朱世杰恒等式及其应用.doc

朱世杰恒等式及其应用大南湖中心学校 扶璋 什么是朱世杰恒等式?先用归纳的合情推理,猜想出朱世杰恒等式,再证明它.证明:由组合的第二个性质 用裂项相消法来证明时，可令i=1，2，3，,r则有.以上r个等式两边分别相加得移项并且代换可得朱世杰恒等式一 用朱世杰恒等式求数列的和1.1朱世杰恒等式可以求前n个自然数的和, 平方和, 立方和.=用朱世杰恒等式与用等差数列求和公式殊途同归事实上 ，。 为了求,先分析通项=有了这些准备工作之后，对于自然数中前n个偶数, 奇数的平方和就有了熟悉激活陌生的基础.1.2 用朱世杰恒等式求连续积组成的数列之和12+23+n(n+1)= =123+234+n(n+1)(n+2)=6()宏观角度去猜想,n个连续自然数乘积相加,其结果是(n+1)个连续自然数的乘积再除以(n+1).用微观角度去猜想也能得出殊途同归的结果.1.3 某些特殊数列的求和例1 ,求和解:原式=-2(=2(-(=(1/3). 这说明在使用朱世杰恒等式时,如果不符合朱世杰恒等式的条件,一定要创造朱世杰恒等式的条件,再使用,方可得出正确的结果.二 用朱世杰恒等式求偶数列(奇数列)的幂之和首先, 我们探求和的规律性, 探索通项是求和的“通行证”众所周知1+2+3+.+n=我们把自然数中前n个偶数的平方和转化成两个数列的差, 从而创造性的激活了新数列的求和问题. 实质是把陌生的问题转化成熟悉的问题.类比到自然数中前n个奇数的平方和, 可否用“熟悉激活陌生”的数学思想呢?例1 求和分析: 自然数中前2n+1个奇数的平方和等于自然数中前n+1个自然数的平方和再减去前n个偶数的平方和, 这也是熟悉激活陌生的策略; 第二种激活例1的方法是运用朱世杰恒等式.解法1: 原式=解法2: 分析通项是求和的“通行证”:=1+n+42(+4(=n+1+这就殊途同归地得出我们予想的结果.两种解法比较可以看出“新想法是旧成分的新组合”。解法1是用减法，而解法2用加法。正如爱因斯坦说的“从新的角度去看旧的问题却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”三 用朱世杰恒等式解高考题例1是否存在常数a,b.c使得等式12+23+34+n(n+1)= 对一切自然数n都成立?解:.=2可见a=1,b=3,c=2使得一切自然数n都成立.例2 (1989年全国高考数学试题) 是否存在常数a,b,c使得等式2对一切自然数都成立?解: 可见a=3,b=11,c=10使得等式对一切自然数都成立.笔者根据以上两例创造性地用类比迁移法发现、并证明其发现、猜想是正确的.波利亚说:“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强. 但是这里质量仍然比数量更为重要. 清晰的类比较模糊的相似更有价值,”又说:“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易,这需要经验、鉴别能力和好运气,但是,当我们成功地解决了一个好问题以后,我们应当去寻找更多的好问题.好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长.找到一个以后,你应当在周围找找;很可能在附近就有几个.” 笔者创造性地得出例3,并用朱世杰恒等式成功地证明了它.例3是否存在常数a,b,c使得等式+bn_c)对一切自然数n都成立. 解:对通项构造等式故存在常数a=12,b=39,c=29使得等式对一切自然数n都成立.四 用证明朱世杰恒等式的类似方法证明全国统编教材的习题很多数学教师认为朱世杰恒等式对高中数学教学是无用的,事实上并非如此,请看全国统编的人教社高中第二册(下B)第120页复习参考题十的B组题3的(2)例4求证:用朱世杰恒等式可猜想这就是倒序的朱世杰恒等式,但是想象、猜想都不是证明,我们用证明朱世杰恒等式的类似方法证明它.证明1:由组合的第二个性质有用裂项相消法证明时,令时则有 (其中)移项最后得出 .即:证明2: 由等比数列求和公式根据二项式定理比较上面等式两端展开式中含项的系数即得:证明3: 由组合的性质=:这种方法是连续地应用组合的第二个性质,也是更简单的证明方法.我们是在朱世杰恒等式的前提下,作为它的应用而证明出教材的一道难题. 综上所述,用朱世杰恒等式不但可以求前N个自然数的和、平方和、立方和,而且还可以求几个连续自然数的积之和,更可以求特殊自然数列奇次幂(偶次幂)的和,最后用它来解高考题或推广的高考题.其方法多为构造法,最后用证它的类似方法来证教材中的一道难题.总之,本文以朱世杰恒等式为工具,以构造组合数公式为策略,以构造法为