计算机控制系统的直接设计法ppt课件

第六章计算机控制系统的直接设计法 6 1概述6 2最少拍控制系统设计6 3纯滞后对象的控制算法6 4设计数字控制器的根轨迹法6 5数字控制器的频域设计法 6 1概述 等效离散化设计方法存在以下缺陷 必须以采样周期足够小为前提 在许多实际系统中难以满足这一要求 没有反映采样点之间的性能 特别是当采样周期过大 除有可能造成控制系统不稳定外 还使系统长时间处于 开环 失控状态 因此 系统的调节品质变坏 等效离散化设计所构造的计算机控制系统 其性能指标只能接近于原连续系统 只有当采样周期T 0时 计算机控制系统才能完全等同于连续系统 而不可能超过它 因此 这种方法也被称之为近似设计 计算机控制系统的直接设计法 是先将被控对象和保持器组成的连续部分离散化 然后应用离散控制理论的方法进行分析和综合 直接设计出满足控制指标的离散控制器 用计算机来实现 直接设计法的优点是 不存在采样周期必须足够小的限制采样周期只取决于问题本身 与所采取的方法无关 可以考虑采样点之间的性能可以得到比相应连续系统更好的性能 具体设计步骤如下 根据已知的被控对象 针对控制系统的性能指标要求及其它约束条件 确定理想的闭环脉冲传递函数 确定数字控制器的脉冲传递函数D z 根据D z 编制控制算法程序 6 2最少拍控制系统设计 最少拍设计 是指系统在典型输入信号 如阶跃信号 速度信号 加速度信号等 作用下 经过最少拍 有限拍 使系统输出的稳态误差为零 稳定 不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计任意广义对象的最少拍控制器设计最少拍无纹波控制器设计 1 稳定 不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计 下图是最少拍控制系统结构图 其中H0 s 为零阶保持器 GP s 为被控对象 D z 即为待设计的最少拍控制器 定义广义被控对象的脉冲传递函数为广义被控对象的脉冲传递函数G z 在z平面单位圆上及单位圆外没有极点 且不含有纯滞后环节 最少拍随动系统框图 稳定 不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计 闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数则有 稳定 不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计 将其展开如下形式 根据最少拍控制器的设计准则 系统输出应在有限拍N拍内跟踪上系统输入 即i N之后 e i 0 也就是说 E z 只有有限项 在不同输入信号R z 作用下 本着使E z 项数最少的原则 选择合适的 e z 即可设计出最少拍无差系统控制器 稳定 不包含纯滞后环节的广义对象的最少拍控制器设计 一般地 典型输入信号的z变换具有如下形式式中 A z 1 是不包含 1 z 1 因式的z 1的多项式 从准确性要求来看 为使系统对典型输入无稳态误差 e z 应具有的一般形式为式中 F z 1 是不含 1 z 1 因式的z 1的有限多项式 选择合适的 e z 就是选择合适的p及F z 1 从快速性要求来看 为使E z 1 项数最少 应对F z 1 取值做限制 一般取F z 1 1 单位阶跃输入 单位阶跃输入为使E z 项数最少 选择 e z 1 z 1 即p 1 F z 1 1 使 e z 具有最简形式 则 单位阶跃输入 由z变换定义可知e t 为单位脉冲函数 即 单位阶跃输入时的误差及输出序列 单位速度输入 单位速度输入选择p 2 F z 1 1 则 e z 1 z 1 2 