高中数学导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数二学案新人教A版.docx

13.3函数的最大(小)值与导数(二)学习目标1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f(x)；(2)求极值嫌疑点：即f(x)不存在的点和f(x)0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数范围例1若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(1，) B(1,4)C(1,2 D(1,2)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案C解析由f(x)33x20，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a2121a，解得1a.又当x(1，)时，f(x)单调递减，且当x2时，f(x)2.a2.综上，1a2.反思与感悟函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内跟踪训练1若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(，1)C(0，) D.考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案D解析由题意得，函数f(x)x36bx3b的导数f(x)3x26b在(0,1)内有零点，且f(0)0，即6b0，0b，故选D.类型二与最值有关的恒成立问题例2已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为，(1，)；单调递减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故实数c的取值范围为(，1)(2，)引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x1,2，不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x1,2，不等式f(x)c，所以f(1)c为最小值因为存在x1,2，不等式f(x)f(1)c，即2c22c30，解得cR.故实数c的取值范围为R.反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2(1)已知函数f(x)2xln x，g(x)x2ax3对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案(，4解析由2xln xx2ax3，得a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增h(x)minh(1)4.a4.(2)设L为曲线C：y在点(1,0)处的切线求L的方程；证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方考点利用导数求函数中参数的取值范围题点恒成立中的证明问题解设f(x)，则f(x)，所以f(1)1，所以L的方程为yx1.证明设g(x)x1f(x)，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于x0且x1，g(x)0.g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)在(1，)上单调递增；所以，x0且x1，g(x)g(1)0.所以除切点外，曲线C在直线L的下方.1函数f(x)xex，x0,4的最大值是()A0 B. C. D.考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案B解析f(x)exxexex(1x)，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增，当1x4时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，f(x)maxf(1).故选B.2函数f(x)xln x的最小值为()Ae2 BeCe1 D考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案C解析f(x)xln x，定义域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x0恒成立，则实数a的取值范围是()A(1，) B(，1)C1，) D(，1考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案A解析f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0恒成立，则1a0，解得a1，故选A.4已知函数f(x)x33x22，x1，x2是区间1,1上任意两个值，M|f(x1)f(x2)|恒成立，则M的最小值是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案4解析f(x)3x26x3x(x2)，当1x0，f(x)单调递增，当0x1时，f(x)0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)在x1处取得极值3c知f(1)bc3c，得b3.又f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)，由f(1)0，得a4b0，a4b12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x0)令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)为增函数因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(3)由(2)知f(1)3c既是极小值，也是(0，)内的最小值，要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2，即2c2c30.从而(2c3)(c1)0，解得c或c1.故实数c的取值范围为(，1.1若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内2已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)在1,1上的最大值、最小值分别为()A0，4 B.，4C.，0 D2,0考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案B解析由题意得即得则f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，令f(x)0得x1或x，由f，f(1)4，f(1)0，f(x)max，f(x)min4.2已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为()A0 B.C2 D2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值答案A解析因为a，b为正实数，所以f(x)ax3bx2是增函数，函数f(x)ax3bx2在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2.在1,0上的最小值为f(1)(ab)20.3若关于x的不等式x33x3a0恒成立，其中2x3，则实数a的最大值为()A1 B1C5 D21考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案D解析若关于x的不等式x33x3a0恒成立，则ax33x3在2,3上恒成立，令f(x)x33x3，x2,3，则f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，解得1x1，令f(x)1或x0恒成立，则实数m的取值范围是()A. B.C(，e1) D(e1，)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案A解析当x(0,3)时，关于x的不等式exx2mx0恒成立，即为2m1在(0,3)上的最小值，令f(x)，则f(x)，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当1x0，f(x)单调递增可得f(x)在x1处取得最小值e，即有2m1e，可得m0时，f(x)f(0)1，当xf(3)1，又f(x)x33x21在a，)上的最大值为1，a的取值范围为3,06关于函数f(x)(2xx2)ex的命题：f(x)0的解集是x|0x0，所以f(x)0，即需2xx20解得x|0x2，正确因为f(x)(2xx2)ex的定义域是R，f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，令f(x)0，得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f()是极小值，f()是极大值，正确由图象(图略)知f()为最大值，无最小值，错误7若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最大值，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1C(，2) D(，2考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案D解析由题意知f(x)x33x，所以f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，故x1是函数f(x)的极大值点，f(1)132，令x33x2，解得x2，由题意得解得0，对一切实数x恒成立，令h(x)exxa，则h(x)min0，h(x)ex1，令h(x)0得x0，当x0时，h(x)0时，h(x)0，则h(x)在(0，)上单调递增，当x0时，h(x)取得极小值，即最小值为h(0)1a，1a0，即a1.10已知函数f(x)ax33x1，且对任意x(0,1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案4，)解析当x(0,1时，不等式ax33x10可化为a.设g(x)，x(0,1，则g(x).令g(x)0，得x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：xg(x)0g(x)极大值因此g(x)的最大值等于极大值g4，则实数a的取值范围是4，)11已知函数f(x)axln x，g(x)exax，其中a为正实数，若f(x)在(1，)上无最小值，且g(x)在(1，)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案1，e解析f(x)axln x(x0)，f(x)a，若f(x)在(1，)上无最小值，则f(x)在(1，)上单调，f(x)0在(1，)上恒成立，或f(x)0在(1，)上恒成立，a或a，而函数y在(1，)上单调递减，当x1时，函数y取得最大值1，a1或a0，而a为正实数，故a1，又g(x)exax，g(x)exa，函数g(x)exax在区间(1，)上单调递增，g(x)exa0在区间(1，)上恒成立，a(ex)min在区间(1，)上恒成立而exe，ae.综合，a1，e三、解答题12已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，令f(x)3x26x90，得x1或x3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值而f(1)c5，f(3)c27，f(2)c2，f(6)c54，当x2,6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只需c542|c|.当c0时，c5454；当c0时，c542c，c0，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f(x)0，函数f(x)单调递减又f(0)0，f(2)，故函数f(x)的最小值为f(0)0，结论不成立当a0时，令f(x)0，得x11，x21.若a0，则f(0)a0，结论不成立若00，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f(x)1，则011，1.综上所述，a的取值范围是a.四、探究与拓展14设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C. D.考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案D解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|yt2ln t(t0)y2t.当0t时，y时，y0，可知y在上单调递增故当t时，|MN|有极小值也是最小值15已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，