《1.1.1　正弦定理课件》高中数学人教b版版必修五24666.ppt

课程目标1双基目标(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题,2情感目标(1)通过对任意三角形边角关系的研究，培养我们的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力，同时在学习中感受数学的对称美与和谐美(2)通过解决一些实际问题，培养同学们数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活,(3)正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣,学法探究1注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯2注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力,3学习本章应注意的问题(1)重视数学思想方法的运用解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时， 要注意函数与方程思想的运用(2)加强新旧知识的联系本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力(3)提高数学建模能力利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型,11正弦定理和余弦定理,1正弦定理在一个三角形中，各 的长和它所对角的 的 相等，即 2解三角形一般地，我们把三角形的三个 和它的对边分别叫做三角形的元素已知三角形的求的过程叫做解三角形,边,正弦,比,几个元素,其他元素,角,重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况,1正弦定理反映了三角形中各边和它的对角的正弦的比的关系，表示形式为其中R是ABC外接圆的半径要注意正弦定理的变形应用，如a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，sinA asinBbsinA，asinCcsinA，bsinCcsinB.a b csinA sinB sinC.,2在解三角形时，常用到以下结论：(1)在ABC中，ABabsinAsinB(即大边对大角)(2)abc，bca，acb，abc，bca，cab(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边),(3)内角和定理：ABC，ABC，,3正弦定理的其他证明方法：正弦定理除了课本证明方法外，还有面积方法证明、向量方法证明、以及利用三角形外接圆方法证明证法一：(用面积方法证明),如图，以ABC的顶点A为原点，边AC所在的射线为x轴的正半轴建立直角坐标系，易得：顶点B的坐标是(ccosA，csinA)AC边上的高BE就是B点的纵坐标csinA，于是ABC的面积为：,证法二：(用向量方法证明)当ABC为直角三角形时，C90，已知BCa，ACb，ABc，如图，,当ABC为锐角三角形时，如图，,为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到：,证法三：(利用三角形外接圆方法证明)设ABC的外接圆的半径为R，求证：,若0A90，如图，AD，,若90A180，如图，A180D.,例1在ABC中，已知A45，B30，a2，解此三角形分析利用ABC180及正弦定理可解,解析根据三角形内角和定理知：C180(AB)180(4530)105根据正弦定理得，,点评已知三角形的两角和任意一边，这个三角形是确定的由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边,(2009广东)已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac且A75，则b()答案A,解析由ac 可知，CA75，B30，sinB 又sinAsin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45,例2在ABC中，解三角形：(1)b4，c8，B30(2)a ，b2，A30(3)a5，b2，B120分析已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形会出现唯一解、两解、无解的情况,解析(1)由正弦定理得，30Ca，A为锐角，角C有两解sinBsin(18030C)sin(150C)sin150cosCcos150sinC,点评已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的面积，解题的一般方法是利用正弦定理求出另一条边的对角，然后再用面积公式求解,在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a2，求ABC的面积,例4在ABC中，角A、B、C分别对应边a、b、c.(2)若bacosC，判定ABC的形状分析利用正弦定理将边转化为角，然后运用三角恒等变形进行证明或变形,解析(1)由正弦定理，得即sin2Asin2BsinCsin(AB)C(AB)，sinCsin(AB),sinCsin(AB)sin(AB)sin(AB)(sinAcosBcosAsinB)(sinAcosBcosAsinB)sin2Acos2Bcos2Asin2Bsin2A(1sin2B)(1sin2A)sin2Bsin2Asin2Asin2Bsin2Bsin2Asin2Bsin2Asin2B，,(2)bacosC，由正弦定理，得sinBsinAcosCB(AC)，sinBsin(AC)，sin(AC)sinAcosC.即sinAcosCcosAsinCsinAcosC，cosAsinC0.又A、C(0，)，ABC是直角三角形,点评在三角形中，若边a、b、c是齐次式，可利用正弦定理转化为角的关系，然后利用三角恒等变形进行化简与转化，注意ABC， 的应用，即相关诱导公式的应用,在ABC中，若sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，判断ABC的形状解析在ABC中，ABC，A(BC)，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，又sinA2sinBcosC，sinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sinBcosCcosBsinC0，即sin(BC)0，BC.,又sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A为直角，又BC，ABC是等腰直角三角形,例5在ABC中，若tanA tanBa2 b2，试判断ABC的形状误解由正弦定理得， a2 b2sin2A sin2B，tanA tanBa2 b2，,sinA0，sinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，2A2B，AB.故ABC是等腰三角形辨析在ABC中，若sin2Asin2B，则2A2B或2A2B，误解中漏掉2A2B这一情况,a2 b2sin2A sin2B，tanA tanBa2 b2，sinA0，sinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或AB,故ABC是等腰三角形或直角三角形,一、选择题1已知ABC中，a1，b ，A30，则B(),答案C,2已知ABC的三个内角之比为AB C3 2 1，那么对应的三边之比a b c等于()答案D,二、填空题3在ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，若A105，B45，b2 ，则c_.答案2,解析由已知，得C1801054530.,4在ABC中，若tanA C150，BC1，则AB_.,三、解答题5在ABC中，已知A45，B30，c10，求b.解析ABC180，C105.,6已知方程x2(bcosA)xacosB0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B