三角形的特性及其应用.doc

10514250 刘倩 三角形的特性及其应用 三角形是由三条线段首位依次相接而连成的图形，他是各种图形中变数最少、最简单的图形。在生活中，各个地方都利用着三角形的一些性质。研究三角形的历史也是很古老的。人们早在公元前就已掌握了一些简单的性质并能很好的应用到生活生产中。随着时间的推移，人们对三角形的认识也逐渐加深，三角形的一些性质也发挥的更加淋漓尽致，我们的生活也越来越离不开它。下面我们便从三角形的一些重要性质入手来解读一下三角形。三角形的三条边不是随意长度的，它有一定的要求：任何两条边的长度之和都大于第三边。而三角形的三个内角也有一个规定：三个内角质和等于180.就是这边和角的要求造就了三角形的一个重要特性-三角形的稳定性。三角形的稳定性是我们最开始学习三角形时接触的，它虽然只有一句话并且没有证明过程，但它却是自古至今最实用的一条性质。无论是我们生活的各个细节还是重大工程、科学研究都有三角形的稳定性来起作用。生活中，很多桌子都是可折叠的，而这些桌子椅子在打开后，支撑体便是三角形的。老式的自行车中间都会有一个三角形的承重梁，他也是利用了三角形的稳定性。还有，在电线输送的始末两端都会在电线杆的旁边斜拉一根钢丝固定在地上。这也是利用了三角形的稳定性。在建筑工地上，几乎都可以看见一个高高的铁巨人，伸展着一只长长的手臂吊运物品，它是如何做到在力矩不等的情况下而不到的呢？它也是利用了三角形的稳定性。那么，三角形是如何做到这一特性的呢?在三角形中，三条边首位顺序相连。这样，三角形中便有了三个连接点。而在其他图形中都有四个或四个以上的连接点，这就是三角形的独特之处。我们将一个普通的四边形和一个普通的三角形进行一下对比实验，看看三角形是如何做到稳定的。取三根木条，首位顺序相连，组成一个三角形，连接处用大头钉固定。再取四根木条也是首位顺序相连，组成一个四边形，连接处依然用大头钉固定。组装好三角形和四边形后,我们把它们立在水平面上，然后用相同重量的砝码分别压在三角形的顶端和四边形最上边的一条边上。很明显，三角形只要三根木棍不断，其顶端所压砝码可以很多。而四边形变不行了，压上一个很轻的砝码便会倒下来，四个节点就变松动了。如果把四边形的四个连接点都换成螺钉的，承重量会有所增加，但和三角形相比还是相距甚远。通过观察可以发现，四边形在支撑不住时，四个节点都会发生转动。如果这四个节点不发生更转动，则四边形不会倒。而三角形仅有三个连接点固定，无论那个连接点发生转动都会使其对面的边长发生改变。而这又是我们前提条件所保证的，所以，三角形具有很好的稳定性。三角形的稳定性由连接点和三条边的负载成度决定。在塔吊的底部，有四个方向的支撑点，每个支撑点都是三角形结构。而这四个方向的支撑点都是混凝土结构，并且嵌入地下很深，确保四个支撑点不会松动，从根本上保证了塔吊在工作是不会出问题。很多时候三角形的称重量超过负荷极限都是因为超过了三条边材料的负荷量。很典型的实例，在2008年春节前，南方大面积冰冻雨雪灾害中，很多铁塔倒塌就是因为输电线上的雨雪太多，超过了铁塔的承受能力。在修建铁塔时，将一条条钢材按照一定的结构连接在一块，在每一级的角上都会斜着再连上一块钢板，起到固定作用。很多倒塌 的铁塔都是钢板太薄，不能承受那么多冰的重量。正是由于在施工建设时没有考虑到会有这么强烈的自然灾害天气，所以铁塔的设计承重量就没有那么多，所以在出现大量输电线结冰后，电塔便不堪重负了。可见，正确利用好三角形的稳定性可以造福人类，利用不好也会造成严重后果。在三角形中，还有一个很重要的定理勾股定理。可能很多人不理解为什么它的名字怎么那么怪，但它确实是根据中国人的古老叫法命名的。在古代，中国的数学家习惯上叫三角形的两条直角边分别为勾和股，斜边叫铉，具体为什么现在也无从考证了。说他有用有两方面原因：第一，在生活实践中我们经常用这条定理解决我们遇到的一些实际问题；第二，在很多解题过程中，他是起质决定成败的关键性的知识点。