可使E z 具有最简形式则e 0 0 e T T e 2T e 3T e 4T 0 单位速度输入 单位速度输入时的误差及输出序列 单位加速度输入 单位加速度输入选择p 3 F z 1 1 即 e z 1 z 1 3 可使E z 有最简形式 则e 0 0 e T e 2T 1 2T2 e 3T e 4T 0 单位加速度输入 单位加速度输入时的误差及输出序列 2 任意广义对象的最少拍控制器设计 设广义脉冲传递函数G z 为其中 b1 b2 bu是G z 的u个不稳定零点 a1 a2 av是G z 的v个不稳定极点 G z 是G z 中不包含单位圆上或单位圆外的零极点部分 当对象不包含延迟环节时 m 1 当对象包含延迟环节时 m 1 任意广义对象的最少拍控制器设计 为避免发生D z 与G z 的不稳定零极点对消 z 应满足如下稳定性条件 1 因所以 e z 的零点应包含G z 在z平面单位圆上或单位圆外的所有极点 即其中 F1 z 1 是关于z 1的多项式且不包含G z 中的不稳定极点ai 任意广义对象的最少拍控制器设计 2 因所以 z 应保留G z 所有不稳定零点 即其中 F2 z 1 为关于z 1的多项式且不包含G z 中的不稳定零点bi 任意广义对象的最少拍控制器设计 满足了上述稳定性条件后即D z 不再包含G z 的z平面单位圆上或单位圆外零极点 考虑到准确性 快速性 应选择其中 对应于阶跃 等速 等加速输入 p q应分别取为1 2 3 任意广义对象的最少拍控制器设计 综合考虑闭环系统的稳定性 快速性 准确性 z 必须选为其中 m为广义对象G z 的瞬变滞后 该滞后只能予以保留 bi为G z 在z平面的不稳定零点 u为G z 不稳定零点数 v为G z 不稳定的极点数 z 1极点除外 q分别取1 2 3 ci为q v个待定系数 ci i 0 1 2 q v 1 应满足下式 任意广义对象的最少拍控制器设计 具体地 有前q个方程实际上就是准确性条件 后v个方程是由 aj j 1 2 v 是G z 的极点 得到的 例6 1 在下图所示的系统中 被控对象已知K 10 T Tm 0 025s 则按前面所述最少拍设计方法 针对单位速度输入信号设计最少拍控制系统 解 可以看出 G z 的零点为 0 718 单位圆内 极点为1 单位圆上 0 368 单位圆内 故u 0 v 0 z 1极点除外 m 1 根据稳定性要求 G z 中z 1的极点应包含在 e z 的零点中 由于系统针对等速输入进行设计 故q 2 为满足准确性条件另有 e z 1 z 1 2F1 z 显然准确性条件中已满足了稳定性要求 于是可设 闭环脉冲传递函数为 计算出各点信号 因Y z R z z U z G z 所以 各点信号波形如下图所示 下面讨论在输入信号分别为阶跃信号和加速度信号情况下 系统的输出是否还能够保持这种特性 r t y t 采样点之间系统输出值可以采用修正Z变换计算 1 输入为单位阶跃信号 即y 0 0 y T 2 y 2T y 3T 1因此 按单位速度输入设计的最少拍系统 当输入变为单位阶跃输入时 需经过2个采样周期 输出才可以跟踪上输入 且t T时 超调最大 达到100 2 输入为加速度信号 即e 0 0 e T T2 2 e 2T e 3T T2 可以看出 当输入形式为单位加速度时 系统经过2拍达到稳定 即ts 2T 但系统始终存在误差T2 输出可以跟踪输入 但只能做到恒差跟踪 综上可以看出 按照某种典型输入设计的最少拍系统 当输入形式改变时 系统的性能变坏 输出响应不一定理想 3 最少拍无纹波控制器设计 最少拍设计是采用z变换进行的 仅在采样点处是闭环反馈控制 在采样点间实际上是开环运行的 因此 在采样点处的误差为零 