数模论文－飞行器再入轨迹优化问题.doc

飞行器再入轨迹优化问题摘 要在天地往返运输系统中，再入大气层着陆阶段最为复杂，它是指飞行器沿转变后的轨道到达它要着陆的天体的大气层，安全通过大气层并利用大气减速最终安全着陆在天体上的过程，简称为再入过程。如何设计再入轨迹使得有效载荷最大、消耗能量最小、落地速度不能过大以及飞行器表面温度不超过允许的极限值等，以确保再入飞行器无损的降落在预定着陆区之内成为问题的关键。分析登月问题时，根据我们的假设，飞行器的着陆轨迹受到常力及推力方向角的约束，即可以通过确定适当的反向推力和推力方向角来确定最优的着陆轨迹。可以根据所建立的二次反推变轨数学模型来分析飞行器的着陆轨迹，通过猜测试探验证可将推力方向角用的三阶多项式表示，然后运用数学工具分析计算即可得到在不同的反向推力和保证飞行器安全着陆的前提下，飞行器着陆过程需要的时间，根据测定着陆时间的长短就可以确定出燃料的消耗量，然后通过进一步的对比找出最优的推力和推力方向角，即可确定着陆器的最佳着陆轨迹。分析再入地球大气层轨迹时，根据飞行器在大气中的受力情况，写出飞行器轨迹的微分方程，通过对方程的分析提取出控制变量与约束条件解得优化轨迹。本模型的优化建立在考虑在TPS不确定时，结合实际情况，优化再入轨迹使飞行器降落速度尽可能小时，再确定TPS使其能承受再入过程中的热载荷，并由此确定最大有效载荷。论文中建立的模型和设计的算法有很强的实用性，但在各种假设条件下模型和算法还是有一定的局限性。关键字：再入轨迹优化，二次反推变轨，再入轨道倾角控制。一问题重述:随着我国综合国力和科技水平的快速增长，登月飞行越来越引起广泛的兴趣这不仅是因为登月飞行的成功最好地展现了国家的航天科技水平，而且因为登月飞行具有极为重要的学研究价值例如利用月球无大气、弱磁场、弱引力场等特点。月球成为天文观测、天体物理研究的理想场所，对研究太阳系的起源和演化具有极为重要的意义天地往返运输系统执行飞行任务一般经历三个阶段:发射阶段、在轨运行阶段和再入大气层返回着陆阶段。其中，以再入大气层阶段最为复杂，它是指飞行器沿转变后的轨道到达它要着陆的天体的大气层，安全通过大气层并利用大气减速最终安全着陆在天体上的过程，简称为再入过程。简言之，再入是指飞行器从大气层外再次进入大气层内的飞行。据此提出问题：要求设计再入轨迹使得有效载荷最大、消耗能量最小、落地速度不能过大以及飞行器表面温度不超过允许的极限值等，以确保再入飞行器无损的降落在预定着陆区之内。问题1：考虑绕月飞行器在月球表面（没有大气层）降落的情形，构造此时飞行器再入轨迹优化设计的数学模型，并通过数值仿真来分析、验证模型的有效性（不考虑地球等其他天体的影响）；问题2：考虑飞行器再入地球大气层的情形，试构造此时再入轨迹优化设计问题的数学模型，并通过数值仿真来对模型进行分析。二基本假设：忽略月球，地球的自转问题1：1 月球可看做一质量均匀，形状标准的球体；2 反向推力大小为定常值；3 飞行器为一质点, 不考虑飞行器的姿态对轨道的影响,也不考虑飞行器姿态的约束；4 飞行器初始轨道是以月球球心为圆心的圆；问题2：5 地球可看做一质量均匀，形状标准的球体；6 飞行器为一质点，但有受阻面积；7 大气层为一厚度均匀的球壳；8 飞行器初始轨道是以地球球心为圆心的圆；9 忽略重力而只考虑空气阻力的作用；忽略地球曲率的影响，再入轨道是直线轨道；10 大气密度是高度的指数函数；11 不考虑月球等其他天体的影响；12 只考虑气动力作用时，认为阻力系数不变。三.问题分析：飞行器再入轨道问题要求设计一条优化的着陆轨道,其要满足落地速度不能过大的约束条件。