就勾股定理本身来说很简单易懂，而它其中蕴涵的东西却很多。由于勾股定理的证明繁琐，这里便不再证明，仅仅由应用方面来认识一下它。在生活实践中我们很多时候需要知道一个角是多少度，而这其中绝大多数时候仅仅是想知道这个角是不是90.这时候，勾股定理便能很简便的解决它。在古雅典，人们为了丈量土地，发明了一种尺子，专门用来测量直角。人们把一根绳子均匀的打了11个结，这样绳子就被均匀的分成了12份。在丈量土地时，人们将绳子按3:4:5的比例分成三份后首尾相连，这样就组成了一个标准的直角三角形，三个顶点都固定在地上后便可以测出角度是否为90了。在今年天，很多工作人员在工作时，也经常用到类似的原理。比如木匠在做一个长方形的木框时，为了保证木框做出来后各个角是直的，经常在一个直角的两个边上分别量出3:4的两段，在量一下这两个点的距离是不是5份就可以了。这样的方法既简便又实用。在解决几何题时，我们也经常用到勾股定理。在初中阶段，应用勾股定理解决几何题很常见，勾股定理也是初中习题练习中的重点。而在高中，勾股定理虽然不是重点了，但地位依然存在。很多习题在设计时就把勾股定理作为必经之路。如果它不能引起重视，到最后你会吃大亏的。有时一个几何题百思不得其解，这其中很有可能便是忘了应用勾股定理。很多几何题都会在勾股定理上做文章，勾股定理想不到，这道题就解不出来。高考中，很多学生因为紧张，把一些简单初级的定理都忘记了。在这样的场合，勾股定理决定着一个人的后半生。不管怎么说，勾股定理无论在生产生活中还是在做题考试中有很大的作用。正确及准确的应用好勾股定理会给我们带来很多方便，节省很多时间。除了三角形稳定性和勾股定理以为还有一个非常重要的定理相似三角形定理。虽然它被发现的时间稍晚，但它定实用性一点也不亚于前两个定理。自从相似三角形定律被发现后，人们的生活悄然发生着改变。在古代，在还没有应用三角形相似定律以前，人们在解决一些问题是感到束手无策。自从明白了相似性，很多问题得以轻松解决。人们的生活也变得轻松了很多。随着相似三角形定律的应用越来越广泛，很多难题都得到了解决。1.在古埃及建造金字塔时，国王想知道金字塔建成后到底有多高。因为金字塔建造的宏伟程度关系着自己的地位。但国王手下的群臣想尽了办法都没有准确的测量出来。因为金字塔已经建成，从顶端量到低端只能沿金字塔斜坡，而这样的数据对丈量出高度毫无意义。后来有一位聪明的人通过相似三角形的方法准确的测出了金字塔的高度，收到国王的封赏。2.在古代，火药很早就发明并被应用，但准确击中目标却成了问题。怎样才能知道敌人和自己的准确距离从而确定炮口的角度成了军中工程师们迫切需要解决的问题。在打仗时，炮手对距离的测算仅停留在目测，这样对火炮的准确打击造成了障碍。优秀的炮手通过目测也就只能目测百步之内的距离，并且误差较大，能够准确打击敌人很多时候是靠运气。并且一个优秀的炮手要紧过很长时间的训练、大量的实战才能练成。怎样才能快速测出敌我双方距离，准确及时的对地方造成最大的伤害呢？这也要依靠对相似三角形的应用。3.自从人类将科学研究的范围扩展到光学相似三角形的应用几乎无处不在。从第一块透镜磨出，让人类就开始探索光线是怎样传播的，是怎样成像的；到研制出天文望远镜观测河外星系，研制出电子显微镜观测到细小病毒，无处不在用相似三角形的原理来解释着一切。可见，相似三角形原理的应用已经深刻的影响着我们的生活。现在就让我们从这几方面具体来了解一下相似三角形是怎样建立它伟大功绩的。前文我们曾讲到聪明人因准确测量出金字塔的高度而获得封赏,其实原理很简单。只要我们明白其中的道理，谁都能测出来。在阳光明媚的下午，太阳斜射，金字塔会拖着长长的影子。这时候正是测量金字塔高度的好时机。测算方法是这样的：在太阳照射下的金字塔会有一个很长的影子，选定某时刻，将木棍放在阴影里，使木棍的影子末端刚好和金字塔影子的末端重合，标记号木棍和影子末端的位置。