并不能保证采样点之间的误差也为零 事实上 按上面方法设计的最少拍系统存在以下问题 1 存在波纹2 系统对输入信号的适应性差3 对参数变化的灵敏度大4 控制幅值的约束 为使被控对象在稳态时的输出与输入同步 要求被控对象必须具有相应的能力 例如 若输入为等速输入函数 被控对象Gp s 的稳态输出也应为等速函数 因此就要求Gp s 中至少有一个积分环节 必要条件 最少拍无纹波控制器设计 系统进入稳态后 若数字控制器输出u t 仍然有波动 则系统输出就会有纹波 因此要求u t 在稳态时 或者为0 或者为常值 由Y z z R z U z G z 知U z z R z G z 要求u t 在稳态时无波动 就意味着U z R z 为z 1的有限项多项式 而这要求 z 包含G z 的所有零点 即其中 w为广义对象G z 的所有零点个数 bi i 1 2 w 为G z 的所有零点 最少拍无纹波控制器设计 综上 无纹波系统的闭环脉冲传递函数 z 必须选择为 式中m为广义对象G z 的瞬变滞后 q为典型输入函数R z 分母的 1 z 1 因子的阶次 b1 b2 bw为G z 所有的w个零点 v为G z 在z平面单位圆外的极点数 z 1的极点不计在内 待定系数c0 c1 cq v 1 由下列方程确定 例6 2 在下图所示的系统中 被控对象已知K 10 T Tm 0 025s 则按前面所述最少拍设计方法 针对单位速度输入信号设计无波纹最少拍控制系统 解 被控对象的传递函数Gp s K s 1 Tms 其中有一个积分环节 说明它有能力平滑地产生等速输出响应 满足无纹波的必要条件 可以看出 G z 的零点为 0 718 单位圆内 极点为1 单位圆上 0 368 单位圆内 故w 1 v 0 单位圆上除外 m 1 q 2 与有纹波系统相同 统计v时 z 1的极点不包括在内 根据快速无纹波系统对闭环脉冲传递函数 z 的要求 有纹波系统调整时间为2T 无纹波系统调整时间为3T 无纹波系统调整时间增加了1T 有纹波系统输出经2T后在采样点间有纹波 经2T后控制器输出u t 仍有脉动 而无纹波系统经3T后 u t 为恒值 系统输出在采样点间不存在纹波 另外要说明的一点是 针对某一典型输入设计的无纹波系统 在其它类型典型输入下 输出也无纹波 但通常系统的动态性能变坏 6 3纯滞后对象的控制算法 在工业生产中 大多数过程对象含有较大的纯滞后特性 被控对象的纯滞后时间 使系统的稳定性降低 动态性能变坏 如容易引起超调和持续的振荡 对象的纯滞后特性给控制器的设计带来困难 纯滞后补偿控制 史密斯 Smith 预估器大林 Dahlin 算法 1 史密斯 Smith 预估器 设被控对象传递函数为纯滞后时间常数 为采样周期T的整数倍 NT G0 s 不包含纯滞后特性 带零阶保持器的广义对象传递函数为待设计控制器为D z 如下图所示 纯滞后对象控制系统 史密斯 Smith 预估器 闭环脉冲传递函数为可见 闭环传递函数分母中包含有纯时间滞后环节 它会使系统的稳定性降低 如果 足够大 系统甚至可能变为不稳定 为此 引入史密斯预估器将对象进行改造 史密斯预估器的设计步骤 史密斯预估器的设计步骤 1 不考虑纯滞后 根据对闭环系统理想特性要求 0 z 先构造一个无时间滞后的闭环系统 见下图 因纯滞后特性无法消除 因此理想闭环系统特性为此时的数字控制器 理想闭环系统 史密斯预估器的设计步骤 2 考虑待设计的系统 D z 即为待设计的数字控制器 该系统应与理想闭环系统具有相同的闭环脉冲传递函数 则求得上式即为史密斯预估器的z传递函数 其结构如下图 a 所示 史密斯补偿控制系统 史密斯预估器实际上是引入了一个与被控对象并联的补偿器 1 z N G0 z 使得补偿以后的等效对象不包含纯滞后特性 