成都大学高数06本科上期A卷(含解)

20062006 级高等数学本科试题级高等数学本科试题 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 5 5 个小题 每小题个小题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 在每小题给出分 在每小题给出 的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括 号内 号内 1 1 设函数设函数的定义域为的定义域为 1 1 1 1 则复合函数则复合函数的定义域为的定义域为 D D xf sin xf A A 1 1 1 1 B B C C D D 2 2 0 2 2 设设在点在点处可导处可导 那么那么 A A xfax h hafhaf h 2 lim 0 A A B B C C D D 3a f 2a f a f 3 1 a f 3 3 下列命题中下列命题中 正确的是正确的是 B B A A 若若在在处有处有 则则一定是曲线的拐点一定是曲线的拐点 xfy 0 xx 0 0 x f 00 yx B B 若可导函数若可导函数在在处取得极值处取得极值 则则 xfy 0 xx 0 0 x f C C 若若在在处有处有 则则在在处一定取得极处一定取得极 xfy 0 xx 0 0 x f xf 0 xx 值值 D D 极大值就是最大值极大值就是最大值 4 4 设设是是的一个原函数的一个原函数 则下列各式正确的是则下列各式正确的是 B B xF xf A A B B xFdxxf xfxF C C D D xFxdF xfdxxF 5 5 B B 3 0 2 0 sin lim x dtt x x A A B B C C D D 1 1 4 1 3 1 2 1 二 填空题二 填空题 本大题共 本大题共 5 5 个小题个小题 每小题每小题 3 3 分分 共共 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 1 设设在在 a a b b 上连续上连续 在在 a a b b 内可导内可导 且且则在则在 a a b b 内内 xf bfaf 至少存在一点至少存在一点 使得使得 0 f 2 2 记号记号 表示由表示由 命题可推出命题可推出命题命题 试用 试用把下面把下面在在BA AB xf 点点的关系表示出来的关系表示出来 填上表示命题的符号填上表示命题的符号 顺序顺序 0 x 存在存在 lim 0 xf xx 在在连续连续 存在存在 xf 0 x 0 x f 3 3 1 1 ln 1 lim 1 xx x 2 1 4 4 设设 n n 为自然数为自然数 则则 nxn nnxy y nnnx xn ln 1 5 5 由定积分的几何意义可知由定积分的几何意义可知 dxx 1 1 2 1 2 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 1 1 设 设 要使要使在在内连续 应当怎样选择内连续 应当怎样选择 0 cos 0 1 sin xxa x x x xf xf 数数 a 解 显然在及上连续 要使在内连续当 xf 0 0 xf 且仅在处连续即可 xf0 x 又因为 axaxf xx coslim lim 00 321 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 0 1 sinlim lim 00 x xxf xx af 0 故当且仅当 即时在内连续 lim 0 xf x lim 0 xf x 0 f0 a xf 2 2 计算 计算xx x 2cotlim 0 解解 xx x 2cotlim 0 3 3 设函数 设函数由方程由方程所确定所确定 求求 xyy exye y 1 1 y 2 2 0 y 解解 1 方程两边求导得 解出0 yxyye y y ex y y 2 当 x 0 时 求出 y 1 所以 eex y yy y x y x y 1 0 1 0 0 1 4 4 计算 计算 xdx 3 sin 解解 xdx 3 sin Cxx xdx xdxx 3 2 2 cos 3 1 cos cos cos1 sinsin 0 0 cos2 lim sin2 1 cos2 lim sin2 2 2 1 2 x x xx x x x x 5 5 计算 计算 2 2 4 cos sin dxxxx 解解 2 2 4 cos sin dxxxx 2 2 2 2 4 cossin dxxxxdxx 因为 xsinx 是偶函数 xcos4x 是奇函数 2 0 sin2 xdxx 2 sin02 coscos2 cos 2 2 0 2 0 2 0 2 0 x xdxxx xxd 6 6 计算 计算 0 2 dxxe x 解解 2 1 10 2 1 2 1 2 1 0 0 2 0 222 xxx exdedxxe 四 四 本题 本题 8 8 分 分 求曲线求曲线的图形的拐点及凹或凸的区间的图形的拐点及凹或凸的区间 x xey 解解 的定义域为 x xey 求一阶导数 xx xeey 求二阶导数 2 2 xexeexeeey xxxxxx 令 解得 没有二阶导数不存在的点 列表如下 0 y 2 x X 2 2 2 Y 0 Y 有拐 点 0 511 522 533 5 0 2 0 2 0 4 0 6 当时 由此得2 x 2 2 2 2 e ey 拐点为 凹区间为 2 凸区间为 2 2 2 2 e 五 五 本题 本题 8 8 分 分 设抛物线设抛物线与直线与直线所围成的图形为所围成的图形为 S S xy2 2 2 1 x 1 1 求求 S S 的面积 的面积 2 2 求求 S S 绕绕轴旋转而成的立体的体积轴旋转而成的立体的体积 y 解解 1 S 的面积 dxxA 2 1 0 22 2 1 0 2 1 22dxx 2 1 0 2 3 3 2 22 x 3 2 2 S 绕轴旋转而成的立体的体积y 2 1 225 1 0 0 1111 12 21 2 2244 55 Vydyy 六 六 本题 本题 8 8 分 分 计算曲线计算曲线上相应于上相应于的一段弧的一段弧 如图如图 的的 3 3 x x y 31 x 长度长度 解解 3 4 32 3 1 2 1 1 3 1 2 3 3 1 3 1 2 xx dx x x dxys 七 七 本题 本题 8 8 分 分 将边长为将边长为 k k 的正三角形铁皮的三只角剪掉如图所示的三个全等四边形之后的正三角形铁皮的三只角剪掉如图所示的三个全等四边形之后 将边折起将边折起 收成一个无盖正三棱柱盒收成一个无盖正三棱柱盒 问当问当取何值取何值 该盒子容积最大该盒子容积最大 x 解解 容积 22 2 4 2 4 3 3 3 xk x xkxV 4 23 2 2 2 2 4 1 2 2 2 k kxx xk x xkV 得0 V 6 2 k x k x 0 6 0 2 26 k k Vk k VkxV 故时 该盒子容积最大 唯一极大值即为最大值 6 k x 八 八 本题 本题 8 8 分 分 证明证明 设函数设函数在在上具有连续的二阶导数上具有连续的二阶导数 如果点如果点 xf ba 与点与点的联线段的联线段和曲线和曲线相交于点相交于点 afaA bfbBAB xfy 则则 bcacfcC 在在内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 ba 0 baf 证明证明 由条件 分别在 a c c b 上满