对于问题1：由于月球表面没有大气，整个着陆过程必须完全依靠制动发动机完成。整个飞行过程分为这么几个阶段：飞行器首先运行在高度大约100krn的环月停泊圆轨道。当满足一定条件后向飞行器施加反向推力。改变其运行轨道。最终着陆完成。通过设计推力的施加方案，以达到轨道的优化，使其满足最小的降落代价。这里须使有效载荷最大，消耗能量最小，我们可以认为其即是除推进燃料之外部分的质量占飞行器总重的比例最高，也就是降落消耗的燃料质量最小。 对于问题2：基于问题1，此问题有本身的特殊性。由于地球表面有100多公里的大气层，在飞行器进入大气层后受空气阻力影响，减速下降。在这一阶段空气阻力是使飞行器减速的主要因素，同时再入飞行过程中将产生严重的气动加热。如果没有热防护系统TPS(Temperature Protective System ),再入飞行器将会烧蚀。所以这里又需考虑TPS的质量对有效载荷的影响。四. 符号的约定变量：符号物理含义飞行器月（地）心距飞行器极角飞行器法向速度飞行器切向速度开普勒轨道运动的飞行器从远月（地）点开始运动的速度飞行器在近月（地）点的速度推力加速度推力方向角(操纵角)，即推力方向与当地水平线的夹角 发动机推力， 其幅值恒定飞行器质量燃料消耗率火箭发动机的燃气速度发动机的比冲轨道高度A飞行器在速度方向的参考面积常量：符号物理含义值月球半径1738 km停泊圆轨道半径100km月球引力常数/为近月点处的轨道高度15km地球引力加速度尺度高度6512m地面空气参考密度气动阻力系数036（经验值）五模型的建立与求解 对于问题一：飞行器绕月降落模型：二次反推变轨。 当飞行器运行在的环月停泊圆轨道时，向飞行器施加一个反向制动脉冲，使飞行器脱离停泊轨道形成一服从开普勒定律运动的下降椭圆轨道； 当下降到大约15km 左右高度的近月点时，发动机再次开始持续工作，主要衰减飞行器的切向速度，同时克服由月球引力引起的法向速度，这一阶段多采用燃料最优的控制策略；在接近月面的最终阶段，飞行器的控制策略转为以降低最终着陆撞击、确保人载荷的安全为目的，直至最终软着陆完成。容易看出，这一方案具有较长的软着陆准备时间、可以选择更大的着陆区域以及减少着陆舱部分的燃料消耗等优点。假设飞行器在t时刻开始霍曼下降，在t时刻到达近月点后，再经过止推发动机一段时间的工作，在t时刻，飞行器安全降落在月面上。在t时刻，有 (1) ：开普勒轨道远月点的月心距； ：开普勒轨道近月点的月心距；：初始横向速度；其中并非当地的环绕速度，而是在开普勒轨道运动的飞行器从远月点开始运动的速度，这一速度小于当地环绕速度，就是这两个速度的差；由于初始时刻飞行器在远月点，所以初始法向速度=0；在时刻， (2) 横向速度是飞行器在近月点的速度，这一速度大于当地环绕速度，是这两个速度的差； 由于时刻飞行器在近月点，所以法向速度。在时刻的终端约束条件为 (3) 其物理意义是飞行器降落到月球表面，速度为零。在惯性坐标系中，以月心为原点的极坐标形式受控飞行器动力学方程为： （4） 511 第一次变轨：从时刻到时刻的阶段，飞行器从高度为100km 的轨道过渡到高度为15km 的轨道。由于发动机不工作，故有，飞行器完全按照开普勒轨道运动。这一阶段决定飞行器轨道形状的因素就是飞行器在初始时刻的状态。可将100km轨道高度的变轨考虑为一个速度脉冲，通过齐奥尔科夫斯基公式计算飞行器的燃料消耗。即： (5) 式中为施加速度脉冲之前飞行器的质量；为产生速度脉冲所需要的燃料质量：。导出轨迹方程：根据齐奥尔科夫斯基公式，可知飞行器在这一阶段消耗的燃料质量与其总质量之比，因此可忽略飞行器在这一阶段质量的缺失。