为G0 z 史密斯预估器的设计步骤 3 因此Smith预估器也称作Smith补偿器 经过补偿后 闭环系统特征方程为上式中已不包含z N 因此纯滞后的特性不影响系统的稳定性 纯滞后被补偿控制系统单位阶跃响应 2 大林 Dahlin 算法 如果对系统的要求是无超调量或超调量很小 并且允许有较长的调节时间 则大林算法的控制效果往往比PID等控制算法具有更好的效果 假设有滞后特性的被控对象可以用带有纯滞后环节e s的一阶或二阶惯性环节来近似 即或 大林 Dahlin 算法 带零阶保持器的一阶对象的脉冲传递函数为带零阶保持器的二阶对象的z传递函数为式中 数字控制器D z 的形式 设计目标 不论是对一阶惯性对象还是对二阶惯性对象 大林算法的设计目标都是使闭环传递函数 s 相当于一个纯滞后环节和一个惯性环节的串联 其中纯滞后环节的滞后时间 与被控对象的纯滞后时间完全相同 这样就能保证使系统不产生超调 同时保证其稳定性 因此式中 Tc为理想闭环系统的一阶惯性时间常数 数字控制器D z 的形式 对上式用零阶保持器法离散化 得到由于所以 只要确定了被控对象 就可以由上式确定控制器 大林算法的主要步骤 选取期望的闭环脉冲传递函数根据被控装置的传递函数计算广义脉冲传递函数计算数字控制器脉冲传递函数 例6 4已知被控装置的传递函数为试采用大林算法 确定数字控制器 解 采样周期T 1s 期望闭环脉冲传递函数为 系统输出 控制器输出 T 1s 振铃现象及其消除 所谓振铃 Ringing 现象 是指数字控制器的输出以二分之一采样频率大幅度衰减的振荡 振铃现象中的振荡是衰减的 由于被控对象中惯性环节的低通特性 使得这种振荡对系统的输出几乎无任何影响 但是振铃现象却会增加执行机构的磨损 在有交互作用的多参数控制系统中 振铃现象还有可能影响到系统的稳定性 振铃现象的分析 系统的输出Y z 和数字控制器的输出U z 间有下列关系系统的输出Y z 和输入函数R z 之间有下列关系由上面两式得到数字控制器的输出U z 与输入函数的R z 之间的关系为 振铃现象的分析 定义显然Ku z 表达了数字控制器的输出与输入函数在闭环时的关系 是分析振铃现象的基础 振铃现象的分析 对于单位阶跃输入函数R z 1 1 z 1 含有极点z 1 如果Ku z 的极点在z平面的负实轴上 且与z 1点相近 那么数字控制器的输出序列u k 中将含有这两种幅值相近的瞬态项 而且瞬态项的符号在不同时刻是不同的 当两瞬态项符号相同时 数字控制器的输出控制作用加强 符号相反时 控制作用减弱 从而造成数字控制器的输出序列大幅度波动 分析Ku z 在z平面负实轴上的极点分布情况 就可得出振铃现象的有关结论 带纯滞后的一阶惯性环节 求得极点z e T T 显然 该极点永远是大于零的 结论 在带纯滞后的一阶惯性环节组成的系统中 数字控制器输出对输入的脉冲传递函数不存在负实轴上的极点 这种系统不存在振铃现象 带纯滞后的二阶惯性环节 结论 可能出现负实轴上与z 1相近的极点 这一极点将引起振铃现象 上式有两个极点 第一个为z e T T 不会引起振铃现象 第二个极点在z c2 c1 振铃幅度RA 振铃幅度RA用来衡量振铃强烈的程度 为描述振铃强烈的程度 应找出数字控制器输出量的最大值umax 由于这一最大值与系统参数的关系难于用解析的式子描述出来 所以常用单位阶跃作用下数字控制器第0次输出量与第1次输出量的差值来衡量振铃现象强烈的程度 RA 1 b1 a1 1 a1 b1 带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统 其振铃幅度为 在单位阶跃输入函数的作用下 数字控制器输出量的z变换是 假设 振铃现象的消除 