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第九章 力学量本征值问题的代数解法91） 在8.2节式（21）中给出了自旋（）与轨迹角动量（）耦合成总角动量的波函数，这相当于的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数 解：8.2节式（21a）（21b）: （21a） （21b）此二式中的相当于CG系数中的 ，而,。因此，（21a）式可重写为 （21a）对照CG系数表，可知：当,时 ，而时，对于的（21b）式，有 92）设两个全同粒子角动量，耦合成总角动量， （1）利用系数的对称性，证明由此证明，无论是Bose子或Fermi子，都必须取偶数证：由式（1），把, 利用系数的对称性 (2) 对于Fermi子，半奇数，奇数，但要求，即要求，所以必须为偶数。，（情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此可验证：态的总数为。 。对于Bose子，整数，偶数，但要求即 ，故也必须为偶数93）设原子中有两个价电子，处于能级上，按耦合方案，（总角动量）证明： （a）必为偶数；（b）。当时，（偶）； 时，可以为奇，也可以为偶。证： 自旋的耦合：，轨迹角动量的耦合：，其中偶是对称态，奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以时，时，在两种情况下，都为偶数，但对于，偶；，。可以为奇，也可以为偶讨论本题结论与题92有无矛盾？（按耦合方案，似乎必为偶数）。提示：在本题中，若用耦合来分析，？是否只有一个值？两种耦合方案得出的态数是否相等？94）大小相等的两个角动量耦合成角动量为的态， 证明的几率却相等，即。提示：利用 （P235，式（23）证：Dirac符号表示，有 ， （1）在本题的情况下，。则（1）成为 （2）其中即为耦合表象中的态用无耦合表象基矢展开时的展开式系数CG 系数，其模即表示体系处于态时，测得取值（同时取值，取各可能值）的几率。由提示， （3） （4）即，对于给定的所合成的态，的几率与的具体取值无关，皆为。95）设，在态下，证明（取），证：（参剖析，8.68等）96）在表象(以为基矢)中，的子空间的维数为3，求在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵方法求出的本征值和本征态解：在表象中，的子空间中的基矢为，。由于。对于本题，以上方式中，不难求得。 在此三维空间中的矩阵表示为表象 （1）设的本征值为，本征矢为，则本征方程为 （2）此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：. （3）
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