数值分析复习题.doc

例1 用Gauss列主元消去法解下列方程组 (1.5)解 (1) 选列主元消元过程第1步 在(1.5)将第一个方程与第二个方程交换，得 (1.6)在(1.6)中消元，得 (1.7)第2步 在(1.5)将第一个方程与第二个方程交换，得 (1.8)在(1.8)中消元，得 (1.9)(2) 回代过程由(1.9)的最后一个方程解出，代入(1.4)的第二个方程，解得；再将代入(1.4)的第一个方程，解得. 故所求解为例 用三角分解法解线性方程组解 列表 由表可知由，即可得，于是.例1 设，计算的各种范数。解 ； 得的两个特征值. ，故 .例3 计算例2中系数矩阵的条件数.解 ， ；，；.例1 分别用Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法解下列方程组 (4.5)解 从方程组(4.5)中分离出：据此建立Jacobi迭代公式 (4.6)及Gauss-Seidel迭代公式 (4.7)取迭代初值为，利用Jacobi迭代公式(4.6)，经9次迭代，得利用Gauss-Seidel迭代公式(4.7)，经6次迭代，得与精确解相比，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法更快，也更精确。例1 用Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法解下列方程组 (5.7)取，问两种迭代法是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证？解 方程组的系数矩阵为，Jacobi迭代矩阵为因为，所以由定理2知：用Jacobi迭代法解方程组(5.7)收敛。用Jacobi迭代法迭代一次得：，故需要迭代43次。Gauss-Seidel迭代矩阵为因为，所以由定理2知：用Gauss-Seidel迭代法解方程组(5.7)收敛。用Gauss-Seidel迭代法迭代一次得：，故需要迭代28次。例2 用Gauss-Seidel迭代法解下列方程组 (5.8)是否收敛？若收敛，取初始向量，用该方法求方程组(5.8)的近似解，使.解 将方程组(5.8)中各方程的位置调换成 (5.9)则(5.9)的系数矩阵是严格对角占优的，于是由定理3知：解方程组(5.9)的Gauss-Seidel迭代法收敛，且其迭代格式为由，得因为，故即为所求。例1 已知，求的Lagrange插值多项式。解 设，则故所求插值多项式为.例2 求经过点三点的Lagrange插值多项式。解 设，则故所求插值多项式为.例1 已知列表函数 1 2 3 4 0 5 6 3试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式解 造差商表则所求3次Newton插值多项式为例2 已知函数的数值表 0 1 2 3 1 2 17 64试分别求出的三次Newton向前和向后插值公式；并分别计算和时，的近似值。解 造向前和向后差分表则所求三次Newton向前插值公式为，.所求三次Newton向后插值公式为，.例1 用变步长的中点方法求在处的导数值的近似值。设取起算。01239103.017652.791352.736442.722812.718282.71828解 采用计算公式其中，计算结果见下表，其中表示二分的次数。二分9次的结果为，它的每一个数字都是有效数字。例2 用Richardson外推加速公式加工例1的结果。解 利用公式(1.16)、(1.17)及(1.18)，计算的结果见下表0.803.017650.412.791352.7159170.222.736442.7181372.7182850.132.722812.7182672.7182762.71828从表中可以看出，加速的效果是很明显的。例 试确定求积公式 (2.5)使其具有尽可能高的代数精度。解 这里有三个待定常数，将代入(2.5)，得解得. 于是(2.5)变为 . (2.6)直接验证，当时，(2.6)的左边，右边. 故求积公式(2.6)的最高代数精度.例 设， (1) 利用复化梯形公式计算的近似值，要使，应取多少？并计算.(2) 取与(1)同样的求积节点，利用复化Simpson公式计算的近似值，并估计误差？ 解 因为 ，所以,故 .(1) ，要使满足误差要求，由式(4.2)，只需，即，亦即，故应取. 则步长，相应地取9个节点，见表6.1.表6.101/82/83/84/81.00000000.99739780.98961580.97672670.95885105/86/87/810.93615560.90885160.87719250.8414709用复化梯形公式(4.1)得.(2) 由式(4.3)知在9个等距节点上用复化Simpson公式计算，应取4，相应地步长，于是 .例1 利用复化梯形公式的递推公式计算的近似值，要求误差不超过.解 设，取步长，计算，这里的1是1弧度。