩阵，然后组织总的刚度矩阵，显然多属重复性工作合理的方法是，仅对刚度矩阵发生变化的单元(初应力法或初应变法)或对可能引起总刚度矩阵发生变化的某一或某些区域中的单元形成刚度矩阵，然后将它们与周围广大区域的刚度矩阵一起形成总的刚度短阵本文正是基于这样的思想提出了一种有效的技术，可望这种技术对组织材料非线性有限元分析中所需要的总刚度矩阵非常有效本文于1988年l1月收到苎塑塾!垡竺查坌堑垦鏖堕鳖1012组织结构刚度阵的子结构法本节将描述组织材料非线性有限元分析中的总刚度矩阵发生了局部变化的总刚度矩阵非常有效的技术，称为材料非线性有限元分析中的形成总刚度阵的子结构法。 该法的思路是这样的，设想把结构分成两个或两个以上的子结构，其中，一些子结构的刚度矩阵在非线性有限元分析中保持不变，而另一些子结构中部分或全体单元的刚度矩阵要发生变化，总的刚度矩阵可由各个子结构的刚度矩阵组织得到因此，在菲线性有限元分析中，就无需对结构中的每一单元形成单元的刚度矩阵，然后组织总的刚度矩阵，而是在起初的线性有限元分析阶段，将总的刚度矩阵(初应力法或初应变法)或那些子结构的刚度矩阵在非线性有限元分析中保持不变的子结构刚度矩阵(变刚度法)存贮于外部设备中，以备在非线性有限元分析阶段用于形成发生了局部变化的总刚度矩阵这样，在非线性有限元分析阶段，只需在那些子结构刚度矩阵发生变化的子结构中，对引起子结构刚度矩阵发生局部变化的那些单元(初应力法或初应变法)或对全体单元(变刚度法)形成单元的刚度矩阵，用以修正起初的弹性刚度矩阵(初应力法或初应变法)或对没有发生变化的那些子结构刚度矩阵作以补充，以求得所需要的总刚度矩阵。 3子结构法在裂纹稳定扩展中的实施问题韧性材料或较薄处于平面应力状态的裂纹体，在裂纹快速扩展前，随着载荷的增加，伴有裂纹的稳定扩展，此问题已经引起许多断裂力学工作者的研究兴趣，许多研究者从不同方面对此问题进行了研究，这可见文献3中的参考文献。 在这里，我们将给出裂纹稳定扩展的有限元模拟的一些技术问题。 裂纹体相对于裂纹面是对称的，还是不对称的，其裂纹稳定扩展的有限元模拟技术不尽相同。 下面将分别描述之。 (一)当裂纹体相对于裂纹面不对称时，采用双节点技术来模拟裂纹的扩展，即把裂纹尖端节点力释放时，使裂纹尖端节点成为双节点，这样，随着裂纹尖端节点的不断释放，结构的总节点数目不断增加，其实，释放一个节点，结构的总节点数目增加一，而结构的位移数的数目将增加该释放点所具有的位移数的数目。 下面就用材料非线牲有限元的初应力法模拟裂纹稳定扩展问题。 来说明上节所述的组织总刚度矩阵的子结构法的实施。 一(a)(b)图l裂纹稳定扩展的示意图10哈尔滨工业大学学报1989年按照初应力法的方程i】在裂纹扩展之前，总刚度矩阵是不变的，是初始弹性刚度矩阵当裂纹稳定扩展时，如图l所示，由于裂纹尖端节点a的节点力释放掉而成为双节点，记作a和a，这将导致总刚度矩阵的局部变化现在让我们来分析一下总刚度矩阵的局部变化在节点a成为双节点a和a之前，单元、和由节点a相连，在总刚度矩阵中，相应于节点a的位移数的刚度系数，是这六个单元的刚度系数，按照。 对号入座法的叠加；在节点A成为双节点A和A之后，单元、和由节点A相连，而单元、和由节点A相连，显然，按照对号入座法形成的总刚度矩阵发生了变化，但这种变化显然是局部的。 因此，我们可以取裂纹稳定扩展轨迹附近的单元，其实，在裂纹扩展轨迹上两排单元或下两排单元，裂纹开裂点左两排单元，裂纹失稳点右两排单元所围成的单元的集合作为子结构，其他单元的集合作为子结构I，就能保证按子结构法形成的总刚度矩阵正确无误。 在这里为了说明起见，我们取裂纹扩展轨迹下面的上面所述的单元集合作为子结构在裂纹第一步扩展时，亦即节点A成为双节点A和A时，发生局部变化的刚度矩阵可按下列方法求得只需对子结构中的图中标识为、和的单元形成刚度矩阵，将这三个单元的刚度矩阵，一方面按照在释放节点力之前的。 对号入座原则，但这三个单元的刚度矩阵的元素的值要反号，叠加于原来的总刚度矩阵中，另一方面，按照新的。 对号入座原则，把这三个单元的刚度矩阵的元素(不反号)叠加于原来的总刚度矩阵中，如此得到的刚度矩阵就是由于第一次释放节点力所引起的发生了局部变化的总刚度矩阵对于第二次释放节点力，第三次释放节点力，?，其发生局部变化的刚度矩阵，可类似地确定求节点力时，只用裂纹一侧的与裂纹尖端节点相连的单元，裂纹另一侧与裂纹尖端节点相连的单元施加于裂纹尖端节点的力，与前者大小相等，符号相反然后将节点力反向施加到双节点A和A上，作为荷载处理节点力一般分三至五次释放掉。 (二)当裂纹体相对于裂纹面对称时，可取上一半或下一半研究裂纹每扩展一步，结构的总节点数不变，但裂纹尖端的边界条件发生了变化在释放节点力之前，裂纹尖端节点垂直裂纹面的位移为零；在释放节点力之后，裂纹尖端节点可以产生垂直裂纹面的位移因此，结构的总的位移数的数目增加一，总刚度矩阵也发生了局部变化，这可按上面所述的方法确定4算例最近，作者利用本文提出的组织结构刚度矩阵的子结构法及文献4中描述的准三维问题的有限元法。 研制了一个准三维问题的有限元程序【】该程序除了可分析准三维问题之外，尚能分析平面问题，以及尚能模拟裂纹的稳定扩展过程在这里，我们将取文献5中的例子进行分析，以说明本文提出的子结构法已成功地程序化一个具有中心裂纹的2024-t3铅合金矩形板，承受单调、缓慢增加的荷载，直到快速断裂其几何尺寸及加载条件如图2所示几何数据如下第6期材料非线性有限元分析中组织结构刚度阵的子结构法1032l=27in2w=12in2ao=6inb=0062in2o24一t3铅合金的杨氏模量、泊松比、屈服应力及线性强化模量为e=10324ksi v=q33y542ksi h-45074l(si在对裂纹稳定扩展过程的数值模拟中，是取实验测定的荷载和裂纹尺寸的关系，如图3(a)所示，作为控制的图3(b)示出的是分析的荷载与荷载作用点处的位移的关系与实验数据的比较，可见两者拟合很好，这就说明了作者已将本文提出的材料非线性有限元分析中组织结构刚度矩阵的子结构法成功地程序化。 6|616|6图2中心裂纹板的几何形状和加载情况(a)实验测定的荷载裂纹尺寸曲线4o353025151OO5OExPF EM Ev一一L(b)实验测定的荷载位移曲线与有限元分析的数据的比较图35结论本文首先指出了在材料非线性有限元分析中，通常的组织结构刚度矩阵的方法对某些问题不很有效继之，提出了组织结构刚度矩阵的一种十分有效的技术，称子结构法，并详细地描述了该技术在裂纹稳定扩展数值模拟中的实施问题。 最后举例说明了作者已将该技术成功地程序化。 参考文献1李大潜等有限元法续讲科学出版社，19792巴特K J，威尔逊E L著有限元分析中的数值方法科学出版社，l0853杜善义在两向载荷下裂纹稳定扩展的断裂参数的分析啥尔滨工业大学学报，增刊19834闰相桥哈尔滨工业大学博士论文。 19895shah yidu,j dengineer ingfracture mechanics1983l7l2l3l83i转第2贝哈尔滨工业大学学报1989年the analysisof fourstates、niaogen inn aturalw aterby ion-chromatograph zhum inc3yano yaoadon0abstract anew analyf imethod of total nitrogen,珊一nno；一n and一n innatural waterwas cstablished byion chromatographthe total nitrogen insample was determined afteroxidar ingby k2s2o afterseprating t he nhn wa s、deter-mine dby the samemetho da sthetotal nitrogenfor mostpounds ofnitrogen theoxidatc rateare morethan90the detectlimit are1ppb fornon and08ppb fornofnthe relativestandard deviation isle sst han5some sam plesfrom songhuar iver weredete rmined,the resultsaorde withda ssicalmetho dkeywordsion chroma tograph；analysis ofnatural water；totalnitrogen；nh3一n；norn；norn(上接第103页)an efective method ofassembling thestructural stifness matrix in material_。 nonlinear finiteelement analysesyah xiangqiaodu shanyidao abstract anef fectivemet hod ofa ssembling the structural stif fnessmatr ixin material-nonlinear finite elementmethods was describe din this paperthe metho d wasvery effective fo