有两种方法可用来消除振铃现象1 找出D z 中引起振铃现象的因子 z 1附近的极点 然后令其中的z 1 根据终值定理 这样处理不影响输出量的稳态值 2 选择合适的采样周期T及系统闭环时间常数Tc 使得数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象 振铃现象示例 已知被控装置的传递函数为被控装置广义脉冲传递函数用大林算法确定的数字控制器为 振铃现象示例 由于D z 在z平面的左半平面有靠近z 1的两个极点z 0 6321 z 0 7919 对于单位阶跃输入数字控制器的输出将产生振铃现象 振铃现象示例 按消除振铃现象的第一种方法 令z 0 6321和z 0 7919中的z 1 根据终值定理 这样处理不影响输出量的稳态值 具有纯滞后系统的大林数字控制器直接设计的步骤 根据系统的性能 确定闭环系统的参数Tc 给出振铃幅度RA的指标根据振铃幅度RA与采样周期T的关系 解出给定振铃幅度下对应的采样周期T 如果T有多解 则选择较大的采样周期确定纯滞后时间 与采样周期之比的最大整数N求广义对象的脉冲传递函数G z 及闭环系统的脉冲传递函数 z 求数字控制器的脉冲传递函数D z 6 4设计数字控制器的根轨迹法 离散时间系统的根轨迹离散时间系统的根轨迹设计 1 离散系统的根轨迹 下图所示系统的闭环脉冲传递函数为 特征方程为 数字控制系统框图 将增益K从0变化至 时 闭环系统的根在z平面上的轨迹 称为闭环系统的根轨迹 离散时间系统的根轨迹 根轨迹上任意一点Za均满足其特征方程 即幅值和相位满足考虑一种特殊情况 设D z 1 且设KG z 为其中为实数 离散时间系统的根轨迹 此时有关系式 离散时间系统的根轨迹 其中 数字控制器D z 的极点在单位圆内的实轴上 为了不影响系统的稳态特性 设D 1 1 此时有当z0 zp时 有Kd 1 此时称数字控制器为相位超前控制器 零点在极点的右侧 可提供一个超前角 当z0 zp时 有Kd 1 此时称数字控制器为相位迟后控制器 零点在极点的左侧 可提供一个迟后角 设数字控制器具有如下简单形式 2 离散系统根轨迹设计 离散系统根轨迹设计步骤如下 根据性能指标要求选择期望的闭环主导极点 绘制未校正系统的根轨迹 选择校正控制器的零点 使其与的极点对消 根据相角方程 确定校正控制器极点 求解幅值方程 得到控制器增益 例6 6 计算机控制系统如下图所示 采样周期T 0 2s 试用根轨迹法设计数字控制器D z 使闭环系统主导极点的阻尼比 调节时间 解 根据调节时间表达式可得 取 对于二阶振荡系统 由阻尼比和自然振荡频率可得s平面主导极点位置 把s平面极点转换为z平面极点 极坐标形式 由下式决定 对于本例 所以在z平面上 主导极点P的坐标为 系统校正前的开环脉冲传递函数为 p Zp2 Z0 Re Im Z平面 其根轨迹为下图 在根轨迹图上绘制的等阻尼比线 标注所希望的主导极点P 要使主导极点P位于系统的根轨迹上 必须使系统根轨迹左移 这就需要引入超前校正数字控制器D z 根据开环零极点分布对根轨迹的影响 应该引入一个新的零点 以抵消原来的极点0 6703 同时 附加一个新的极点 以使根轨迹弯向左边 由此得到校正网络的脉冲传递函数为 广义开环传递函数为 要使点P位于根轨迹上 必须满足相角条件 系统阶跃响应输出曲线 6 5数字控制器的频域设计法 将G z 作w变换后映射成G w 因w域与s域有类似的对应关系 这样就可以运用与连续系统相同的频域设计方法来进行数字控制系统的分析和设计 w变换数字控制器的频率特性w变换法的设计步骤 1 w变换 由z平面到w平面的双线性变换公式为w变换w反变换 2 数字控制器的频率特性 设一阶校正器的传递函数D w 的一般形式为其