根据Newton第二定律可得飞行器运动的方程组： （6） 方程组（6）满足初值条件：令；可得极坐标下的轨迹方程： （7） 其中（C；）；由（7）分析可知，所以轨迹方程（7）所代表的曲线为一椭圆。512 第二次变轨：从时刻到时刻，止推发动机持续工作， 飞行器降落在月面，有，有，和 分别是可供选择的发动机推力幅值的上下限；为飞行器在时刻的质量。对于推力幅值恒定飞行器，燃料消耗最省的性能指标可以表达为=min （8）在这一阶段，优化的目标函数为式(8)，优化变量包括4个状态变量(，)， 1个时间变量和2个控制变量。其中状态变量的终值应满足约束(3)，状态变量的初值应与时刻开普勒轨道状态变量的末端值相等，控制变量满足不等式约束。通过飞行器4个状态变量在时刻和末端时刻的值（即初始值与终值条件）可以近似猜测方向角的4个参量，根据试探检验可得的拟合多项式为： （9）轨道的优化：上面所描述的第二阶段的问题被转化为一个有约束的优化问题描述。所需优化的参量包括飞行器4个状态变量在初始时刻和末端时刻的值、1个飞行时间参量、 1个推力幅值参量和式(9)中用于描述飞行器推力方向角的4个参量，共计l4个参量。这些参量应该满足以下8个约束条件：式(2)和(3)描述的飞行器在时刻和时刻的6个等式约束和飞行器推力幅值的2个不等式约束。优化的目标为式(8)所描述的飞行器燃料消耗或飞行时间达到极小值。仿真计算：时刻，飞行器在开普勒轨道近月点，具体参量如下表：月心距切向速度法向速度飞行器质量发动机的比冲发动机推力T时刻，飞行器落在月面，满足有约束条件（3）；根据式（9）试探及根据约束条件（2）和（3）验证可以将推力方向角的各项系数可近似拟合为：其随时间t变化的曲线如图1所示；图1由图1可以看出，推力方向角由最初的近似反向水平制动逐渐变为增加在飞行器法向的分量以克服由于月球引力引起的法向速度。利用Matlab编程求解微分方程组（4），代入以上有关数据及参量，得到月心距，法向速度，切向速度和极角随时间变化曲线如图2、图3、图4、图5所示；图2图2所示为飞行器的最优着陆曲线，由图2可以看出飞行器在510 s内下降了15km.后着陆在月球表面（在510s时曲线为最低点，对应月球半径r=1738km，510s之后的曲线无实际意义）。图3图3和4可以看出，飞行器终端时刻的法向速度和切向速度均为0满足边界约束条件。其中，飞行器的法向速度沿指向月心的方向先增大后减少，而切向速度始终在减少。图4图5图5：本文在优化中没有对极角加以限制，在仿真计算中飞行器的飞行极角大约变化了0.28 rad（约16.05度）。结论分析： 在本仿真计算中，假定飞行器着陆过程中的反向推力为定常力，飞行器的着陆轨迹受到该常力及推力方向角的约束，即可以通过确定适当的反向推力和推力方向角来确定最优的着陆轨迹。可以根据上文建立的数学模型来分析飞行器的着陆轨迹，通过猜测试探验证可将推力方向角用的三阶多项式表示，然后运用数学工具分析计算即可得到在不同的反向推力和保证飞行器安全着陆的前提下，飞行器着陆过程需要的时间，根据测定着陆时间的长短就可以确定出燃料的消耗量，然后通过进一步的对比找出最优的推力和推力方向角，即可确定着陆器的最佳着陆轨迹。 轨道高度100km 的飞行器的初始质量为500kg，比冲为300s。其完成燃料最优软着陆任务的仿真结果为，飞行器在轨道高度为100km 轨道燃料消耗为kg，占飞行器总质量的；经过s，飞行器飞抵高度15km 的近月点；之后， 飞行器采用最优推力为1500N；经过510s完成软着陆任务，此阶段燃料消耗22188kg，为飞行器总质量的52.04%。