这样基本的操作就完成了，剩下的就是处理这些数据从而得出金字塔的高度。根据塔基塔顶的大小可以测算出图中金字塔的影长x+y和木棍的影长x，而木棍的长度h已知，这样就可以推导出金字塔的高度H了。推导过程：在图中,很显然三角形ABO和三角形CDO的高是垂直地面的，这样就可以证出三角形ABO和三角形CDO是相似的。所以H/h=(x+y)/x,这样H=(x+y)/hx,代入数据后便可以很容易算出H的高度。即使这样，测算的结果也不是十分精确，要通过以下几点注意来对结果进行校正：1. 多次测量，求平均值。在测量时，应每隔一段时间测一组数据，将每组数据算出的H值求平均值，这样可以减小一次测量由于误差带来H值的不准确。2. 木棍的长度尽量取整数，这样对后面的计算有好处。因为在计算H值时是一个分数，如果木棍的长度再是一个带有小数的值，无疑是对计算累赘，所以木棍的长度应取一个整数，如5米、10米等。3. 测量时间应在早上或晚上。因为这时太阳较低，照射出来的影子比较长，误差较小，测算出的金字塔高度更准确。相信大家看完解决方案后都会很惊讶，一座高可顶天的、巍峨雄浑的金字塔竟可通过如此简单的方法便可测出它的高度，不得不为人类的我伟大而感到惊叹。在电视剧亮剑中有这样一个场景，一团团长李云龙带领部队进行反围剿。李云龙手下有一员猛将叫柱子，在反围剿中他凭借高超的本领，用榴弹炮打掉多个敌人的火力点，最后仅用两发炮弹就炸掉了敌人的指挥所。很多人都为她惊讶，不禁要问他练的是神马功夫，让他伸出手挑出大拇指一看便知炮弹要怎么打。其实他并没有那么神奇，只不过利用了一个就简单的数学知识相似三角形原理彼岸准确的目测出敌我双方的距离。下面我们就来剖析一下他是如何做到的首先，人虽然有高矮，手臂有长短，但人两眼之间的距离和向前伸出手时眼到拇指的距离比是大致相同的，基本上都是1：10的关系。当伸出右手是，挑出大拇指，闭上左眼，让右眼、拇指尖、被测物体在一条直线上。然后，保持右手不动，睁开左眼，闭上右眼，这是大拇指和左眼所在的直线方向与被测物体便有了一定的偏差，记住这给偏差的位置，目测偏差与被测物体之间的横向距离如图所示：很明显，图中三角形ABO和三角形CDO是相似的。由此可以知道，AB/CD=AO/CO=AB/AO=CD/CO,因为AB/AO=0.1，所以CO=10CD,所以当我们估计出对方指挥所与大树之间的距离后在扩大十倍就是自己离对方地距离。通过解释你是不是感到原来神炮手是如此简单。其实我只要合理运用我们所学过的知识，很多问题都能轻松愉快 的解决。除了在军事方面的应用，很多光学研究方面也用到了三角形的相似性。从最简单的凸透镜成像我们便可以知道三角形的相似性的作用。又想知道一个凸透镜的放大倍数首相要知道它的焦距和球面半径，而这些数据需要专业仪器才能测得。不过今天给大家讲一种利用三角形的相似性便可简单算出的方法。大家都知道，凸透镜既可以成实相也可以成虚像，我们今天只从实相着手，来深入的认识一下凸透镜，测算一下它的焦距和球面半径。首相在凸透镜前一定距离处放一蜡烛作为光源，再在凸透镜的后面放一张白纸作为屏幕。调整凸透镜、光源和光屏的相对位置，使屏幕上呈现出倒立的实相，并通过微调使实相清晰。这时记录下光源到凸透镜的距离S和凸透镜到光屏的距离S，这样便可算出焦距的数值了。其中物体在凸透镜前发出的光线和经凸透镜折射后的光线再加上水平线能够组成一对相似三角形。利用角度和三角函数知识可以推算出凸透镜的焦距f和S、S之间的公式1/f=1/S+1/S,这样焦距就能够通过S和S算出来了，f=SS/(S+S)。凸透镜的球面半径是焦距的2倍，从而球面半径也就知道了。为了测量保证测量的结果准确些，我们也可以采用多次测量取平均。许多光学仪器都是为了提高人眼的观察能力而设计的，如：放大镜、显微镜、望远镜等。它们都是应用几何光学原理制成的助视仪器。而在所有光学元件和光学原理中，相似三角形原理是基础研究。可以这么说，没有相似三角形原理就没有