则；将区间2等分，分点为，此时步长，；再2分一次，得两个新分点，计算，；这样不断二分下去，计算结果见下表00.920735510.939793360.946076920.944513570.946081530.945690980.946082740.945985090.946083050.9460596100.9460831因为，所以就是满足精度要求的近似值。精确值对比，有7位有效数字。例2 用Romberg算法计算的近似值。解 利用Romberg算法及公式(5.8)、(5.9)及(5.10)，得计算结果见下表00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608340.94608310.9460831的每一位都是有效数字，它与用复化梯形公式的递推公式二分10次，计算个函数值所得的结果一致，因此Romberg算法外推加速的效果是十分明显的。例1 用两种不同的方法确定，使下面公式成为Gauss型求积公式解法一 因为两点Gauss型求积公式具有次代数精度，所以当时，上述两点Gauss型求积公式应准确成立，由此得： 解得 解法二 因为上述两点Gauss型求积公式的Gauss点是上以为权函数的某2次正交多项式的零点，不妨设. 于是解得.再令，则准确成立，即解得.例2 用两种不同的方法求两点Gauss公式.解法一 因为两点Gauss公式具有次代数精度，所以当时，上述两点Gauss公式准确成立，由此得： 解得 所以两点Gauss公式为.解法二 因为两点Gauss公式的Gauss点是：；所以可设所求两点Gauss公式为. 因为当时，上述两点Gauss公式准确成立，由此得 解得 所以两点Gauss公式为.例3 用两点Gauss公式计算的近似值。解 对于一般的求积区间，作变换：对，若令，则，. 于是，故与精确值对比，有4位有效数字。例4 用两点Gauss-Tchebyshev求积公式计算积分.解 因为在上，2次Tchebyshev多项式的零点是求积系数为，权函数为，故.因为是2次多项式，而两点Gauss-Tchebyshev求积公式具有3次代数精度，所以上式准确成立。事实上 . 例1 取步长，分别用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题解 这个初值问题的准确解为. 根据题设知(1) Euler方法的计算式为由, 得 这样继续计算下去，其结果列于表9.1.(2) 改进的Euler方法的计算式为由，得这样继续计算下去，其结果列于表9.1.表9.1Euler方法改进的Euler方法准确值0.10.90000000.90095000.90062350.20.80190000.80526320.80463110.30.70884910.71532790.71442980.40.62289020.63256510.63145290.50.54508150.55761530.55634600.60.47571770.49055100.48918000.70.41456750.43106810.42964450.80.36108010.37863970.37720450.90.31454180.33262780.33121291.00.27418330.29235930.2909884从表9.1可以看出,Euler方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler方法的精度比Euler方法高.例2 试用Euler方法、改进的Euler方法及四阶经典R-K方法在不同步长下计算初值问题在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果.解 对上述三种方法,每执行一步所需计算的次数分别为1、2、4。为了公正起见，上述三种方法的步长之此应为。因此，在用Euler方法、改进的Euler方法及四阶经典R-K方法计算0。2、0。4、0。8、1。0处的近似值时，它们的步长应分别取为0。05、0。1、0。2，以使三种方法的计算量大致相等。Euler方法的计算格式为改进的Eluer方法的计算格式为四阶经典R-K方法的计算格式为初始值均为，将计算结果列于表9.2.表9.2Euler方法（步长h=0.05）改进的Euler方法（步长h=0.1）四阶经典R-K方法（步长h=0.2）准确解0.20.80318660.80526320.80463630.80463110.40.62717770.63256510.63146530.63145290.60.48255860.49055100.48919790.48918000.80.36930360.37863970.37722490.37720451.00.28274820.29235930.29100860.2909884例3 取步长，用Adams预测校正公式及修正的Adams预测校正公式求解初值问题解 用四阶经典R-K方法计算前三步，将计算结果作为启动值，再分别利用Adams预测校正公式及修正的Adams预测校正公式计算，结果列于表9.3.表9.3（启动值）（Adams预测校正法） （修正的Adams预测校正法）（准确值）0.10.90062370.90062350.20.80463150.80463110.30.714430