对于问题二：模型：再入大气层阶段1，预再入阶段：当飞行器运行在的绕地环形轨道时，向飞行器施加一个反向制动脉冲，使飞行器脱离原轨道，形成一服从开普勒定律运动的下降椭圆轨道；阶段2，再入阶段：当下降到距地球约100公里时，进入大气层，再入阶段开始。由于大气的摩擦，飞行器的速度开始急剧下降。阶段3，着陆阶段：当飞行器下降到距离地球表面约15公里处时，飞行器所受到的空气阻力大体与飞船自身的重力相当，这时飞行器的速度由超音速下降到亚音速，并稳定在200米秒左右，此时再入阶段结束，应采取进一步的减速措施以使飞行器安全地在地面着陆。假设飞行器在t时刻开始霍曼下降，在t时刻到达近地点后，进入大气层，在t时刻，飞行器所受到的空气阻力大体与飞船自身的重力相当，飞行器打开降落伞。在时刻，飞行器降落在地面。在惯性坐标系中，以地心为原点的极坐标形式受控飞行器动力学方程为： （10）其中，为空气阻力。，为高度时的空气密度。根据数据分析拟合得： （11） 其中为再入轨道初始弹道倾角。为地面空气参考密度，为气动阻力系数， 为尺度高度，其中为飞行器质量，其经验值/在之间，在本模型中取。为飞行器在速度方向上的参考面积。本模型考虑在TPS不确定时，结合实际情况，优化再入轨迹使飞行器降落速度尽可能小时，再确定TPS使其能承受再入过程中的热载荷，并由此确定最大有效载荷。以小升阻比飞船神州六号飞船为背景，飞船质量,速度方向圆参考面积半径，令起始约束为：，, ；终端约束为：，；进行的数值求解。对神州六号，代入式（11）求得优化解：反代回原式，得 （12） 这样就求得了神州六号飞船的优化初始弹道角度和速度公式。在求在这种情况下的飞行器球头最大热流点的热流：，其中：。求出和优化轨道相应的， 。用Maple软件可绘出刚刚求得的速度与高度的公式：结论分析：该图中，横纵坐标分别代表飞行器的高度h(单位km)和相对应的速度v(单位km/s)。分析该图可以发现，飞行器轨道高度在70km和100km之间时，其速度变化不明显；在25km和75km之间时，速度变化很快，倒数较大；在25km以下时，速度变化再次趋于平缓。该图与实际情况可以较好的吻合。由大气密度公式和气动阻力公式可知，飞行器轨道高度在70km和100km之间时，大气密度较小，此时阻力很小，相应引起的速度减小率也很小；在25km和75km之间时，大气变得相当稠密，阻力增加很快，速度急剧减小，实际情况中，飞行器的“黑障”和最高温度都出现在这一高度。在25km以下时，阻力和重力基本平衡，这时飞行器打开降落伞进行主动减速，这时将有另外的方法求解，不属于再入轨道主要研究范围。六. 模型的推广：在研究飞行器再入轨道的优化问题中，为使结果更贴近实际，更具有理论和工程价值，我们可以对此问题的模型进行如下推广。对于登月问题：1.登月轨道与人卫轨道的主要区别在于后者仅局限于在地球引力作用范围内运动而前者需穿越地球引力作用范围和月球引力作用范围，所以考虑地球引力对飞行器的摄动影响可以进一步优化模型。2. 要使登月着陆点更加精确，我们可以考虑月球的自转问题。对于再入地球大气层问题：1 若考虑地球对飞行器的万有引力作用，会发现微分方程有一定程度的改进，主要表现在角度不再是定常值，而是关于的函数，此时可用3次多项式对进行拟合。2 可以改变模型中对TPS质量的假设：（1）从飞行器TPS质量已确定的角度，可以通过再入轨迹优化来得到飞行器的最大有效载荷；（2）飞行器TPS质量足够大时，可通过多次穿越大气层的轨迹优化来得到最大有效载荷。3 若考虑着陆阶段中降落伞与止推发动机的使用，可以对降落末速度与能量消耗的问题建立更准确的模型。附录1参考文献1 MATLAB 6.5 实践与提高周金萍 王冉 吴斌